Cauchy睱ebesgue微積分體系缺陷的思考

丁小平

【摘要】系統地闡述了微積分原理的演化歷史，發現獵auchy睱ebesgue微積分原理對優化微積分方法的應用意義不大.同時，指出現行微積分原理體系中微分概念定義的缺陷.

【關鍵詞】獵auchy睱ebesgue微積分原理;微分

1665~1667年，牛頓在家鄉躲避瘟疫期間，發明了微積分方法，并試圖建立微積分原理.稍后，萊布尼茨也獨立地開展了同樣的研究.他們所建立的微積分方法是正確的，但是缺乏嚴密的邏輯論證，只能被看作是一種因天才般的直覺而產生的數學工具.為了解決這個微積分原理的論證問題，不少數學家做了重要的工作：達朗貝爾引進了“極限論”；歐拉、拉格朗日、柯西、卡爾?威爾士特拉斯、黎曼等多位數學家也都做了創建性的工作；進入20世紀，又經過了達布和沃特拉等數學家的奠基性工作，勒貝格將傳統微積分原理推向了新的高度.自此，國際數學界公認并宣布微積分理論完善.

盡管如此，微積分演化歷史上所謂的“第二次數學危機”中的“0/0”，其后的微分定義、引入極限論后導數與積分的定義、病態函數積分等至今仍存在不少爭議.本文系統地梳理了獵auchy睱ebesgue微積分原理體系的演化歷史，重點論述了該原理體系中微分定義的缺陷及其對該理論體系的影響.

1.獵auchy睱ebesgue微積分原理體系演化歷史

微積分早期演化的一條主線是自柏拉圖，經阿基米德、伽利略、卡瓦列里和巴羅的量變積累，到牛頓發生根本質變，形成了運動學特征的微積分；另一條主線是自德謨克利特、開普勒、費馬、帕斯卡和惠更斯的量變積累過程，到萊布尼茲發生根本性質變，形成了原子論性質的微積分.㊣.Newton在1665~1667年間所做的工作和G.Leibniz在1672~1676年間所做的工作就分別是這兩條主線上的各自的質變.它們是微積分演化史上不朽的里程碑.以此為標志，我們稱以前的微積分演化歷程為微積分演化史的第一歷史階段，稱此后到1821年為微積分演化的第二歷史階段.

微積分演化的第二個歷史階段，不僅是微積分演化史中最輝煌的歷史階段，也是整個科學發展史中最輝煌的歷史階段之一.在這個歷史階段中，不僅形成了被恩格斯譽為“人類精神最高勝利”的本初微積分，而且，還形成了微積分的各分支科學和以微積分方法為工具的眾多門科學.

微積分演化的第三個歷史階段從1821年至今.第三個歷史階段又可分為上葉和下葉，其分期在1850年前后，標志是獶irichlet函數、Weierstrass函數、Thomae函數和Volterra函數等的構造.Cauchy睱ebesgue微積分原理體系指的就是微積分演化歷史的第三個階段.1821年，A-L.Cauchy出版了《分析教程》，1823年，又出版了《無限小計算教程概論》.這兩部著作建立了極限理論，并以此為工具建立了全新的微積分原理，以這兩部劃時代的著作為標志，微積分演化史進入了第三個歷史階段的上葉.進入微積分演化史的第三個歷史階段的下葉，V.Volterra,L.Bell和H.Lebesgue等多位數學家，尤其是Lebesgue集前人之智慧，用G.Cantor的集合論解決了怪異函數的可積性問題，并建立了Lebesgue積分，其標志是其1902年撰寫的博士論文《積分、長度和面積》.從此，實變函數和現代分析建立起來，數學界公認并宣布微積分完善.

應該指出的是，在微積分的第三個歷史時期，科學雖有重大突破，但不是微積分的功績，比如，相對論、量子力學、基因工程、計算機工程等.除將分析引入復數領域外，微積分的分支學科和以微積分為支撐的自然科學發展得很有限.最有說服力的是科學家S.Poisson的科研實踐，Poisson在積分理論、行星運行理論、熱物理、彈性理論和概率論領域都作出了重要貢獻.泊松在其《力學論著》中大量使用無窮小法，他認為這些量“小于任何同類性質的給定量”，是真實存在的，而不僅僅是“幾何學家想象的一種研究方法”.按理說，有了“嚴格分析奠基者”Cauchy和“現代分析之父”Weierstrass建立起的嚴密而完整的微積分，微積分分支學科和相關學科的發展應該遠遠超過前一個時期，可科學實踐證明答案并不是這樣.相反，科學實踐一再證明，玠玿以“直”代“曲”的推演和計算是精確的（而非近似的）；科學實踐一再證明，積分是微分的直接累加（根本不需再求極限）.

2.獵auchy睱ebesgue微積分原理中微分定義的缺陷

Cauchy承認Leibniz在1676~1677年間給出的玠玿玡=玡玿┆玡-1玠玿,А要x玡玠玿=x┆玡+1猍]玡+1和А要琤璦y玠玿=Z(b)-Z(a)，但不理解獿eibniz關于微分玠玿和玠珁的解釋.獿eibniz說：“……玠玿表示兩相鄰x的差……相當于歐幾里得的接觸角，比任何給定的量都小，但又不是絕對的0，是相對的0.”在把獿eibniz的箴言誤作囈語的同時，Cauchy決定另起爐灶，因為極限的思想和方法已經讓他看到“光明”.在Cauchy的心目中，微分無非有三種可能性：是0，0至∞之間的量，是∞.Cauchy首先排除了是0和∞的兩種可能，于是微分只可能是有限量（包括極小的有限量），在極限方法的貫通下，獵auchy認為自己完成了正確的微積分原理的構建，只是統一微分定義中的玠珁=f(x)Δ玿成玠珁=f(x)玠玿還有困難.然而，在獵auchy睱ebesgue微積分原理體系中，“微分”的定義，其上承“導數”，下啟“積分”.因此，如果“微分”定義的不恰當，則“導數”和“積分”必然遭到影響，勢必導致微積分原理的結構變得支離破碎，在邏輯上自相矛盾.

按照Cauchy睱ebesgue微積分原理，定義Δ珁=f(x)Δ玿+o(Δ玿)的線性主部f(x)Δ玿為“微分”.為了湊出能夠“承上啟下”的“玠珁=f(x)玠玿形式”，現行的微積分原理又“強行約定”出了兩個前提：其一，強行認為“x的微分”就是“y=x的微分”；其二，強行定義“玠珁=Δ珁”.基于這兩種強行約定，┆玠珁=猣(x)Δ玿就變成了玠珁=f(x)玠玿.

事實上，玠玿不可能等于Δ玿，因為微分（不管是玠珁,玠玿，抑或其他）已經被定義作增量（不管是Δ珁,Δ玿，抑或其他）的線性主部.也就是說對任意可微的z=E(y),y=F(x),x=〨(t)，總有Δ珃=e(y)Δ珁+o璄(Δ珁)，Δ珁=f(x)Δ玿+o璅(Δ玿),Δ玿=g(t)Δ玹+o璆(Δ玹),即Δ珃≠玠珃,Δ珁≠玠珁,Δ玿≠玠玿.可是，在美好的前景的誘惑下，獵auchy終于下定決心采用非數學的手段統一玠珁=f(x)Δ玿和玠珁=f(x)玠玿.這便是第三個歷史時期的微積分原理，加上傳統的微積分方法，這便構成了第三個歷史時期的微積分.

現行微積分原理，即獵auchy睱ebesgue體系，就是一個在承上啟下的核心問題上采用非數學手段的一個微積分原理.對可微函數y=F(x1,x2,x璶)而言，它的手段為兩種：第一，強行認為（玱r：約定）x1,x2,…,x璶的微分就是y同時分別等于x1,x2,…，x璶的微分，其中，n為1或任意有限的自然數；第二，強行定義玠玿1=Δ玿1，玠玿2=Δ玿2，…，玠玿璶=Δ玿璶，其中，n為1或任意有限的自然數.對如上兩種做法，獵auchy睱ebesgue體系內的數學家沒有拿出任何令人信服的依據.

從立論的角度說，Cauchy已經將微分（玠珁,玠玿或其他符號）定義作增量（Δ珁,Δ玿或其他符號）的線性主部，因此，不可再同時定義微分就是增量自身.另一方面，可微函數y璱=F璱(x1,x2,…，x璲,…，x璶)已經規定了y璱與x璲的一般關系，不可再認為y璱同時等于x1,x2,…，x璶，即荒唐的y璱=x1=x2=…=﹛璲=…=x璶，結果把一般的n元函數變成了一元函數.事實上，定義玠玿璲=Δ玿璲與認為x璲的微分就是y璱=x璲的微分等價.前者錯，后者也錯；后者錯，前者也錯.總之，這兩種方法都是錯的.

從駁論的角度說，對一般可微函數z環=E環(y1,y2,…，y璱,…，y璵),y璱=F璱(x1,x2,…，x璲,…，x璶),x璲=G璲(t1,t2,…，t璳,…，t璷)，有Δ珃環=А苙[]i=1И礒環[]祔璱Δ珁璱+o環(ρ環),Δ珁璱=А苙[]j=1И礔璱[]祒璲Δ玿璲+o璱(ρ璱),Δ玿璲=А苚[]k=1И礕璲[]祎璳Δ玹璳+o璲(ρ璲)=玠玿璲+o璲(ρ璲).因此，一般說來，┆玠珃環≠Δ珃環,玠珁璱≠Δ珁璱,玠玿璲≠Δ玿璲.由于等價關系，一般說來，也不可以認為z環=y璱(i=1,…,m),y璱=x璲(j=1,…,n),x璲=t璳(k=1,…,o).

如上兩種偷換概念的做法在Cauchy睱ebesgue體系的微積分原理中是具有代表性的做法，這是科學所不允許的.然而，Cauchy睱ebesgue體系的捍衛者卻反駁說：“數學僅僅是一個形式體系，它不是一個物理體系，Cauchy的微分定義不面對復合函數，因此，Cauchy睱ebesgue體系是無懈可擊的.”如果是這樣，微分的不變性是不是針對復合函數而言的？復合函數求導又是針對什么？沒有復合函數思想，隱函數形式、參數方程形式和極坐標形式的求導又如何解釋？不定積分的兩類換元法還有成立的依據嗎？微分方程中的變量替換方法如何解釋？事實上，即使是Cauchy睱ebesgue流派的數學工作者，也有發現其錯誤并悄悄做改動的，但改動后仍存在一些問題；還有就干脆回避微分的.這至少說明，很多數學家在此問題上也存在困惑，但是他們沒有直接把困惑說出來，而是變相的修改.

3.結 論

（1）獵auchy睱ebesgue微積分原理體系對優化和推動微積分方法的應用意義有限.

（2）Cauchy睱ebesgue微積分原理體系中微分的定義存在缺陷.

【參考文獻】オ

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