一種撲克牌游戲中的數學問題

徐寶 姜玉秋 姜澤

【基金項目】吉林省高等教育教學研究課題.吉林師范大學高等教育教學研究課題.オ

1.問題的提出

撲克牌游戲是一種大眾性的游戲，其中蘊含著很多的數學知識，是一種啟迪思維，培養探究能力和創新能力的有效載體，可以增加數學知識的直觀性、趣味性和娛樂性，激發學生學習數學的興趣.

有一種消磨時間的單人撲克牌游戲，俗稱“撿9”，規則如下：將一副去掉了大小王和獼，Q，K的撲克牌剩余的40張牌洗好后疊成一摞放在手中，從手中撲克牌的一側取出4張牌放在桌面上排成一行，記為1列、2列、3列、4列，然后依次取牌放在1，2，3，4列上并露出上一張牌的數字，當每列牌滿3張時，計算這3張牌上數字的和，如果該和數的尾數是9(即3張牌上數字之和為9，19，29)時，將這3張牌按它們在桌面上從上到下的順序撿起放在手中撲克牌的另一側后再依次發牌，在發牌的過程中還要注意每一列牌的頂部和尾部以頂1尾2或頂2尾1的方式組合的3張牌上數字之和，如果該和數的尾數是9，也按它們在桌面上從上到下的順序撿起放在手中撲克牌的另一側.當某一列僅剩3張牌且被撿起時，視為這一列消失，按現有列數發牌.游戲順利進行的結果是手中的牌都會在桌面上旅行一遍或多遍，桌面上的4列牌會依次減少，到最后出現兩種情況：(1)桌面上只剩下一張牌(尾牌)，而且手中的牌依次取出的3張數字之和的尾數都是9；(2)桌面沒有牌，而手中的撲克牌發牌側除第一張(頭牌)外，其余的牌依次取出的3張數字之和的尾數都是9.當游戲順利結束時，我們會發現情形(1)中尾牌和情形(2)中的頭牌上的數字都是3.這種游戲不是總能順利進行，當發牌的過程中如果出現桌面上的4列牌都被撿起而導致手中的牌在桌面上無處可放，或者手中的牌都排在桌面上而無牌可撿起這樣的情況，表明游戲沒完成，只能重新洗牌再玩或放棄該游戲.

這個游戲的實質就是將標有數字1，2，…，10的40張撲克牌按每3張數字加和尾數是9的規則分成13組，剩余一張標有3的牌.由此我們可以提出兩個問題：

①尾牌(或頭牌)上的數字為什么是3？要想出現別的數字，游戲規則該是怎樣的？

②13組牌數字之和分別為9，19，29的組數都可以是多少？

2.問題的解決與延伸

（1）問題①的解決方案

我們知道上述游戲所使用的40張撲克牌上數字之和為(1+2+3+…+10)×4=220，而那13組牌上數字之和的尾數都是9，所以這39張牌上數字之和的尾數為7，因此最后一張牌上數字一定是3，于是，最后一張牌上的數字為其他的游戲規則應該為：撿“n”，尾牌(或頭牌)上的數字為“m”，其中n=1,2,…,8,10，m=1,2,4,…,9,10，其中n與m按如下方式確定：13n+m的尾數為0.n與m對應的值由表1給出：

表1 撿“n”游戲最后一張牌上的數字為“m”

(n,m)[](1,7)[](2,4)[](3,1)[](4,8)[](5,5)[](6,2)[](7,9)[](8,6)[](10,10)

（2）問題②的解決方案

由于只有13組牌，所以數字之和為9，19，29的組牌數都在0和13之間，那它們可能各有多少組呢？這大可不必用撲克牌游戲來驗證，下面我們給出這個問題的數學解法：

假設數字之和是9的組牌有s9組，和是19的有s19組，和是29的有s29組，于是有方程組：

這是一個含3個未知數的方程組，無法直接解出.我們注意到s9,s19,s29這3個量都是介于0和13之間的整數，作為數學問題我們不必逐個數去試，如果將其中一個未知數定為自由未知數，對它的每一個給定值，由方程組*都可以得到一個二元一次方程組，容易解出另外兩個未知數.為了減少計算量，自由未知數的取值個數一定要最少，由于只有4張標有數字10的牌，所以這13組牌中和數是29的最多有2組，于是s29只能在0，1，2中取值，而其他兩個數的可能取值個數都大于3，因此我們選擇s29作為自由未知數.分別取s29=0,1,2，解對應的三個二元一次方程組，即可得到s9,s19,s29的幾種可能值,見表2：

表2 撿“9”游戲中和數為“9”“19”“29”的組牌數

(s9,s19,s29)[](3,10,0)[](4,8,1)[](5,6,2)

(3)問題的延伸

按照問題②的解決方案，我們可以得到撿“0”到撿“8”各游戲中各組牌數的可能情況，見表3，感興趣的讀者自己可以去驗證.

3.結束語

數學是一門科學、一種語言、一門藝術、一種思考方式.無論有多抽象，數學中沒有哪個知識點是不能運用到現實世界中的事物的，只要我們仔細觀察、認真思考，總會在現實世界中發現許多有趣的數學問題，然后用所學知識去解決它，著實是一種樂趣！