e^x導數公式的推導及簡單應用

唐孝法 韓廣發

【摘要】本文利用極限的基本知識、復合函數求導法則，在高職高專學生的知識范圍內推導出指數函數的求導公式.

【關鍵詞】極限;復合函數;指數函數;等價無窮小オ

由于高職高專教學的特點，通常我們在介紹導數公式的時候，都是直接給出基本公式，忽略其證明.特別是，很多高職高專的教材中不介紹反函數的求導公式.那么，學生在學習的時候只能是機械地記憶導數公式，很難理解導數公式的由來.例如，玡瑇的導數公式就是直接給出的.本文的目的，就是利用極限的知識、復合函數求導法則，在高職高專學生的知識范圍內推導出指數函數的求導公式.讓學有余力的學生能夠更好地理解相關內容，加深對公式的理解.

一、預備知識

我們首先來回顧一下相關的基礎知識、基本概念：

1.第二個重要極限

﹍im玿→0(1+x)1[]x=玡或﹍im玿→∞1+1[]x瑇=玡.

2.導數的定義

f′(x)=﹍imΔ玿→0Δ珁[]Δ玿=﹍imΔ玿→0f(x+Δ玿)-f(x)[]Δ玿.

3.復合函數導數

如果u=φ(x)在點x可導，而y=f(u)在點u=φ(x)可導，則復合函數y=f［φ(x)］在點x可導，且其導數為：

玠珁[]玠玿=f′(u)φ′(x).

二、冪函數xα與指數函數玡瑇求導法則的關系

首先我們利用導數的定義來推導函數玪n玿的導數公式：

1.玪n玿的導數公式的推導

(玪n玿)′=﹍imΔ玿→0玪n(x+Δ玿)-玪n玿[]Δ玿

=﹍imΔ玿→0玪n1+Δ玿[]x1[]Δ玿

=﹍imΔ玿→01[]x玪n1+Δ玿[]x瑇[]Δ玿

=1[]x玪n玡=1[]x.

下面我們利用玪n玿與xα的導數公式和復合函數的求導法則來推導玡瑇的導數公式：

2.玡瑇導數公式的推導

由(xα)′=αx│-1，則(玪n玡﹛α)′=1[]玡﹛α(玡﹛α)′=αx│-1.

(e﹛α)′=αx│-1玡﹛α=玡﹛α(xα)′.

令u=xα，則可得(玡瑄)′=玡瑄u′.

所以(玡瑇)′=玡瑇?x′=玡瑇.

事實上，我們也可利用玡瑇的導數公式與復合函數的求導法則反過來推導出xα的導數公式：

(xα)′=(玡┆玪n玿α)′=玡┆玪n玿α(玪n玿α)′=xα(α玪n玿)′=xαα[]x=αx│-1.

三、一些應用

在高職高專討論范圍類，還有很多結論我們也是直接給出的.這些結論，我們可以利用玡玿導數公式加以簡單證明，以加深學生對這些結論的記憶和理解：

1.a瑇的導數公式

(a瑇)′=(玡┆玪n玜瑇)′=(玡﹛玪n玜)′=玡﹛玪n玜(x玪n玜)′=玡﹛玪n玜玪n玜

=a瑇玪n玜.

2.玡玿-1~x(x→0)

證明 由導數的定義

(玡瑇)′=﹍imΔ玿→0玡瑇(玡┆Δ玿-1)[]Δ玿=玡瑇﹍imΔ玿→0(玡┆Δ玿-1)[]Δ玿=玡瑇.

オ﹍imΔ玿→0(玡┆Δ玿-1)[]Δ玿=1.

于是有﹍im玿→0(玡玿-1)[]x=1.

即玡瑇-1~x(x→0).オ

【參考文獻】オ

［1］楊天明.高等數學［M］.南京:南京大學出版社,2009.

［2］蔣銀山.冪指函數求導方法歸納［M］.考試周刊,2011.

［3］劉玉璉.數學分析講義［M］.北京:高等教育出版社,2003.