復(fù)射影空間上的幾何

武明明 武三星

【摘要】通過流形的方法研究n維復(fù)射影空間這樣一個復(fù)雜而又特殊的高維空間上的幾何性質(zhì)，構(gòu)造出復(fù)射影空間的坐標(biāo)系，對其賦予獸ubini瞫tudy度量，得到全純截面曲率為4.

【關(guān)鍵詞】復(fù)射影空間；獸ubini瞫tudy度量；全純截面曲率；流形

一、復(fù)射影空間的構(gòu)造

設(shè)C﹏+1中的點表示為z=(z1,…,z﹏+1），C﹏+1-{0}=А萵+1[]i=1U璱，其中U璱={z∈C﹏+1-{0}|z琲≠0}.

設(shè)~為C﹏+1-{0}上的一個等價關(guān)系z~w詎靚恕蔆,λ≠0，使得z=λw.用［z］={w∈C﹏+1-{0}|w~z}表示z的等價類.對于任一個子集〢吉狢﹏+1-{0},用［A］=А葄∈AВ踷］表示

A中元素等價類的集合.以C﹏+1-{0}/~表示等價類的集合.自然射影π(z)=［z］是連續(xù)映射.稱拓?fù)淇臻gC﹏+1-{0}/~是C﹏+1-{0}關(guān)于等價類~的商拓?fù)淇臻g.此商空間即為n維復(fù)射影空間CP琻.

因此，CP琻=C﹏+1-{0}/~={［z］|z∈C﹏+1-{0}}，其中

［z］={w∈C﹏+1-{0}|w=λz,λ∈C,λ≠0}可看作為C﹏+1中過原點的復(fù)直線.可見，復(fù)射影空間CP琻為復(fù)空間C﹏+1中過原點的復(fù)直線的集合,而且CP琻是一個n維復(fù)流形.確定CP琻的坐標(biāo)圖{(Uα,吉α）}.令Uα={z∈C﹏+1-{0}|zα≠0}，α=1,…,n+1，則（ⅰ）Uα糃﹏+1-{0}且為開集；（ⅱ）А萵+1[]α=1Uα=C﹏+1-{0}.令Uα=π(Uα)={［z］|z∈C﹏+1-{0},zα≠0}，α=1,…,n+1，則根據(jù)商拓?fù)涠x知，ィá。︰α糃P琻且為開集；（ⅱ）А萵+1[]α=1Uα=CP琻.

對于校踷］∈Uα,zα≠0,α=1,…,n+1有吉α(［z］)=z1[]zα，…，z│-1猍]zα,z│+1猍]zα,…,z﹏+1猍]zα

.可以證明映射吉α:Uα→C琻是完全確定的、連續(xù)的、單的和滿的，即為雙射.置αζ琸=z琸[]zα，1≤猭≤n+1，k≠α,則吉αz1,…,z﹏+1

=(αζ琸)﹌≠α,笑=1,…，n+1，由同胚的定義知映射吉α:Uα→C琻是同胚映射.在Uα∩Uβ≠Вα≠β上，映射

吉α:Uα∩Uβ→吉α(Uα∩Uβ)糃琻,吉β:Uα∩Uβ→吉β(Uα∩Uβ)糃琻均為同胚映射.

校踷］∈Uα∩Uβ，zα≠0,zβ≠0,有吉α(［z］)=(αζ琸)﹌≠α，吉β(［z］)=(βζγ)│謾佴陋，于是轉(zhuǎn)移函數(shù)為

βζγ=αζγ[]αζβ,γ≠α,γ≠β,

1[]αζβ,γ=α,

由氮βζγ[]氮αζ琸=0知它是全純函數(shù).

于是，復(fù)射影空間CP琻是一個n維復(fù)流形.(z1,…，z﹏+1)稱為CP琻的齊次坐標(biāo)，(αζγ)│謾佴聯(lián)稱為CP琻的非齊次坐標(biāo).

二、復(fù)射影空間的度量

利用CP琻的齊次坐標(biāo)zα，經(jīng)過計算得到g整體上的表達(dá)式：

g=(z,z)(玠珃,玠珃)-(玠珃,z)(z,玠珃)[](z,z)2.

其中(,)表示酉積.g為CP琻上的一個黎曼度量，而且為獺ermite度量，通常稱該度量為Fubini瞫tudy度量.

取CP琻的非齊次坐標(biāo)為z1,…,z琻，那么CP琻的獸ubini瞫tudy度量可記為g=2g﹊﹋玠珃琲n的獸ubini瞫tudy度量g是獽ahler度量，此度量下的CP琻是獽ahler流形.

三、復(fù)射影空間關(guān)于獸ubini瞫tudy度量的全純截面曲率

對于任意一點p∈M，若平截面π糡璸M關(guān)于J是不變的，即Jπ=π，則π稱為全純截面.此時，截面曲率K(π)稱為π的全純截面曲率，記為H(π).

CP琻的獸ubini瞫tudy度量記為g= 由于g是獽ahler度量，根據(jù)獽ahler度量的定義有：對于CP琻切空間上的任意切向量X,Y滿足[XCS0.TIF;%105%105,JZ]璛JY=J[XCS0.TIF;%105%105,JZ]璛Y.

以上六種情況分別計算出了黎曼聯(lián)絡(luò)系數(shù).

根據(jù)求出的聯(lián)絡(luò)系數(shù)，不為零的曲率張量分量只有四種： 對于CP琻切空間上的任意單位切向量X，以{X,JX}為幺正交基的截面，π為全純截面，且

j取1到n的任意整數(shù)，不是求和，則有g(shù)(X,X)=1,g(X,JX)=0,那么，以{X,JX}為幺正交基的全純截面π的界面曲率為：

H(π)=R(X,JX,X,JX)

=g(X,R(X,JX)JX)

于是，復(fù)射影空間CP琻在獸ubini瞫tudy度量g下的全純截面曲率為4.

像常曲率黎曼空間CP琻這類黎曼流形結(jié)構(gòu)簡單，具有最大的對稱性（即容有最大參數(shù)的運(yùn)動群）,通過與它進(jìn)行諸如曲率等幾何量的比較，從而可得到對一般黎曼流形的一系列幾何和拓?fù)涞男再|(zhì).

ァ靜慰嘉南住開

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