素理想(p)在域Q(λ[]μ,ξ璶)上的素理想分解

王濤

【摘要】設F=Q（λ[]μ,ξ璶)，其中λ為奇素數，nⅹ2(玬od4).本文分兩種情況討論了Q中素理想(p)在F上的素理想分解形式：（1）n=λ；（2）(n,λ)=1.

【關鍵詞】素理想分解;分歧指數;剩余類域次數オ

由于在F為代數數域且含有l次本原單位根（l為奇素數）時，文［1］完全解決了F中素理想在F(l[]μ)中的分解問題.┪模2］對p為奇素數時完全解決了有理數域中素理想p在㏎(l[]μ)中的分解問題（l為奇素數）.本文采用擴張平移的方法并應用這個結果來解決有理數域中素理想(p)在㏎（λ[]μ,ξλ)中的分解問題（λ為奇素數）.

以下設F為域，φ為秩為1的非平凡、非阿基米德賦值，(p)為與其對應的素理想，R為其賦值環，xλ-μ為F上不可約多項式，μ∈R，λ為素數，λ與域F的特征互素.若㎏/F為λ次獹alois擴張，則有：

引理1 (p)在K中的分解只能為以下三種形式：

①完全分歧的，即(p)=Pλ；

②慣性的，即(p)=P；ア弁耆分裂，即（p)=P1P2…Pλ.

引理2 設P1,P2為(p)在F(ξλ)中的任意兩個擴張，則P1,P2在F(λ[]μ,ξλ)中的分解形式相同，其中ξλ為λ次本原單位根.

引理3 P在F(λ[]μ)中為完全分歧的（素的）充要條件為：P在F(ξλ)中的某一擴張在F(λ[]μ,ξλ)中為完全分歧的（素的）.

引理4 素理想(p)在Q(λ[]μ)中的分解由(p)在Q(ξλ)中的任意擴張在Q(λ[]μ,ξλ)中的分解完全確定.設P為素理想(p)在Q(ξλ)中的任意擴張，有

(1)P在Q(λ[]μ,ξλ)中為完全分歧的(p)在Q(λ[]μ)中為完全分歧的；

(2)P在Q(λ[]μ,ξλ)中為慣性的(p)在Q(λ[]μ)中為慣性的；

(3)若P在Q(λ[]μ,ξλ)中為完全分裂的，ア俚(p,λ)=1時，則(p)在Q(λ[]μ)中的分解為(p)=P0P1P2…P璼，其中〆(P璱/(p))=1，i=0,1,2,…,s，f(P0/(p))=1，f(P璲/(p))=f，j=1,2，…，s，sf=λ-1；ア詰眕=λ時，則(p)在Q(λ[]μ)中的分解為(p)=P0P1│-1，其中f(P璱/(p))=1， i=0,1， e(P0/(p))=1，〆(P1/(p))=λ-1.

引理5 設K=Q(ξ璵)，m2(玬od4)，則

(a)素數p在K中不分歧的充要條件是p竚.并且在這個時候，pQ璌=P1…P璯，其中g=φ(m)[]f，而f=f(P璱/p)等于﹑(玬od玬)的階數（即f是滿足p琭≡1(玬od玬)的最小正整數）.

(玝)如果p|m，令m=p瑀?m′，p竚′,則pO璌=(P1…P璯)琫.其中e=φ(p瑀)，g=φ(m′)[]f，f=f(P璱/p)為p(玬od玬)的階數.

定理1 當n=λ時，記P為(p)在Q(ξλ)中的任意素理想擴張，Q為Q(λ[]μ,ξλ)中的素理想.

（玜）當(p,λ)=1時，(p)在Q(ξλ)中分解為(p)=㏄1P2…狿璯，ィí玝）當p=λ時，(p)在Q(ξλ)中分解為(p)=P│-1，其中g=φ(λ)/f，f(P璱/(p))=f，（i=1,2,…,g），f為p(玬odλ)的階數.有以下結論：

①當P在Q(λ[]μ,ξλ)中完全分歧時，則

（玜）當(p,λ)=1時，(p)在Q(λ[]μ,ξλ)中分解形式為：(p)=(Q1Q2…Q璯)│霜，ゝ(Q璱/(p))=猣，i=1,2，…，g;ィí玝）當p=λ時，(p)在Q(λ[]μ,ξλ)中分解形式為：(p)=Q│甩(λ)（完全分歧）.

②當P在Q(λ[]μ,ξλ)中慣性時，則

（玜）當(p,λ)=1時，(p)在Q(λ[]μ,ξλ)中分解形式為：(p)=Q1Q2…Q璯，f(Q璱/(p))=λf，i=1,2,…，g；ィí玝）當p=λ時，(p)在Q(λ[]μ,ξλ)中分解形式為：(p)=Q│(λ)，f(Q/(p))=λ.

③當P在Q(λ[]μ,ξλ)中完全分裂時，則

（玜）當(p,λ)=1時，(p)在Q(λ[]μ,ξλ)中分解形式為：(p)=А莋[]i=1∏λ[]j=1Q﹊j，ゝ(Q﹊j/(p))=猣，i=1,2,…，g,j=1,2,…，λ;ィí玝）當p=λ時，(p)在Q(λ[]μ,ξλ)中分解形式為：(p)=(Q1Q2…Qλ)│-1，ゝ(Q璱/(p))=1,i=1,2,…，λ.

證明 只選取①②③中一種情形來證明，其他可類似推出.

下面來證明③:ィí玜）當（p,λ)=1時，根據(p)在㏎(ξλ)中分解為(p)=P1P2…P璯，對i=1,2,…，g，P璱為(p)在㏎(ξλ)中的擴張，當P璱在Q(λ[]μ,ξλ)中完全分裂時，有P璱=Q﹊1猀﹊2…Q﹊λ，即得出(p)=А莋[]i=1∏λ[]j=1Q﹊j，根據文獻［3］中的指數傳遞公式和剩余類域次數傳遞公式，容易算出f(Q﹊j/(p))=f，﹊=1,2,…，g,j=1,2,…，λ；ィí玝）當p=λ時，(p)在Q(ξλ)中分解為(p)=P│-1，P在Q(λ[]μ,ξλ)中完全分裂時，有P=Q1Q2…Qλ，即得出(p)=(Q1Q2…Qλ)│-1，根據文獻［3］中的指數傳遞公式和剩余類域次數傳遞公式，容易算出

f(Q璱/(p))=1,i=1,2,…，λ.

下面定理中當(n,λ)=1并且n2(玬od4)時Q(λ[]μ,ξ璶)/㏎(λ[]μ)為φ(n)次獹alois擴張，這是因為：記F=㏎(λ[]μ)，ξ璶在F(ξ璶)上極小多項式為φ(n)次分圓多項式│氮璶(x)=И∏猲 [] k=1(k,n)=1(x-ξ琸璶)∈F［x］，這里的每個本原單位根ξ琸璶麱，其中ξ璶為n次本原單位根，從而F(ξ璶)=Q(λ[]μ,ξ璶)為Φ璶(x)=И∏猲 [] k=1(k,n)=1(x-ξ琸璶)在F上的分裂域，根據文獻［3］附錄獳中獹alois擴張的等價條件即得結論.

定理2 當(n,λ)=1并且n2(玬od4)時，對獹alois擴張Q(λ[]μ,ξ璶)/Q(λ[]μ)，記P為(p)在Q(λ[]μ)上的任意素理想擴張，Q為Q(λ[]μ,ξ璶)中素理想.

（玜）P在Q(λ[]μ,ξ璶)中完全分歧時，P=Q│(n)；

（玝）P在Q（λ[]μ,ξ璶）中慣性時，P=Q；

（玞）P在Q（λ[]μ,ξ璶）中完全分裂時，P=Q1Q2…Q│(n)；

（玠）P在㏎（λ[]μ,ξ璶）中為一般分解形式時,P=（Q1Q2…Qゞ)〆，滿足〆 ゝ ゞ=φ(n)（注意：這里的e,f和g分別代表P在Q（λ[]μ,ξ璶）中素理想分解的分歧指數、剩余類域次數和分裂次數）.則有以下結論：

（1）當(p)在Q(λ[]μ)中完全分歧時

①滿足（玜）情況時，則(p)在Q（λ[]μ,ξ璶）中的素理想分解形式為(p)=Q│甩(n)；

②滿足（玝）情況時，則(p)在Q（λ[]μ,ξ璶）中的素理想分解形式為(p)=Qλ；

③滿足（玞）情況時，則(p)在Q（λ[]μ,ξ璶）中的分解形式為(p)=(Q1Q2…Q│(n))λ；

④滿足（玠）情況時，則(p)在Q（λ[]μ,ξ璶）中的素理想分解形式為(p)=(Q1Q2…Qゞ)│霜〆.

（2）當(p)在Q(λ[]μ)中在中慣性時

①滿足（玜）情況時，則(p)在Q（λ[]μ,ξ璶）中的分解形式為(p)=Q│(n)；

②滿足（玝）情況時，則(p)在Q（λ[]μ,ξ璶）中的分解形式為(p)=Q；

③滿足（玞）情況時，則（p)在Q（λ[]μ,ξ璶）中的分解形式為(p)=Q1Q2…Q│(n)；

④滿足（玠）情況時，則(p)在Q（λ[]μ,ξ璶）中的素理想分解形式為(p)=(Q1Q2…Qゞ)〆.

（3）當(p)在Q（λ[]μ）中分解形式是(p)=P0P1…P璼時，其中e(P璱/(p))=1，i=0,1,2,…,s，f(P0/(p))=1，ゝ(P璲/(p))=猣，j=1,2,…,s，sf=λ-1，這里f為p(玬odλ)的階數.因為P璱(i=0,1,2,…,s）在Q（λ[]μ,ξ璶）中具體分解形式不確定，但Q（λ[]μ,ξ璶）/Q（λ[]μ）為φ(n)次獹alois擴張，根據文獻［3］中獹alois擴張理論，不妨設為如下素理想分解形式：㏄0=(Q01猀02…Q0ゞ0)〆0，P1=(Q11猀12…Q1ゞ1)┆〆1，…，

P璼=(Q﹕1猀﹕2…Q﹕ゞ璼）〆璼，其中f(Q﹊k/P璱)=ゝ璱，〆璱ゝ璱ゞ璱=φ(n)，k=1,2，…,ゞ璱，﹊=0,1,2,…,s，則(p)在Q（λ[]μ,ξ璶）中的分解形式為(p)=(Q01猀02…Q0ゞ0)〆0?(Q11猀12…Q1ゞ1)┆〆1…(Q﹕1猀﹕2…Q﹕ゞ璼）〆璼，

根據f(Q﹊j/(p))=f(Q﹊j/P璱)?f(P璱/(p))，i=0,1,2,…,s，得到

f(Q0j/(p))=ゝ0，f(Q﹌j/(p))=ゝ璳?f，j=1,2,…,ゞ璳，k=1,2,…,s.

（4）當(p)在Q(λ[]μ)中分解形式是(p)=P0P1│-1，其中f(P璱/(p))=1，i=0,1，e(P0/(p))=1，e(P1/(p))=λ-1.因為P璱（i=0,1）在Q（λ[]μ,ξ璶）中具體分解形式不確定，但Q（λ[]μ,ξ璶）/Q（λ[]μ)為φ(n)次獹alois擴張，根據文獻［3］中獹alois擴張理論，不妨設為如下素理想分解形式：P0=(Q01猀02…Q0ゞ0)〆0，P1=(Q11猀12…Q1ゞ1)┆〆1，則(p)在Q（λ[]μ,ξ璶）中的素理想分解形式為：

(p)=(Q01猀02…Q0ゞ0)〆0?(Q11猀12…Q1ゞ1)┆〆1(λ-1)，其中ゝ(Q﹊k/P璱)=ゝ璱,〆璱 ゝ璱 ゞ璱=φ(n)，k=1,2,…，ゞ璱，i=0,1.

證明 僅選取一種情況來證明，其他可類似得出.

選取（3）來證明：將P璱（i=0,1,2,…，s）在Q（λ[]μ,ξ璶）中的素理想分解形式依次代入(p)=P0P1…P璼，便得到（3）中結論，根據文獻［3］中剩余類域次數傳遞公式，此處即ゝ(Q﹊j/(p))=猣(Q﹊j/P璱)?f(P璱/(p))，i=0,1,2,…，s，得到ゝ(Q0j/(p))=ゝ0，f(Q﹌j/(p))=ゝ璳?f，j=1,2，…，ゞ璳,k=1,2,…，s.

注意 根據文獻［3］中有限次獹laois擴張理論，定理2的（3）和（4）中〆璱，ゝ璱，ゞ璱相對于P璱在Q（λ[]μ,ξ璶）中的素理想分解是唯一確定的.

ァ靜慰嘉南住開オ

［1］Erich Hecke.Lectures on the Theory of Algebraic Numbers［M］.Speringer睼erlag New York inc,1981.

［2］郝一凡，高恩偉，張金霞.素理想(玴)在玅(l[]μ)中的分解［J］.數學雜志,2002,22(1):94-96.

［3］馮克勤.代數數論［M］.北京:科學出版社，2000.