兩種方法解含有參數的二次不等式局部恒成立問題

喬志華

【摘要】含有參數的二次不等式局部恒成立問題是高考中常考的題目之一，解決這種題型的常用方法是分類討論法或分離系數法，現舉例說明.

【關鍵詞】參數;局部;分類討論法;分離系數法オ

含有參數的二次不等式局部恒成立問題是高考中常考的題目之一，它常以選擇、填空或在解答題中應用的形式出現,學生往往無從下手，其根本原因是對這種類型的題的解法不清楚，或者是沒有牢固掌握解題方法而產生的結果，解決這種題型的常用方法是分類討論法或分離系數法，現舉例說明.

例1 定義在R上的增函數f(x)對任意x,y∈R都有ゝ(x+獃)=f(x)+f(y).

（1）求f(0)；

（2）求證：f(x)為奇函數；

（3）若f(k?3瑇)+f(3瑇-9瑇-2)<0對任意x∈R恒成立，求實數k的取值范圍.

解 （1）令x=y=0，得f(0+0)=f(0)+f(0)，ゼ椽ゝ(0)=0.

（2）令y=-x，得f(x-x)=f(x)+f(-x)，即f(-x)=-f(x)對任意x∈R成立，所以f(x)是奇函數.

（3）方法一(分類討論法)：因為f(x)在R上是增函數，又由（2）知f(x)為奇函數，f(k?3瑇)<-f(3瑇-9瑇-2)=ゝ(-3瑇+9瑇+2),所以k?3琸<-3瑇+9瑇+2，

即(k+1)?3瑇-9瑇-2<0，令t=3瑇,t>0，不等式等價于t2-(k+1)t+2>0對任意t>0恒成立，令g(t)=t2-(k+1)t+2，對稱軸為﹖=猭+1[]2.

①當t=k+1[]2≤0，即k≤-1時，g(t)=t2-(k+1)t+2在區間(0,+∞)為增函數，g(t)>g(0)=2>0，所以當k≤-1不等式恒成立.

②當t=k+1[]2>0，即k>-1時，k>-1,

Δ=(k+1)2-4×2<0,解之得-1

綜上所述，k<22-1.

方法二(分離系數法)：由(k+1)?3瑇-9瑇-2<0，3瑇>0，解得

k<3瑇+2[]3瑇-1，設u=3瑇+2[]3瑇-1≥22-1，即u的最小值為22-1，

所以k<22-1.

點評 分類討論的一般步驟是：①確定標準；②恰當分類；③逐類討論；④歸納結論.

對于恒成立問題，若能轉化為a>f(x)(或a

例2 已知f(x)=x2+ax+3-a，若x∈［-2,2］時，ゝ(x)≥0恒成立，求a的取值范圍.

解 方法一(分類討論法)：

f(x)的對稱軸為x=-a[]2，最小值為g(a)，則：

①當-a[]2<-2，即a>4時，［-2,2］為f(x)的增區間，g(a)=f(-2)=7-3a≥0，得a≤7[]3.ビ謅>4，所以此時無解.

②當-2≤-a[]2≤2，即-4≤a≤4時，

g(a)=ゝ-a[]2=3-a-a2[]4≥0，得-6≤a≤2，ビ忠蛭-4≤a≤4，所以-4≤a≤2.

③當-a[]2>2，即a<-4時，［-2,2］為f(x)的減區間，g(a)=f(2)=7+a≥0，得a≥-7.ビ忠蛭猘<-4，所以-7≤a<-4.

綜上所述，-7≤a≤2.

方法二（分離系數法）：因為f(x)≥0，所以a(x-1)≥-3-x2對任意x∈［-2,2］恒成立.

①當x=1時，0≥-4恒成立，a∈R.

②當1

③當-2≤x<1時，a≤3+x2[]1-x,設u=3+x2[]1-x,則u=1-﹛+4[]1-x-2，

設t=1-x,t∈(0,3］，u=t+4[]t-2,由均值定理可得u≥2,所以a≤2.

因為a(x-1)≥-3-x2對任意x∈［-2,2］恒成立，所以①②③必須同時成立，即-7≤a≤2.

點評 方法一分三類情況討論，這三種情況均有可能出現，邏輯關系為“或”，因此這三種結果取并集，而方法二也分三種情況討論，但這三種情況必須同時成立，邏輯關系為“且”，因此這三種結果取交集.