高考中與內切球和外接球相關的幾個問題

王永生

近年來在高考中經常有多面體與球的切與接的問題.為了便于學習和掌握此類問題的求解方法，下面結合高考題進行了以下歸納：

問題1 （2006年山東）正方體的內切球與其外接球的體積之比為().

獳.1∶3 B.1∶3 C.1∶33 D.1∶9

解析 設正方體的棱長為a，則它的內切球的半徑為1[]2a，它的外接球的半徑為3[]2a，故所求的比為1∶33.選獵.

一般地，如右圖，r1,r2,r3分別為正方體的內切球、棱切球（與各條棱都相切）與外接球半徑，則r1=1[]2a，r2=2[]2a，r3=3[]2a.于是r1∶r2∶r3=1∶2∶3.

應用1 （1995年全國4）正方體的全面積是a2，它的頂點都在球面上，這個球的表面積是（）.

獳.π玜2[]3獴.π玜2[]2獵.2π玜2獶.3π玜2

解析 由已知正方體的對角線是球的直徑，設正方體棱長為x，球半徑為R，則6x2=a2,

3x=2R,

∴R=2a[]4，于是球的表面積S＝4π玆2＝4π?2a2[]16=π玜22.選獴.

應用2 （2001年春季北京、安徽13）已知球內接正方體的表面積為S，那么球體積等于.

解析 設球的半徑為R，正方體的邊長為a，（2R）2＝3a2.又∵6a2＝S,∴3a2＝S[]2，

∴4R2＝S[]2,R＝2S[]4.

又 ∵球的體積為V＝4[]3π玆3,ァ郪＝4[]3π2S[]43=π玈2S[]24.

應用3 （2006年福建）已知正方體外接球的體積是32[]3π，那么正方體的棱長等于().

獳.22B.23[]3C.42[]3D.43[]3

解析 正方體外接球的體積是32[]3π，則外接球的半徑㏑=2，正方體的對角線的長為4，棱長等于43[]3，選獶.

應用4 （2006年廣東）棱長為3的正方體的頂點都在同一球面上，則該球的表面積為.

解析 d=33軷=33[]2軸=4π玆2=27π.

問題2 (2003年全國12)一個四面體的所有棱長都為2，四個頂點在同一球面上，則此球的表面積為().

獳.3πB.4πC.33πD.6π

解析 聯想棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1，則四面體ACB1D1的棱長都為2，它的外接球也是正方體的外接球，其半徑為正方體對角線長3的一半，即有r＝3[]2，故所求球面積為S＝3π.

一般地，對于棱長為a的正四面體，有以下性質：

1.全面積：S=4×3[]4a2=3a2.

2.中截面：S┲薪孛妾=1[]4×3[]4a2=3[]16a2.

3.高、體積：h=3[]2a2-3[]6a2=a2-3[]3a2=6[]3a;V=1[]3S┑酌妾猦=1[]3×3[]4a2×6[]3a=2[]12a3.

4.內切球的半徑即為正四面體高度的四分之一，外接球的半徑即為高度的四分之三.所以，R=6[]4a,r=6[]12a.

應用1 （2007年陜西理6）一個正三棱錐的四個頂點都在半徑為1的球面上，其中底面的三個頂點在該球的一個大圓上，則該正三棱錐的體積是（）.

獳.33[]4B.3[]3C.3[]4D.3[]12

答案 獴.

應用2 (江蘇省啟東中學2008年高三綜合測試二)正三棱錐P-ABC的四個頂點同在一個半徑為2的球面上，若正三棱錐的側棱長為23，則正三棱錐的底面邊長是.

答案 3.

應用3 (湖北省八校高三2008年第二次聯考)已知體積為3的正三棱錐V-ABC的外接球的球心為O，滿足㎡A+㎡B+㎡C=0,則該三棱錐外接球的體積為.

答案 16[]3π.

思考 （2000年全國聯賽一試）一個球與正四面體的六條棱都相切，若正四面體的棱長為a，則這個球的體積是.

解析 由正四面體的圖像的對稱性可知，內切球的球心必為正四面體的中心，球與各棱相切，其切點必為各棱中點，考查三組對棱中點的連線交于一點，即為內切球的球心，所以每組對棱間的距離即為內切球的直徑，于是有：2r=2[]2a,∴V=4[]3?π?2[]4a3=2[]24π玜3.

問題3 (湖北黃岡麻城博達學校2008屆三月綜合測試)正三棱錐P-ABC的三條側棱兩兩垂直，則這個正三棱錐P-ABC的內切球與外接球的半徑之比為（）.

獳.1∶3B.1∶(3+3)

C.(3+1)∶3D.(3-1)∶3

解析 如圖，不妨設這個正三棱錐側棱長為1，那么它的底面正三角形的邊長為2.由于這個正三棱錐的側棱兩兩垂直，故能將它補成長方體.顯然，這個正三棱錐與補成的長方體有同一個外接球，∴球半徑R=1[]212+12+12=3[]2.這個正三棱錐的體積V=1[]6×PA×PB×PC=1[]6.設其內切球的球心為O，半徑為r，那么

1[]3r(S△PAB+S△PAC+S△PBC+S△ABC)=1[]6.

∵S△PAB=S△PAC=S△PBC=1[]2，S△ABC=3[]4(2)2=3[]2,

∴1[]3r1[]2+1[]2+1[]2+3[]2=1[]6.

于是r=1[]3+3,r[]R=3-1[]3.選獶.

一般地，有一個三面角的各個面角都是直角的四面體叫做直角四面體.直角四面體有下列性質：

如圖，在直角四面體AOCB中，∠AOB=∠BOC=∠COA=90°，OA=a,OB=b,OC=c,則：

1.體積V=1[]6abc.

2.外切球半徑R=1[]2a2+b2+c2.

3.內切球半徑r=S△AOB+S△BOC-S△ABC猍]a+b+c.

應用1 （書本玃91：ex7）P，A，B，C是球O面上的四個點，PA，PB，PC兩兩垂直，且PA＝PB＝PC＝1，求球的體積與表面積.

應用2 （2008年福建15）若三棱錐的三條側棱兩兩垂直，且側棱長均為3，則其外接球的表面積是.

答案 9π.

應用3 (江西省鷹潭市2008屆高三第一次模擬)三棱錐P-ABC的側棱PA，PB，PC兩兩垂直，側面面積分別是6，4，3，則三棱錐的體積是().

獳.4B.6C.8D.10

答案 獳.

應用4 (東北區三省四市2008年第一次聯合考試)四面體ABCD中，共頂點A的三條棱兩兩相互垂直，且其長分別為1，6，3，若四面體的四個頂點同在一個球面上，則這個球的表面積為.

答案 16π.

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