一道高考題的再研究

劉家松

在高三第一輪導(dǎo)數(shù)復(fù)習(xí)中，遇到一道高考題（2008年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷Ⅱ文科第21題），感覺(jué)學(xué)生做起來(lái)很是吃力，教師講起來(lái)很費(fèi)勁，為了更好地解決此題，作如下探究：

題目 設(shè)a∈R,函數(shù)f(x)=ax3-3x2.(Ⅰ)若x=2是函數(shù)y=f(x)的極值點(diǎn),求a的值；(Ⅱ)若函數(shù)g(x)=f(x)+ゝ′(x),x∈［0,2］,在x=0處取得最大值,求a的取值范圍.

本題主要考查函數(shù)的極值點(diǎn)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系、函數(shù)最直接的求法以及分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的推理能力.標(biāo)準(zhǔn)答案如下:

解 （Ⅰ）f′(x)=3ax2-6x=3x(ax-2).

∵x=2是函數(shù)y=f(x)的極值點(diǎn)，

∴f′(2)=0，即6(2a-2)=0，因此a=1.

經(jīng)驗(yàn)證，當(dāng)a=1時(shí)，x=2是函數(shù)y=f(x)的極值點(diǎn).

(Ⅱ)由題設(shè)，g(x)=ax3-3x2+3ax2-6x=ax2(x+3)-3x(x+2).

當(dāng)g(x)在區(qū)間［0,2］上的最大值為g(0)時(shí)，g(0)≥ゞ(2)，即0≥20a-24.故得a≤6[]5.

反之，當(dāng)a≤6[]5時(shí)，對(duì)任意x∈［0,2］，

g(x)≤6[]5x2(x+3)-3x(x+2)=3x[]5(2x2+x-10)=3x[]5(2x+5)(x-2)≤0，

而g(0)=0，故g(x)在區(qū)間［0,2］上的最大值為g(0).

綜上，a的取值范圍為-∞,6[]5.

第(Ⅰ)小題，題目簡(jiǎn)單明了，易于得分，屬送分題，但要注意檢驗(yàn).在此類(lèi)題中，有一道廣泛流傳于各類(lèi)資料的錯(cuò)題.

題目 設(shè)函數(shù)f(x)=ax3-(ax)2-ax-a在x=1處取得極大值-2，求a的值.

對(duì)于本題，多數(shù)學(xué)生易得出答案a=1，而忽略檢驗(yàn).實(shí)際上，a=1時(shí)，在x=1處取得極小值，所以，a不存在.

第(Ⅱ)小題題目簡(jiǎn)短明了,短小精悍，它源于教材,而高于教材,標(biāo)準(zhǔn)答案分析巧妙,解法獨(dú)特,從正反兩個(gè)方面進(jìn)行了分析解答,但與老師和學(xué)生的思維相距甚遠(yuǎn),而我們仔細(xì)讀題，不難觀察到：g(0)=0.由此，就第(Ⅱ)小題,現(xiàn)解答如下:

解 g(x)=ax3+3(a-1)x2-6x，∵g(0)=0，

∴問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為：當(dāng)x∈［0,2］時(shí)，g(x)≤0恒成立.

又 g(x)=a(x3+3x2)-(3x2+6x),

當(dāng)x=0時(shí)，a∈R；

當(dāng)0

a≤3t[]t2-t-2=3[]t-2[]t-1,對(duì)t∈(2,4］恒成立,

∴a≤3[]4-1[]2-1=6[]5.

綜上所述，a的取值范圍為-∞,6[]5.

點(diǎn)評(píng) 第(Ⅰ)問(wèn)體現(xiàn)了對(duì)極值點(diǎn)的“檢驗(yàn)”的重要性；第(Ⅱ)問(wèn)巧妙挖掘了一個(gè)隱含條件g(0)=0，把目標(biāo)鏈接起來(lái)，盤(pán)活了全局.

在上面的解題過(guò)程中，我們不難看出對(duì)隱含條件的挖掘的重要性：它的挖掘能為我們提供解題思路，成為解決有關(guān)問(wèn)題的有力手段.諸如此類(lèi)的例子還有很多,再看下面一道題目：

題目 二次函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)=2x+b,且f(0)=c.若函數(shù)F(x)=f(x)+2-c的定義域?yàn)椋?1,1］,且F(x)的最小值為2,當(dāng)方程f(x)=0在區(qū)間［-1,1］上有實(shí)數(shù)根時(shí),求實(shí)數(shù)c的取值范圍.

分析 本題考查的是含參二次函數(shù)在區(qū)間上求最值的問(wèn)題，通法當(dāng)然是運(yùn)用分類(lèi)討論思想求b，然而，我們不妨仔細(xì)觀察，不難挖掘一個(gè)隱含條件F(0)=2，得出如下解法：

解 由題易得f(x)=x2+bx+c,

∴F(x)=x2+bx+2的對(duì)稱(chēng)軸方程是x=-b[]2，且x∈［-1,1］.

又 ∵F（0）=2，F(xiàn)（x)┆玬in=2，

∴-b[]2=0,故b=0.

∴f(x)=x2+c，由f(x)=x2+c=0,得c=-x2.ァ選∈［-1,1］，∴-x2∈［-1,0］.

∵f(x)=x2+c=0在區(qū)間［-1,1］上有解，∴c的取值范圍為［-1,0］.

點(diǎn)評(píng) 此法巧妙挖掘了一個(gè)隱含條件F(0)=2,避免了繁雜的分類(lèi)討論，使得問(wèn)題的解決得以簡(jiǎn)化.

有興趣的讀者不妨做下面這道題：

題目 已知定義在R上的函數(shù)f(x)=x2(2ax-3)，其中a為常數(shù).

（1）若a≥0，求證：函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,0)上是增函數(shù)；

（2）若函數(shù)g(x)=f(x)+f′(x),x∈［0,1］，在x=0處取得最大值，求正數(shù)a的取值范圍.