雙刃劍——數形結合

劉茂輝

華羅庚先生說過:“數形本是兩依倚,焉能分作兩邊飛.數缺形時少直觀,形少數時難入微.”把數量關系的研究轉化為圖形性質的研究,或者把圖形性質的研究轉化為數量關系的研究,這種“數”與“形”相互轉化的解題策略,就是數形結合的思想.

“數形結合”直觀、形象，可避免繁雜的計算、證明等，獲取出奇制勝的解法.在教學中我們更多是向學生展示數形結合的優越性,漸漸地使學生認為數形結合是“萬能”的.其實,圖形的直觀性易使我們失去精確的計算,因為有些圖形是有誤差的，并不準確，所以我們不能以點代面，不能簡單地根據圖形就獲取答案.解法的簡捷性易使我們失去深刻的反思,思路的奇異性也易使我們充滿了幻想,所以片面的理解,使數形結合成為我們手中的一把雙刃劍,時時充滿危險.因此,在利用數形結合的方法時,我們既要靈活又要縝密.本文主要闡述運用它解題時應注意的幾個問題：

1.正確作圖，避免潦草作圖而導致錯誤

作圖分析問題時,不僅要畫出相應圖形的大致草圖,而且要盡量地準確描繪圖形，必要時還需要對圖形的直觀分析給出嚴密性的推理.在同一坐標系中作幾個函數的圖像來比較時，我們一定要注意函數圖像的延伸趨勢以及伸展“速度”，因為我們畫出的只是函數圖像的一小部分，而不是全部.我們從函數圖像的部分而知道它的全部，那沒畫出來的部分圖像是怎么樣的呢？我們只有根據函數圖像的延伸趨勢以及伸展“速度”來判斷了,也就是說我們不僅要了解函數圖像或曲線的大致形狀,而且應盡量地準確描繪圖形，否則會因潦草畫圖而造成錯覺性的解題失誤.

例1 已知集合M={(x,y)|y=2x,x∈R},N={(x,y)|y=x2,x∈R},則M∩N中元素的個數是().

獳.1個 B.2個 C.3個 D.4個

錯解 在同一坐標系內作出函數y=x2和y=2x的圖像,它們有兩個交點,故選獴.剖析此題：由于草圖粗糙而導致誤判.事實上,當x<0時,兩圖像顯然有一個交點;當x>0時,考察函數y=x2和y=2x的增長“速度”變化,即知它們有兩交點,即(2,4)和(4,16),故正確答案應為獵.圖略.

2.注意轉化過程要等價，避免定義域擴大或縮小

定義域是一個變量的最大范圍，如果不注意轉化過程是否是等價的過程，那么變量的定義域就有可能擴大或縮小了，這樣，畫出來的圖像就會多出一部分或者少了一角，而根據這樣有誤差的圖像作出來的結果是會不準確的,所以注意轉化過程要等價是關鍵的.不論是否注意到轉化過程要等價，我們最好能做好一道題，再用另外一種方法驗證一下所得到的答案是否準確，這樣才會有信心地保證做完一題就一定正確.

例2 畫出函數y=x2-2x-3的圖像.

分析 該圖像是雙曲線在x軸上方的一部分，并且對稱中心是（1,0），頂點分別是（-1,0），（3,0）.因此，畫圖形時轉化要等價，避免出錯.圖略.

3.注意仔細觀察圖像，避免漏掉了一些可能的情形

例3 設A={x｜-2≤x≤a}，B={y｜y=2x+3，且x∈A}，C={z｜z=x2，且x∈A}，若C罛，求實數a的取值范圍.

錯解分析 考生在確定z=x2，x∈［-2,a］的值域時易出錯，不能分類而論.巧妙觀察圖像將是上策.不能漏掉a＜-2這一種特殊情形.

解 ∵y=2x+3在［-2,a］上是增函數，

∴-1≤y≤2a+3，即B={y｜-1≤y≤2a+3}.

作出z=x2的圖像，該函數定義域右端點x=a有三種不同的位置情況如下：

①當-2≤a≤0時，a2≤z≤4即C={z｜z2≤z≤4}.

要使C罛,必須且只需2a+3≥4，得a≥1[]2，與-2≤a＜0矛盾.

②當0≤a≤2時，0≤z≤4，ゼ碈={z｜0≤z≤4}，要使〤聯狟，由圖可知

必須且只需2a+3≥4,

0≤a≤2,解得1[]2≤a≤2.

③當a＞2時，0≤z≤a2，即C={z｜0≤z≤a2}，要使C罛，

必須且只需a2≤2a+3,

a>2,解得2＜a≤3.

④當a＜-2時，A=,此時B=C=В則C罛成立.

綜上所述，a的取值范圍是(-∞,-2)∪1[]2,3.

4.注意圖形的存在合理性，不可“無中生有”

借形解題有獨到的效果,但若忽視圖形的存在性,只憑主觀想象,無中生有,則會造成錯解.下面的例子就很好地說明了這一點.

例4 曲線y=1+4-x2(-2≤x≤2)與直線y=r(x-2)+4有兩個交點時，求實數k的取值范圍.

解析 方程y=1+4-x2的曲線為半圓，y=k(x-2)+4為過（2，4）的直線.題目中y=1+4-x2移項后再平方得x2+（y-1）2=1，是以（0,1）為圓心，1為半徑的圓.做題時很容易畫成了圓，這是本題出錯率較高的地方.

“形”并不能作為證明的依據，遇到證明題時，在幾何直觀分析的同時，還要進行代數抽象的探索，并用嚴謹的數學語言寫出證明過程的理論依據，這樣才算做好證明題.應用數形結合時，“形”只是一種手段，一個工具，而不是理論依據.不論是怎么樣的題目，“形”只是我們思考問題的一種方式，為解題提供一些幫助，但我們都要寫出我們做這道題的理論依據，這樣才會讓人知道你不是直接從圖像中看出來的或者是猜測得到的，這樣才有說服力，才是有效的.

數形結合的確是一個非常好，也非常實用而且重要的思想方法，應用性強.但它又是一把雙刃劍，時時充滿誘惑和危險.因此，我們要慎之又慎，要揚長避短，要全面合理分析，直觀的同時，輔有嚴謹的演繹.