數學解題中如何有效培養觀察能力

尚永杰

心理學認為：觀察是一種為感知特定對象而組織的有目的、有計劃，必要時需要采用一定方法的高水平的感知覺過程.數學觀察能力就是有目的、有計劃、有選擇地對各種數學材料概括的知覺過程.數學解題中通過觀察，往往會引起不僅是“知其然”，而且“知其所以然”的結果，正如“看”僅僅是感覺，“看到”是知覺，而有目的、有計劃、有步驟地進行“看”才是觀察.所以，觀察是發展數學思維的良好方法與前提，培養和提高學生數學解題觀察能力是教學的重要任務之一.

數學解題中如何去培養觀察能力？

1.觀察式子特征

例1 求函數y=x3-3x(x>0)的最小值.

觀察函數式的特征，式中既有x3，又有3x,容易聯想不等式

a3+b3+c3≥3abc（a,b,c∈R+），于是

y=x3-3x=x3+1+1-3x×1×1-2≥-2(x=1時，取“=”號)，故y的最小值為-2.

靈活應用公式、概念進行簡單處理，常能出奇制勝，發展思維能力.

2.觀察數量關系

例2 已知三角形三邊分別為2，3，7，求此三角形的最大角是多少度.

若用常規思維去理解，要用余弦定理，算起來頗有點費事，若能觀察一下特征，因22+(3)2=(7)2，可立即求得最大角為90°.

例3 求﹍im玿→0玸in(玸in玿)+玸in2x[]玹an玿-3玜rcsin2x的值.

初看似乎無從下手，若能定下心來好好地思考一下，問題便迎刃而解，如果能想到用等價無窮小替換求極限，問題就很簡單了.

由于玸in(玸in玿)～x,玹an玿～x,-3玜rcsin2x～-6x,且

﹍im玿→0玸in(玸in玿)[]玸in2x=1[]2≠-1，┆玪im獂→0x[]-6x=-1[]6≠-1，

由此可得﹍im玿→0玸in(玸in玿)+玸in2x[]玹an玿-3玜rcsin2x=﹍im玿→0x+2x[]x-3(2x)=-3[]5.

總之，數學概念的形成，命題的發現，解題方法的探求都離不開觀察，對于教師而言，應把觀察能力的訓練落實到教材的每一章節中，讓學生恰當運用觀察，對培養學生能力、提高學習效果均有重大意義.

3.觀察數式結構

例4 已知m2-2m-4=0,n2-2n-4=0,m≠n,求n[]m+m[]n=?

分別求出m,n，再求n[]m+m[]n的值，雖然能算出結果，但不是好辦法，若對其條件的形式結構進行觀察，易知m,n是方程x2-2x-4=0的兩根，從而可用韋達定理求得結果.這樣使一個很復雜的問題簡單化，這就是觀察的效果.以上兩例借助于對數式結構的觀察，產生聯想，從而得到問題的解.

4.立足整體全面觀察

例5 已知玞osα玞osβ=1[]2,玸inα玸inβ=m,求m的取值范圍.

觀察分析一：∵玞osα玞osβ-玸inα玸inβ=1[]2-m,ァ嗒玞os(α+β)=1[]2-m，∴-1≤1[]2-m≤1,

∴-1[]2≤m≤3[]2.①

觀察分析二：∵玞osα玞osβ+玸inα玸inβ=1[]2+m,ァ嗒玞os(α-β)=1[]2+m.

∴-1≤1[]2+m≤1,ァ-3[]2≤m≤1[]2.②

以上兩種究竟哪個正確呢？其實它們顧此失彼，各都注意到了問題的一個方面，而忽視了另一方面.

觀察分析三：

∵m2=玸in2α玸in2β不失一般性

=(1-玞os2α)(1-玞os2β)=1-(玞os2α+玞os2β)+玞os2α玞os2β

=1+1[]4-(玞os2α+玞os2β)ぁ1+1[]4-2玞osα玞osβ(玞osα=玞osβ時取“=”號)

=1[]4，∴-1[]2≤m≤1[]2.

從整體入手多方面觀察，有利于克服以上出現的毛病.

5庇殺砑襖鍔釗牘鄄颯

例6 方程(x-1)2+y2=|x-y-1|表示的曲線是().

獳.橢圓B.雙曲線C.拋物線D.兩條直線

如果不注意深入觀察,易錯選獴.其實,只要觀察到點(1，0)在直線x-y-1=0上,就能發現曲線不滿足雙曲線的定義,正確答案為獶.忽視隱含條件,忽視概念、定理、公式的前提條件,使解題產生嚴重的錯誤.

從以上能力的培養中不難發現，培養能力的前提條件是擁有雄厚扎實的基礎知識，沒有雄厚扎實的基礎知識，就更談不上能力的培養了，知識的更替就是“觀察→應用→再觀察”的過程，學好數學我們不光是為了做題而做題，要做到觸類旁通，舉一反三，達到事半功倍的效果，這就要求我們在觀察能力上下工夫，這樣才能把知識學活學精，學好數學不妨培養這方面的能力實在必要.

ァ靜慰嘉南住開

［1］田萬海.數學教育.杭州：浙江教育出版社，1993.

［2］周欽鋒.中學數學教學.杭州：浙江教育出版社，1998.

［3］劉學平.解題教學中觀察能力.北京：人民教育出版社，1998.