兒童幾何概念之形成兒童幾何概念之形成

曹雅玲 曾怡嘉

【摘要】作者根據皮亞杰的空間概念理論與玍an Hiele幾何思考理論來討論兒童的幾何概念發展.

【關鍵詞】幾何圖形概念；皮亞杰的空間概念理論；￢an Hiele幾何思考理論オ

幾何在我們生活周遭中處處隨手可得，如建筑物、藝術、地圖與路標等.幾何幫助人們用有條理的方式，表現和描述生活的世界.事實上，人們所創造出來的每一項事物，幾乎都是由幾何形態的元素所構成的.所以幾何是提供我們如何去闡釋與反映外在物理環境的一種方法，并且可作為學習其他數學和科學題材的工具，加強幾何的空間思考，有助于高層次的數學創造思考.美國數學教師協會指出數學教育的主要目標是要發展兒童的數學推理及思考能力，使其能夠應用所學的數學知識和技能來解決在實際的生活中所遭遇的問題情境.而其中幾何教學的目的是要協助學生學習了解以及運用幾何的性質和關系，并且發展學生的空間感.

小學學童在學習的過程中，可透過皮亞杰的學習理論模式的觀點進一步來解說.皮亞杰從認知發展的角度來看待兒童的幾何概念發展階段，他認為兒童的幾何概念系由簡單的具體的形象表征，再進一步到抽象概念的認知.另外是荷蘭數學教育家玍an Hiele夫婦，他們將幾何思考的模式區分成五個發展的層次，每一個層次都有其發展的特征，玍an Hiele也積極主張學習者思考層次的提升是經由教導，而非經由個體年齡的成長而發展，因此幾何概念的教學活動扮演著相當重要的角色.于是玍an Hiele在1986年提出了“五階段的教學模式”，教師借由學生幾何層次的分類，可以從中獲得許多學生學習幾何的訊息，以作為教材準備及補救教學的回饋.

本文將分為三個部分來作討論，分別是幾何圖形概念、皮亞杰的空間概念理論與玍an Hiele幾何思考理論.

幾何圖形概念

美國數學教師協會提出：幾何乃研究空間中的形狀和空間關系，幾何可幫助人們用有條理的方式，表現和描述生活的世界.幾何是一門探討空間關系與邏輯推理的數學.劉秋木（1996）在研討幾何概念的意義中也提到，人類生存于世界便需要認識世界的種種性質，人們透過知覺運動與世界互動中，發現有些東西是可以滾，有些是可堆棧的，于是加以分析歸納，分別出平的與曲的兩種屬性，形成平面與曲面的概念.在這種探索中人們分析出許多有用的屬性，如形狀、大小、方向，等等.依據這些屬性，幾何學家建立了他們的幾何學問，而產生一些幾何系統.上述皆是針對幾何學的說明，雖然表面敘述的形式有所不同，但是都強調幾何是在研究空間中物體間的變化、轉換及其相互關系，因此所指的內涵都是相同的.

圖形是為了明確地表現實物的形狀、大小、位置而產生的一種概念，從圖1中，我們可以進一步知道幾何圖形概念是經“理想化”或“抽象化”的過程而得到的概念（吳貞祥，1990）.例如：“四邊形”概念的形成，是生活中看到各種不同的四邊形實物，像書本、桌子、冰箱，等等，這些四邊形的實物經過觀察、思考、歸納、統整后，發現一個共同特征，即均由四條線段所圍成的封閉圖形，由此呈現“形”的本質.

圖1 圖形概念的形成過程

在幾何圖形概念中，劉好(1998）曾做以下描述：圖形并非實際存在的東西，它是附著于具體存在的物體上，從具體實物中摒棄其顏色、氣味、材質、輕重、硬度、厚度、大小等特性之抽象結果.特性均可由肉眼具體明確地觀察，唯有此物體的“形狀”對兒童而言是較為抽象的，它必須摒棄此物體各種不相干的屬性，它不因物體的顏色，或大小，或擺放的位置而改變它.簡單地說，它僅是實物外觀的樣子.我們最常接觸的是立體的圖形，平面圖形是將具體物的表面拓印出來的結果，通常透過立體圖形的面來辨識.綜合以上描述幾何圖形的概念可知，日常生活中經常與幾何息息相關，而建立空間的概念與圖形間的察覺、辨識、發現性質與關系是有相互關聯的.

皮亞杰的空間概念理論

皮亞杰等人(1960)研究兒童的幾何概念發展，隨著兒童年齡的成長對于空間知覺能力的進展，所呈現出的幾何性質(geometrical properties)有拓撲性(topological)、投影性(projective)、歐幾里得性(Euclidean).兒童幾何概念之形成即依上述三個階段之順序，在4歲以前為拓撲幾何概念，依據圖形是否封閉或開放而定，完全忽視有關邊長、角度、大小等歐氏幾何關系，完全是屬于基本拓撲幾何概念；4~7歲為投影性空間概念；一直到7歲開始才有歐氏幾何概念.以下將敘述這三種幾何體系:

一、拓撲學概念階段（4歲以前）

此一階段的兒童與運思前期認知發展階段有關，僅能掌握拓撲學的圖形概念，即只注意到圖形的內或外，對于直線與曲線，尚未具有嚴格區分的能力.同時，對于長度或角的差異，也不能做詳細觀察.例如要求兒童仿畫正方形或長方形，則往往會畫成渾圓的形狀，或各邊中間畫成凹凸不直，甚至畫成近乎圓的形狀.此外，兒童對左右位置的變換也感到茫然，他們并非不能感覺左右或曲直的不同，而是他們在認知上無法了解構成左右或曲直的差異因素罷了.他們只能從接近、分離、包圍、順序、連續等觀點來考慮事物的性質.例如：圓或四邊形都是一個連續的簡單封閉圖形，然而，這階段的兒童卻不能區分兩者的差異.他們對于物體的形狀、大小、角度等要素都不會加以留意.

二、投影幾何學階段（4~7歲）

此一階段的兒童相當于運思前期到具體運思期認知發展階段.皮亞杰等人(1960) 認為這個階段的兒童對外界的認知，自己本身所在觀點的視覺比其他的條件占較優越的地位，凡是經過視覺所承認的事物，他們才認為是真實的存在，而蘊藏在視覺之外的事物都不真實，他們深信各種形狀都會原本照著視覺的感受而變化.例如：本來已確認是正方形的顏色紙，若一旦拿開，放在相隔一段距離的遠處，在兒童的心目中則認為變成了菱形或梯形，而且也變小了.如果再把它拿回原來的位置，兒童卻又認為形狀和大小都會回復到原來的樣子.又例如：平行的火車軌道，因隨著距離的遠離，看起來其寬度會逐漸變狹窄，看同一物體時會因相隔愈遠而顯得愈小，這種情形在小孩來說，并不是軌道的寬度看起來變狹窄，或是物體的形狀看起來較小，而是認為真的變狹窄或形狀真的變小.

總之，這時期的兒童對外界的認知，視覺要比其他條件占優勢，深信形或量都會原原本本照著視覺的感覺而變化.

三、歐幾里得幾何學階段（7，8~11，12歲）

由于歐幾里得幾何學涉及測量工作者，與距離、角度、并行線、直線等的保留有關，就歐幾里得幾何學的概念建構而言，長度保留與距離保留二者是較為基本的.兒童獲得長度及距離保留能力，特別是長度保留能力之后，自然能發展出測量的概念，兒童最初是以最靠近自己的、本身最熟悉的工具（自己的手或軀體）來測量，皮亞杰將此種策略稱為“手的遷移”及“軀干遷移”；以后隨著認知的發展，兒童漸會使用量尺工具以補助測量.此外，面積保留概念約在本階段發展.在小學，兒童的圖形概念大部分都已發展到歐幾里得幾何學概念階段，所以根據皮亞杰的說法，在本階段的兒童應該都具備有關于線段長短、角度大小或面的大小的意識.

從以上的說明可知：皮亞杰理論的研究重點在于兒童發展幾何概念的思考模式，探討幾何概念形成的運思程序，從最初發展的拓撲關系，到投影再到歐幾里得關系，是屬于年齡取向的階段論，注重發展的過程.

玍an Hiele幾何思考理論

Van Hiele幾何思維層次

Van Hiele夫婦于1959年開始研究幾何思維發展與設計幾何教學課程，并且很快地受到蘇聯教育家的注意.這個模式的最顯著特色是將空間思維的了解分為五個層次，這五個層次分別敘述了對幾何事件的思考過程特征.

一、第0層次：可視化（玍isualization）

學生對圖形的辨識與命名是根據其整體外觀的，也就是說圖形的視覺特征——看起來像是什么形狀.在這個層次中，學生可以操作、測量，甚至討論形狀的性質.但是，這些性質并不是我們所認為的那么明確，這只是學生對這個圖形外表所下的定義.一個正方形就是一個正方形（因為它看起來就像是一個正方形）.在這個層次中，是以外觀為優勢取向，它甚至能取代圖形的性質意義.例如：一個正方形如果被旋轉45度后擺放，那么對一個處于第0層次思維的孩子來說，這就不是一個正方形了.這個層次的孩子對圖形的區別及分類，還是深受視覺外觀的影響（我把它們放在一起，因為分一分以后看起來都一樣）.由此說明此一階段的活動，宜多安排感官操作之活動，讓兒童透過視覺進行分類、造型、堆棧、描繪、著色等活動獲得概念.

二、第1層次：分析（Analysis）

在分析這個層次的學生能夠考慮一整組的形狀，而不是只對單一的圖形有認識.他們不只能討論這個矩形，他們還可能去討論所有的矩形.透過一整組的圖形來看，學生可以去思考怎樣去制造一個矩形，使它能成為一個矩形（有4個邊、對邊平行且等長、4個角是直角、對角線會全┑取…）.在這個層次中，學生開始會去欣賞圖形的集合，并且能把擁有同性質的圖形聚集在一起.對單獨形狀的想法會慢慢地一般化到同一類的圖形中，而且能適用到其他的類別里.在第1層次中操作的學生，可以列出所有正方形、長方形、平行四邊形的性質，但是還無法看出它們彼此之間的包含關系，像正方形是包含于長方形，而長方形則是包含于平行四邊形.

三、第2層次：非形式演譯（Informal deduction）

當學生開始能夠不受制于特別物體的約束而去思考幾何對象的性質時，他們就是已經具備發展對性質關系了解的能力了.（如果4個角都是直角，那這個圖形就是長方形.如果一個圖形是正方形，那么它所有的角就必須都是直角.所以，一個正方形也一定是一個長方形.）在這個層次中，比較大的能力發展是“如果……那么”的推論，圖形通常可以從最小的特征來做分類.舉例來說，4邊等長而且至少有一個直角的條件就足以定義一個正方形；而長方形則是一個具有直角的平行四邊形.他們能由性質中的關系來做觀察，并且能聚焦在對于這些性質的邏輯論述.處于第2層次思維的學生，已經能夠遵循并且體會這種關于圖形性質的非形式推論討論了.不過，他們對正式推理系統的公理結構的體會能力還是停留在很表層的.

四、第3層次：形式演譯（獶eduction）

在第3層次中，學生已經有能力去檢驗圖形的性質了.當非形式論述的分析發生了，那么公理、定義、理論、推論及假設的系統架構就要開始發展，這也正是建立幾何真理的必要過程.在這個層次中，學生開始體會到邏輯系統的需要，并且會仰賴一些來自于不同真理的最小假設.這個層次的學生已經有能力對幾何性質做抽象性的敘述，并且能夠減少依賴直觀的方式就能作出一些合乎邏輯的推論.第3層次的學生在操作中可以觀察得到一個長方形的兩條對角線彼此是對分的，這就像是一個在較低思維層次的學生能做到的一樣.但是，對處于第3層次的學生而言，他們還能夠體會到要如何地去從論述的推論中來證明這件事的必要性.第2層次的思維者和他們比較起來就只能去做到遵循論述的結果，卻無法體會其中“為什么”的重要性了.

五、第4層次：嚴密性（玆igor）

在玍an Hiele思考層級的最高層次中，是要理解公理系統間的關系，而不是只在一個系統中做推論.而要能理解不同系統中的差異及關系，這幾乎是相當于一個從事幾何研究的數學專家一樣了.

在各層次中，敘述了學童是如何思考，以及他所思考的幾何概念形式為何，而不是指他擁有了多少的知識.當學童要從一個層次進入到另一個層次時，他的幾何思維就會有所改變.因此幾何概念的發展，在上述五個層次有其次序性，學習者必須具備前一層次的先備知識后，教師才能依據該能力，進行更高層次的教學活動.

玍an Hiele幾何思考層次的特征

根據獵rowley（1987）對于Van Hiele幾何思考層次的特性的描述，他提出了五個特性，茲將這五個特性分述如下：

1.次序性（Sequential）

在玍an Hiele幾何思考的發展層次中，學習者的發展層次一定是循序漸進，在任何一個層次要成功的發展，則必須擁有前一層次的各項概念與策略.

2.增強性或加深加廣性（獳dvancement）

從一個層次進階到另一個更高的層次，受到教學的影響比因年齡因素的影響來得大，教師適當的教學與引導可以提升學童的幾何思考概念，但是沒有一種教學方法能使學生跳過某一層次，而直接進入到下一層次.這些方法或許能夠增強過程發展，但也有一些過程會阻礙各層次間的轉換.

玍an Hiele指出：如果教導程度較高的學童超過他實際層次的其他能力，亦是可行的.如幾何的實例，包括面積公式的記憶或如正方形是長方形的一種集合關系，像這些關系，當討論主題已降到較低層次而學童仍不能了解時，即表示其成熟度不夠，學習終將無法達成，亦不宜強迫灌輸.

3.內因性與外因性（獻ntrinsic and Extrinsic）

在某一層次的性質是屬于內在的性質，到了下一個層次，此一性質就有可能成為外顯的性質.例如：在層次一中，僅由圖形的外觀來辨認圖形，但到了第二層次，則是發現由圖形的特征和組成要素來進行分析.

4.語言性（獿inguistics）

在每一層次中，均有屬于自己的符號語言和這些符號的相互關聯系統，因此，在某一層次中屬于正確的概念，到了另一個層次時這個概念就必須加以修正.如：正方形可稱為長方形，又可以稱為平行四邊形，在第二層次的學生可能無法將上述觀念概念化，但到了第三層次即可能理解其間的關聯性.

5.不配合性（玀ismatch）

處于不同思考層次的人，彼此間不能相互地溝通、了解.學童無法了解或解決超過他們層次的教材或是問題.假若學童是屬于第一層次，而老師的教學又是在另一個層次，那么期望的學習歷程或是教學效果就不可能會發生，尤其是教師的教學過程、教材內容、教具的選擇、教具的準備和語匯的應用，均是屬于較高的層次，學童是無法完全理解其過程與結果.

玍an Hiele的五個教學階段

如前所述，玍an Hiele認為各層次間的成長過程主要是倚靠指導，而非由于不同年齡的成熟度，因此教學的組織與方法、教材的選擇與使用是非常重要的.基于以上的理念，Van Hiele也提出從一個層次要進階到下一個層次的幾何教學可分為五個階段，透過這五個階段的學習之后，使學生的思考層次能進階到下一個層次，茲將此五個教學階段簡要介紹如下（譚寧君，1993；吳德邦，1998）：

1.第一階段：學前咨詢（information）

在此階段，教師與學生雙向討論即將要教的主題，老師作觀察并發問，借此了解學生的舊知識，學生也得知即將學習的方向.

2.第二階段：引導方向（玝ound orientation）

此階段之教學是讓學生活躍地探索、操作，教師的角色則是引導學生做合宜的探索活動——亦即當學生在操作形體時，教師有結構、有順序、一步步地引導其了解設定的概念與幾何程序.

3.第三階段：解釋說明（玡xplication）

此階段學生在其直覺知識基礎上，已開始注意并理解幾何關系.教師帶領學生以他們自己的語言討論正在學習的主題，并將幾何概念與關系提升至明顯理解的層次.一旦學生表現已理解正在學習中的主題，而且也用自己的語言討論，教師就開始介紹相關的術語.

4.第四階段：自由探索（玣ree orientation）

教師在這個階段的角色是選擇適當的教材和幾何題目，鼓勵學生運用所學到的概念去省思并解答這些幾何題目，且容許不同的解題方法.

5.第五階段：整合（玦ntegration）

最后階段學生乃將所學的作一總結，將幾何概念與程序統整成一個可述說、可運用的網絡，最后組織成認知基模.教師之角色是鼓勵學生去省思與鞏固其幾何知識.

學童在某一個幾何思考層次，經過這五階段學習后，會發展到下一個新的幾何思考層次.新的幾何思考范圍也會取代舊的幾何思考范圍，而學生也將進入更高的層次，再開始重復上述這五個階段的歷程.透過教師適當的教學、引導活動，使學生進階到下一層次能變得更容易，學生不會因為年齡的增長而進階到下一個層次.

數學專家學者曾提出幾何課程的設計及教學與￢an Hiele幾何思考層次有密切關聯，如劉好（1998）曾說明由于幾何教材內容屬性的差異，會影響學習者落入不同層次中，小學低年級學童大都在層次一的視覺期，故其對幾何圖形的了解須借由實物的操作、觀察、描述與比較，經過無數次具體經驗，使其在視覺層次具備豐富經驗后，才能漸進地達到較高層次.中年級學童大約可以達到層次二，宜安排一些制作及檢驗的活動，使學童從制作與檢驗中獲得圖形的性質.高年級學童大約在層次二至層次三的過渡時期，可經由適當的觀察學習及實際驗證的方法，分析圖形構成要素及圖形的性質（吳德邦， 1998）.

從玍an Hiele幾何思考理論觀點，層次一的重點在于以視覺認識圖形，層次二的重點在于分析圖形的構成要素與其間關系，層次三的重點在于圖形的定義及其間關系的推理，前三層次是屬小學、初中的學習內容.層次四則是幾何概念的演繹推理，層次五的重點在于了解抽象推理幾何，此兩個層次應屬于高中、大學以上或專家的學習內容.臺灣數學學習領域課程深受玍an Hiele的層次論影響.由此可知幾何教材內容安排是合乎Van Hiele夫婦的幾何思考發展層次.

小學幾何教材可分為平面圖形與立體空間兩部分，圖形與空間的學習，應該從學生的生活經驗中所熟悉的形體入手，發現形體的組成要素及形體間的關系，進而能確立空間的基本概念，教材的設計應透過學生所熟悉的生活情境來發展概念，并安排適當的活動，讓學生獲得足夠的具體經驗，進而抽象到形式化的數學結果.小學的幾何教學，可以參考幾何歷史發展的軌跡與學童認知發展階段，盡量讓學童發揮、拓展其幾何直覺，在操作中，認識各種簡單幾何形體與其性質，再慢慢加入簡單的推理性質與彼此之間的關系，為以后銜接中學幾何的教學打下良好的基礎.

ァ靜慰嘉南住開オ

［1］吳貞祥.幼兒的量與空間概念的發展.國教月刊，1990，37（1，2），1-10.

［2］吳德邦：Van Hiele幾何思考層次之研究.臺北：許氏美術印刷有限公司印行，1998.

［3］劉秋木.國小數學科教學研究.臺北：五南書局，1996.

［4］劉好.平面圖形教材之處理.臺灣省國民學校教師研習會編印，1998：195-196.

［5］譚寧君.兒童的幾何觀——從Van Hiele 幾何思考的發展模式談起.國民教育，1993，33(5，6)，12-17.

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