九宮格問題的探討九宮格問題的探討

趙立旺 胡冰瑤 汪 勤

【摘要】本文解決的是九宮格問題，通過對九宮格的位置和數(shù)據(jù)的分析，首先得出各向三數(shù)之和為15的結(jié)論；進一步建立數(shù)學(xué)模型，突出正中間位置，得出正中間位置的數(shù)字須為5；然后對數(shù)字奇偶性的分析、表格位置分析等其他條件的分析，并采用排列組合知識得出8種結(jié)果.

【關(guān)鍵詞】九宮格;位置分析;奇偶性分析;排列組合;數(shù)學(xué)模型オ

1.問題重述

將1~9填入下表，使得表中橫向、列向、對角向的三數(shù)之和相等而且每個數(shù)字只能用一次.

2.問題假設(shè)與分析

(1）橫向、列向、對角向的三數(shù)之和相等

(2）九宮格位置分析

①獳區(qū)包括角落的四個數(shù)分別設(shè)為A1,A2,A3,A4；

②獴區(qū)包括邊中間位置的四個數(shù)分別設(shè)為B1,B2,B3,B4；

③獵區(qū)為正中間位置的一個數(shù)獵.

(3）1~9可以分為兩類

奇數(shù)：1,3,5,7,9;

偶數(shù)：2,4,6,8.

3.模型建立與結(jié)論

(1）求三數(shù)之和

設(shè)該三數(shù)之和為獶,則：

3獶=(A1+B2+A2)+(B1+C+B3)+(A3+B4+A4)=1+2+3+…+9=45.

故獶=15,即三數(shù)之和恒為15.

(2） 求正中間位置數(shù)

“米”字相加之和為4個15，即60；“三”（或“川”）字相加之和為3個15，即45，兩和之差為3個正中間數(shù)，從而可得正中間數(shù)值為15[]3=5.詳細過程如下：

設(shè)正中間的數(shù)為x，其他八個數(shù)之和為y,則：x+y=15×3.即

x+y=45.（1）

又已知

獳1+C+A4=15；

A2+C+A3=15；

B1+C+B3=15；

B2+C+B4=15.

上述四式相加可得4C+(A1+A2+A3+A4+B1+〣2+狟3+B4)=15×4,即

4x+y=60.（2）

聯(lián)立方程（1）和（2）可得x=5，即正中間位置的數(shù)為5.

(3）求其他位置數(shù)

由于15是奇數(shù)，故對橫向、列向、對角向的三數(shù)要求要么全為奇數(shù)，要么只有一個奇數(shù).若獳區(qū)為奇數(shù)則需獴區(qū)也為奇數(shù)方能滿足條件，而目前只有4個奇數(shù)（其中“5”已確定）可用，故產(chǎn)生矛盾，因此獳區(qū)只能為偶數(shù)，獴區(qū)為奇數(shù).

不妨先填寫獴區(qū)，設(shè)獴1=1，B2=3，則B3=9,B4=7,觀察數(shù)據(jù)知A4須為小于6的偶數(shù)，嘗試填將A4賦值4后發(fā)現(xiàn)A3需為4，與條件矛盾，故A4=2，從而求出A2=4，A1=8，A3=6.驗證之皆成立.

由此可見，獴1,B2的確定決定了九宮格的唯一格式，只要找出B1，B2的全排列便找出了九宮格的所有格式.（B1，B2）不能為（1,9）（9,1）（3,7）（7,3），由排列組合知（B1，B2）有(獳24-4)個，即8組.

從而可得九宮格的所有格式：

【參考文獻】オ

韋恩?古德.數(shù)獨［M］.海口：南海出版公司，2005.