行列式的一種計算技巧及其應用

程波 何銘凱

【摘要】本文首先介紹了行列式計算的一種技巧，然后將此技巧應用到特征多項式的計算，得到圖譜理論中一類圖的特征多項式.

【關(guān)鍵詞】行列式；特征多項式；圖譜

【基金項目】廣東外語外貿(mào)大學大學生創(chuàng)新實驗項目資助

行列式的計算是高等代數(shù)、線性代數(shù)等課程的一個重要內(nèi)容.n級行列式

玠et玜11猍]a12猍]…[]a1n

a21猍]a22猍]…[]a2n

骩]骩]鱗]螵

a﹏1猍]a﹏2猍]…[]a﹏n

等于所有取自不同行不同列的n個元素的乘積

a1﹋1猘2﹋2…a﹏﹋璶（1）

的代數(shù)和，這里j1j2…j璶是1,2,…,n的一個排列，每一項（1）都按下列規(guī)則帶有符號：當j1j2…j璶是偶排列時，（1）帶有正號；當j1j2…j璶是奇排列時，（1）帶有負號.

這一定義可寫成

玠et玜11猍]a12猍]…[]a1n

a21猍]a22猍]…[]a2n

骩]骩]鱗]螵

a﹏1猍]a﹏2猍]…[]a﹏n=А苆1j2…j璶(-1)│(j1j2…j璶)?a1﹋1猘2﹋2…a﹏﹋璶，

這里А苆1j2…j璶П硎徑運有n級排列求和.

定義表明，為了計算n級行列式，首先作所有可能由位于不同行不同列元素構(gòu)成的乘積.把構(gòu)成這些乘積的元素按行指標排成自然順序，然后由列指標所成的排列的奇偶性來決定這一項的符號.

除定義外，主要的計算方法有拉普拉斯降階方法、三角化方法、遞推法等，參見文獻［1］和［2］.以下我們介紹爪型行列式的一種計算方法，并應用它來求一類圖的特征多項式.

1.爪型行列式的計算方法

我們通過一個例子來介紹爪型行列式的這種計算方法.

例 計算行列式

玠et玜0[]b1[]b2[]b3

c1[]a1

c2[][]a2

c3[][][]a3

，

其中a1，a2，a3均不為0.

解 將行列式第2列、第3列、第4列分別提取因子a1，a2，a3，然后把上述列的-c1倍，-c2倍，-c3倍都加到第1列，則原行列式轉(zhuǎn)化成上三角形行列式，所以

г式=a1a2a3a0 b1[]a1 b2[]a2[SX)] b3[]a3

c1 1

c21

c31

=a1a2a3a0-∑3[]i=1b璱c璱[]a璱

.

2.在圖譜理論中的應用

圖譜理論研究圖的各種對應矩陣的譜性質(zhì)，圖的無符號拉普拉斯矩陣是近年來在圖譜研究中十分活躍的課題，參見文獻［3］.

設G是一個圖，v1,v2,…,v璶是它的所有頂點，那么n階矩陣A=(a﹊j)稱為G的鄰接矩陣，其中a﹊j=1, 若v璱與v璲鄰接，

0，其他.

定義D為對角陣玠iag(d1,d2,…,d璶)，其對角元d璱為v璱在G中的度數(shù).那么A+D稱為G的無符號拉普拉斯矩陣.

A+D的特征多項式的計算并不是一件容易的事情，下面利用前面介紹的行列式計算技巧計算一類圖的無符號拉普拉斯矩陣的特征多項式.

設有c條相互獨立的邊及（n-2c）個孤立點，在其中取一個孤立點，將這點與其他（n-1）個點都連接，這樣得到的圖稱為花束圖，這類圖在文獻［4］中討論過.

對于這類圖，A=0[]J1,n-2c-1猍]J1,2c

，其中0表示零矩陣，J﹑,q表示p×q階全1矩陣，F(xiàn)璽=

2t×2t，

而且D=玠iag(n-1,1,…,1,2,…,2).

那么A+D的特征多項式

Φ(A+D,x)=玠et玿-n+1[]-J1，n-2c-1猍]-J1,2c

-J﹏-2c-1,1猍](x-1)?I﹏-2c-1猍]0

-J2c,1猍]0[](x-2)?I2c-F璫，

其中I璸表示p階單位矩陣.從而上述行列式第2列、第3列、……、第（n-2c）列分別提取因子(x-1)，然后把上述列都加到第1列，降階得到

Φ(A+D,x)=(x-1)﹏-2c-1?玠et玜-J1,2c

-J2c,1 (x-2)?I2c-F璫

，

這里a=x-n+1-n-2c-1[]x-1.

進一步計算，得

Φ(A+D,x)=(x-1)﹏-2c-1(x-3)(x-1)?┆玠et玜-2[]x-3 -J1,2c-2

-J2c-2,1 (x-2)?I2c-2-Fヽ-1=(x-1)﹏-2c-1(x-3)琧(x-1)琧?a-2c[]x-3=（x-1)﹏-2c-1(x-3)琧(x-1)琧?﹛-猲+1-n-2c-1[]x-1-2c[]x-3

=(x-1)﹏-c-2(x-3)ヽ-1(x3-(n+3)x2+3nx-4c).

這里我們反復運用上述行列式的計算技巧，得到了最后的結(jié)果.