S₀函數類的增長定理和高階導數估計

鄭小慧

【摘要】獽unio Yamaguchi［1］為S0函數類做了偏差估計，給出了玆e玣′(z)的最好的下界.建立該偏差估計的主要工具是從屬原理,見［2］.在本文中，應用正實部函數類P的增長定理，我們得到了S0函數類的增長定理，用正實部函數類的表示定理得到了S0函數類的高階導估計.

【關鍵詞】S0函數類；正實部函數類P；增長定理；偏差定理

一、引 理

引理1［3］ 若f(z)是單位圓盤D上的全純函數，ゝ(0)=1，玆e玣(z)≥0，z∈D，則成立不等式

1-|z|[]1+|z|≤玆e玣(z)[]z≤f(z)[]z

≤1+|z|[]1-|z|,|z|<1.

引理2［3］ 設f∈H(D)，則玆e玣(z)≥0，衵∈D，當且僅當存在［0,2π］上非減函數μ，滿足μ(2π)-μ(0)=㏑e玣(0)，使得

二、主要結果

定理1 設f(z)∈S0，則

(1)1-|z|[]1+|z|≤玆e玣(z)[]z≤f(z)[]z≤1+|z|[]1-|z|,|z|<1.

(2)若f(z)=z+А啤轠]n=2a璶z琻，ピ騶a璶|≤2，等號成立當且僅當f(z)=z1+z玡-玦θ猍]1-z玡-玦θ.

證明 （1）令g(z)=f(z)[]z，其中z∈D，ピ蠐蒮(z)∈S0，ビ術(z)∈H(D)，玆e玤(z)≥0，

且g(0)=f′(0)=1，因此g(z)∈P.ゴ傭由引理1，有

1-|z|[]1+|z|≤玆e玤(z)≤|g(z)|≤1+|z|[]1-|z|,|z|<1.

故1-|z|[]1+|z|≤玆e玣(z)[]z≤f(z)[]z≤1+|z|[]1-|z|,|z|<1.

(2)令g(z)=f(z)[]z，則由于f(z)=z+А啤轠]n=2a璶z琻，ゴ傭鴊(z)=1+А啤轠]n=1a璶z琻.ヒ虼擻梢理1，有|a璶|≤2，サ群懦閃⒌鼻醫齙眊(z)=1+z玡-玦θ猍]1-z玡-玦θ.ス實群懦閃⒌鼻醫齙眆(z)=z1+ze-玦θ猍]1-ze-玦θ.

定理2 若f(z)∈S0，則

|f(n)(z)|≤2n﹏+1,其中n=2,3，…

證明 令g(z)如定理1中證明所定義，則g(z)∈H(D)，玆e玤(z)≥0，其中z∈D.ビ梢理2知，存在［0,2π］上的非減函數μ，滿足μ(2π)-│(0)=玆e玤(0)=1，使得

f(z)[]z=А要2π01+z玡-玦θ猍]1-z玡-玦θ玠μ(θ)，z∈D.

所以f(z)=А要2π0z+z2玡-玦θ猍]1-z玡-玦θ玠μ(θ)，z∈D.

等式兩邊關于z求導，得

f(z)關于z求n階導，得

由于|1-z玡-玦θ獆>1-|z|，故當|z|<1時，有

|f(n)(z)|≤2n!А要2π01[](1-|z|)﹏+1玠μ(θ)

=2n﹏+1,(n=2,3,…).

【參考文獻】オ

［1］K.Yamaguchi.On functions satisfying Re珄f(z)/z}>0.Proc.Amer.Math.Soc.(1966),588-591.

［2］E.Hille.Analytic function theorey.II,Ginn,Boston,1962.

［3］P.L.Duren.Univalent functions.New York,Springer睼erlag,1983.