算子算法借助冪級數解一類常系數非齊次線性微分方程

秦麗華

算子算法是求解常系數齊次線性微分方程特解的一種方法，它比常數變易法、待定系數法和獿aplace變換法簡便，和算子升降法相似，但算子升降法是把p(D)按升冪排列后去除1，除到部分商q(D)的次數與f(x)的次數相同為止，這對于初學者來說不易理解，而本文將用算子算法借助冪級數來求解常系數齊次線性微分方程的特解.

現在我們考慮常系數線性微分方程y(n)+a1y（n-1）+…+猘﹏-1獃′+a璶y=f(x)，這里f(x)為多項式、指數函數、三角函數以及它們的線性組合.若令D琸=玠琸[]玠玿琸，其中k=0，1，…，則上邊的微分方程表示為D琻+a1D(n-1)+…a﹏-1狣y+a璶y=ゝ(x)或p(D)y=f(x).其中p(D)=D琻+a1D(n-1)+…+猘﹏-1狣y+a璶，顯然D=玠玔]玠玿是微分算子，p(D)是微分算子多項式.我們把1[]p(D)稱為p(D)的逆算子.所以我們可以有以下理解：

DА要f(x)玠玿=玠玔]玠玿А要f(x)玠玿=f(x).

D琸А搖∫f(x)(玠玿)琸=玠玔]玠玿∫…∫f(x)(玠玿)琸=f(x).И

反之：1[]D琸f(x)=А搖∫f(x)(dx)琸，k=0，1，…

為此，我們列出微分算子p(D)和逆算子1[]p(D)的有用性質：

1.p(D)和1[]p(D)的互逆性：p(D)1[]p(D)f(x)=f(x),1[]p(D)(p(D)φ(x))=φ(x).

2.p(D)的線性：p(D)［φ1(x)+φ2(x)］=p(D)φ1(x)+﹑(D)φ2(x).

p(D)［cφ(x)］=c［p(D)φ(x)］.

3.p(D)的加乘運算：

［p1(D)p2(D)］φ(x)=p1(D)［p2(D)φ(x)］.

［p1(D)+p2(D)］φ(x)=p1(D)φ(x)+p2(D)φ(x).

4.1[]p(D)的線性：1[]p(D)［c1f1(x)+c2f2(x)］=┆ヽ11[]p(D)猣1(x)+猚21[]p(D)f2(x).

5.1[]p(D)對實變量復值函數的運算：

1[]p(D)獻m［u(x)+玦玽(x)］=獻m1[]p(D)［u(x)+玦玽(x)］.

1[]p(D)玆e［u(x)+玦玽(x)］=玆e1[]p(D)［u(x)+玦玽(x)］.

6.p(D)對指數函數玡│藊的運算：

p(D)玡│藊=玡│藊猵(λ)，λ為常數.

p(D)［玡│藊獀(x)］=玡│藊［p(D+λ)］v(x).

下面，我們依f(x)為多項式、指數函數、三角函數以及它們的線性組合等情形討論計算1[]p(D)f(x).

一、當f(x)=b1x琺+b2x﹎-1+…+b﹎-1獂+b璵時，借助冪級數和函數求解

例1 求解方程y″+y=x2-x-2的特解.

解 (D2+1)y=x2-x-2,y=1[]D2+1(x2-x-2).

［玜rctan玿］′=А啤轠]n=0(-1)琻x2n+1猍]2n+1

′=x-x3[]3+x5[]5-x7[]7+…

′=1-x2+x4+…

即1[]D2+1=［玜rctan玿］′.

所以1[]D2+1就取與f(x)的次數相同的多項式1-D2.

y=1[]D2+1(x2-x-2)=(1-D2)(x2-x-2)=x2-﹛-2-D2(x2-x-2)=x2-x-2-(x2-x-2)″=x2-x-4.

可見借助冪級數求解常系數線性微分方程特解，常用的冪級數和函數要記住.

如：1[]1-x=А啤轠]n=0x琻，1[]1+x=А啤轠]n=0(-1)琻x琻，1[]1-x2=А啤轠]n=0x2n.

二、當f(x)=玡│藊，λ為一常數時，借助常規解法解，但須討論

1.如果p(λ)≠0，則1[]p(D)玡│藊=1[]p(λ)玡│藊.

2.如果p(λ)=0，則1[]p(D)玡│藊=玡│藊1[]p(D+λ)?1.

三、借助常規解法的情況

1.當f(x)=玸inωx，ω為一常數時，也借助常規解法解，

即：1[]p(D)玸inωx=1[]p(D)獻me┆玦ωx=獻m1[]p(D)玡┆玦ωx.

2.當f(x)=玞osωx，ω為一常數時，也用常規解法解，

即：1[]p(D)玞osωx=1[]p(D)玆e玡┆玦ωx=玆e1[]p(D)玡┆玦ωx.

3.當f(x)=玡│藊?v(x)，λ為一常數時，也用常規解法解.

即：1[]p(D)玡│藊獀(x)=玡│藊1[]p(D+λ)?v(x).

四、當f(x)為多個函數的線性組合時，借助冪級數求解

例2 求方程y″+y′=x2-x+2+9玸in玿-3玸in2x的一個特解.

解 y=1[]D2+1［(x2-x+2)+9玸in玿-3玸in2x］=1[]D2+1(x2-x+2)+1[]D2+1?9玸in玿-1[]D2+1?3玸in2x.

1[]1+x2=［玜rctan玿］′=А啤轠]n=0(-1)琻x2n+1猍]2n+1

′=x-﹛3[]3+獂5[]5-x7[]7+…

′=1-x2+x4-…

ニ以1[]1+D2取1-D2，

則y=(1-D2)(x2-x+2)+1[]D2+1?9玸in玿-1[]D2+1?3玸in2x=x2-x-9[]2x玞os玿+玸in2x.

結論：從上邊的例子得出對于非齊次線性方程和方程組，如果f(x)是f(x)=b1x琺+b2x﹎-1+…+b﹎-1獂+b璵的情況，用冪級數求解也很有意思.

同樣用算子算法解非齊次線性方程組時遇到當f(x)=b1x琺+b2x﹎-1+…b﹎-1獂+b璵時，同樣可以用冪級數解決.