幾種函數類對復合運算的封閉性

孫樹東

【摘要】在討論黎曼可積函數類、勒貝格可測函數類、勒貝格可積函數類的封閉性時，只討論到四則運算，至多討論到極限運算，而對復合運算一般不作詳細討論，這無疑是個缺憾，文章就這些重要函數類對復合運算的封閉性作一些討論.

【關鍵詞】函數類；復合；封閉オ

一、黎曼可積函數類

設f與g都是區間上的函數且內層的值域不越出外層的定義域，在f與g可積或連續的條件下討論f［g］的可積性.

1.若f與g都可積,則f［g］未必可積.

事實上,取g(x)=R(x)，x∈［0,1］,f(x)=玸gn玿，x∈［0,1］，則f與g都可積，而f［g(x)］=D(x)，x∈［0,1］卻不可積.

2.若f與g都連續,則f［g］連續，當然可積.

3.若f連續，g可積，則f［g］可積

這個結論的證明在教科書中可以找到，不贅述.

4.若f可積，g連續，則f［g］未必可積.

事實上，取f(x)=0，x黀，お1，x∈P，獂∈［0,1］，其中P是［0,1］上的康托三分集，g(x)=θ-1(x)，其中θ（x)為康托函數，

則g(x)在［0,2］上連續，f(x)在［0,1］上可積，但ゝ［g(x)］=0，x黀，お1，x∈P在［0,2］上卻不可積.原因是f［g(x)］的不連續點集θ(P)的測度為1.

二、勒貝格可測函數類

設f與g都是可測函數且內層的值域不越出外層的定義域，在f與g可測或連續的條件下討論f［g］的可測性.

1.當外層函數f與內層函數g都連續時，復合函數ゝ［g］連續，當然可測.

2.當外層函數f連續，內層函數g可測時，復合函數ゝ［g］必可測.

3.當外層函數f可測，內層函數g連續時，復合復數ゝ［g］未必可測.

現舉例如下：令g(x)=θ-1(x)，其中θ(x)為康托函數.則g(x)在［0,2］上連續，在θ(P)中取不可測集E，令f(x)=0，xθ-1(E)，お1，x∈θ-1(E)，則f(x)的不連續點集為康托三分集P的子集，所以測度為0，因而f(x)可測.而f［g(x)］=0，x麰，お1，x∈E，顯然為不可測函數.

由于連續函數都可測，所以可得.

4.當外層函數f與內層函數g都可測時，復合函數ゝ［g］未必可測.

三、勒貝格可積函數類

設f與g都是有界可測函數且內層的值域不越出外層的定義域，在f與g勒貝格可積或連續的條件下討論f［g］的勒貝格可積性.

1.當外層函數f與內層函數g都連續時，復合函數ゝ［g］連續，當然勒貝格可積.

2.當外層函數f連續，內層函數g勒貝格可積，則復合函數f［g］勒貝格可測，因而可積.

3.當外層函數f勒貝格可積（即可測），內層函數g連續，復合函數f［g］未必勒貝格可測，因而未必可積，進而可得.

4.若f與g都可積，則f［g］未必可積.

注釋 康托函數θ(x)的構造：

設P是［0,1］上的康托三分集，將它的余區間作如下分類：第一類是區間長為1[]31的20個區間1[]3,2[]3；第二類區間長分別為1[]32的21個區間1[]9,2[]9，7[]9,8[]9；第三類是區間長分別為1[]33的22個區間1[]27,2[]27，7[]27,8[]27,19[]27,20[]27，25[]27,26[]27；依此類推.

作函數θ1(x)如下：在第一類的20個區間上，當x∈1[]3,2[]3時，θ1(x)=1[]2.在第二類的21個區間上，當x∈1[]9,2[]9時，θ1(x)=1[]4；當x∈7[]9,8[]9時，θ1(x)=3[]4.在第三類的22個區間上，θ1(x)依次取1[]8,3[]8,5[]8,7[]8.在第n類的2﹏-1個區間上，θ1(x)依次取1[]2琻,3[]2琻,5[]2琻,7[]2琻,…，2琻-1[]2琻，n∈N*.

于是θ1(x)在P的余集G上有了定義且它在G的任一構成區間上為常數，顯然θ1(x)在G上是增函數.

在P上θ1(x)的定義：θ1(0)=0,θ1(1)=1.對任一介于0與1之間的P中的點x0，令θ1(x0)=﹕up玿

記θ(x)=θ1(x)+x,則θ(x)在［0,1］上連續且嚴格上升，因而存在反函數.易知θ(［0,1］)=［0,2］,m{θ［0,1］-P}=1,m［θ(P)］=1.

ァ靜慰嘉南住開

［1］實變函數與泛函分析基礎［M］.北京：高等教育出版社,1983.

［2］實變函數［M］.北京：科學出版社,2007.

［3］實變函數論與泛函分析［M］.北京：高等教育出版社,2004.

［4］實變函數與泛函分析［M］.濟南：山東大學出版社,2005.オ