和式型Cauchy中值定理、推論及證明

楊金輝

【摘要】文章敘述并證明了和式型獵auchy中值第一定理，給出了線性型推論.并通過加強結論，敘述并證明了和式型獵auchy中值第二定理，給出了線性型推論.

【關鍵詞】和式型獵auchy中值定理;柯西中值定理推廣;連續函數オ

引 言 中值定理在微積分理論中占有極其重要的地位，它的應用也非常廣泛.由于合分比定理的條件過于苛刻，尋找區間中兩個函數的兩點的函數值之比來代替兩個函數兩端點的函數值的線性組合之比，就顯得尤為關鍵.考慮到加法的普遍性，創新性地研究出和式型獵auchy中值第一定理和第二定理.在一般性未必滿足的情況下，給出了線性型的推論.

一、和式型獵auchy中值第一定理及其推論

首先給出和式型獵auchy中值第一定理，敘述如下:

定理1(和式型獵auchy中值第一定理)設函數ゝ(x)與ゞ(x)滿足

(ⅰ)f(x)與g(x)在［a,b］內連續，

(ⅱ)g(x)在［a,b］內不變號,且g(x)≠0，

則存在μ∈［a,b］,使得

f(μ)[]g(μ)=f(a)+f(b)[]g(a)+g(b).

證明 設函數φ(x)=f(x)[]g(x),則函數φ(x)在［a,b］上連續.由于g(x)≠0，不妨設g(x)>0恒成立.

若f(a)[]g(a)>f(a)+f(b)[]g(a)+g(b)或f(b)[]g(b)>f(a)+f(b)[]g(a)+g(b),

取μ=a或b即可.

若f(a)[]g(a)>f(a)+f(b)[]g(a)+g(b)且f(b)[]g(b)>f(a)+f(b)[]g(a)+g(b)，

前式移項，化簡可得

f(a)g(b)>f(b)g(a)，

后式移項，化簡可得

f(a)g(b)

顯然矛盾.

同理f(a)[]g(a)

φ(a)-f(a)+f(b)[]g(a)+g(b)φ(b)-f(a)+f(b)[]g(a)+g(b)<0.

由連續函數柯西中值定理可知必存在μ∈［a,b］,

使f(μ)[]g(μ)=f(a)+f(b)[]g(a)+g(b).

證畢.

推論1(和式型獵auchy中值第一定理線性型推論)設函數f(x)與g(x)滿足

(ⅰ)f(x)與g(x)在［a,b］內連續，

(ⅱ)g(x)在［a,b］內不變號,且g(x)≠0，

(ⅲ)存在非零實數n1,n2滿足

n1g(a)+n2g(b)≠0，

則存在μ∈［a,b］,使得

f(μ)[]g(μ)=n1f(a)+n2f(b)[]n1g(a)+n2g(b).

證明 設函數φ(x)=f(x)[]g(x),則函數φ(x)在［a,b］上連續.由于g(x)≠0，不妨設g(x)>0恒成立.

若f(a)[]g(a)=n1f(a)+n2f(b)[]n1g(a)+n2g(b)或f(b)[]g(b)=n1f(a)+n2f(b)[]n1g(a)+n2g(b)，

取μ=a或b即可.

若f(a)[]g(a)>n1f(a)+n2f(b)[]n1g(a)+n2g(b)且f(b)[]g(b)>n1f(a)+n2f(b)[]n1g(a)+n2g(b)，

前式等號左邊分子分母都乘以n1移項，化簡可得

n1n2［f(a)g(b)-f(b)g(a)］>0，

后式等號左邊分子分母都乘以n2移項，化簡可得

n1n2［f(a)g(b)-f(b)g(a)］<0，

顯然矛盾.同理

f(a)[]g(a)

也可得到矛盾.故

φ(a)-n1f(a)+n2f(b)[]n1g(a)+n2g(b)φ(b)-n1f(a)+n2f(b)[]n1g(a)+n2g(b)<0.

由連續函數柯西中值定理可知必存在μ∈［a,b］,使

f(μ)[]g(μ)=n1f(a)+n2f(b)[]n1g(a)+n2g(b).

證畢.

二、和式型獵auchy中值第二定理及其推論

事實上，可以適當加強第一定理中的條件，得到第二定理：

定理2(和式型獵auchy中值第二定理)設函數ゝ(x)與ゞ(x)滿足

(ⅰ)f(x)與g(x)在［a,b］內連續，

(ⅱ)g(x)在［a,b］內不變號,且g(x)≠0，

(ⅲ)對于第一定理中的某個μ，有

［f(a)-f(μ)］［g(b)-g(μ)］>0或［f(b)-f(μ)］?［g(a)-猤(μ)］>0，

則存在μ1,μ2∈［a,b］,使得

f(μ1)[]g(μ2)=f(a)+f(b)[]g(a)+g(b)，且μ1≠μ2.

證明 設函數φ(x)=f(x)[]g(x),則函數φ(x)在［a,b］上連續.由于g(x)≠0，不妨設g(x)>0恒成立.

由第一定理知，存在μ∈［a,b］,使

f(μ)[]g(μ)=f(a)+f(b)[]g(a)+g(b).

不妨設這個μ即為條件(ⅲ)中的μ,且有

［f(a)-f(μ)］［g(b)-g(μ)］>0成立.

顯然μ∈［a,b］.

(1)若f(a)+f(b)=0，即f(μ)=0，此時取μ1=μ,μ2取異于μ1且在［a,b］中的點即可.

(2)若f(a)+f(b)>0,即f(μ)>0，

①若f(a)-f(μ)>0,g(b)-g(μ)>0,可得

f(a)>0,m=f(a)[]f(μ)>1,n=g(b)[]g(μ)>1.

若m>n>1,由f(x)的連續性可知靚酞1∈(a,μ)使得

f(μ1)[]f(μ)=n.

即f(μ1)[]f(μ)=g(b)[]g(μ),f(μ1)[]g(b)=f(μ)[]g(μ).

取μ2=b即可，此時有

f(μ1)[]g(μ2)=f(μ)[]g(μ)=f(a)+f(b)[]g(a)+g(b).

若n>m>1,由g(x)的連續性可知靚酞2∈(μ,b)使得

g(μ2)[]g(μ)=m.

即f(a)[]f(μ)=g(μ2)[]g(μ),f(a)[]g(μ2)=f(μ)[]g(μ).

取μ1=a即可，此時有

f(μ1）[]g(μ2)=f(μ)[]g(μ)=f(a)+f(b)[]g(a)+g(b).

若m=n>1,

即f(a)[]f(μ)=g(b)[]g(μ),f(a)[]g(b)=f(μ)[]g(μ).

取μ1=a,μ2=b即可，此時有

f(μ1)[]g(μ2)=f(μ)[]g(μ)=f(a)+f(b)[]g(a)+g(b).

②若f(a)-f(μ)<0,g(b)-g(μ)<0,設

m=f(a)[]f(μ)<1,n=g(b)[]g(μ)<1.

若f(a)>0,類似①中的討論可證得.

若f(a)<0,由于f(μ)>0,以及連續函數的保號性,必靚酞1∈(a,μ)使得

f(μ1)[]f(μ)=n.

從而有f(μ1)[]f(μ)=g(b)[]g(μ),f(μ1)[]g(b)=f(μ)[]g(μ).

取μ2=b,此時有

f(μ1)[]g(μ2)=f(μ)[]g(μ)=f(a)+f(b)[]g(a)+g(b).

(3)若f(a)+f(b)<0,即f(μ)<0.討論方法與(2)類似，在此不再贅述.

結合和式型獵auchy中值第二定理和和式型獵auchy中值第一定理的推論，可得和式型獵auchy中值第二定理的推論.

推論2(和式型獵auchy中值第二定理線性型推論)設函數f(x)與g(x)滿足

(ⅰ)f(x)與g(x)在［a,b］內連續，

(ⅱ)g(x)在［a,b］內不變號,且g(x)≠0，

(ⅲ)對于第一定理中的某個μ，有

［f(a)-f(μ)］［g(b)-g(μ)］>0或ィ踗(b)-f(μ)］［g(a)-猤(μ)］>0，

(ⅳ)存在非零實數n1，n2滿足

n1g(a)+n2g(b)≠0，

則存在μ1,μ2∈［a,b］,使得

f(μ1)[]g(μ2)=n1f(a)+n2f(b)[]n1g(a)+n2g(b)，且μ1≠μ2∈［a,b］.

オ

【參考文獻】オ

華東師范大學數學系.數學分析(第三版)上冊［M］.北京:高等教育出版社，2001：125-133.オ