淺談切線長的計算公式與應用及“差”是什么

羅義松

在高中數學的圓的教學中，我們都知道當兩圓相交時，將兩圓的方程相減消去x2與y2項后所得一次方程是兩圓相交弦所在直線的方程，那么兩圓相離或相切或內含時差是什么？下面首先從切線長的問題談起.

一、關于切線長的問題

如圖，在坐標系中,已知圓M的方程是(x-a)2+（y-b)2=R2,點A是圓外的一點,它的坐標為(x0,y0）,過點A引圓的切線AT,T為切點.那AT的長度為多少?如果連接MA與MT,則MT⊥AT.由此可知,在玆t△MAT中,AT=MA2-MT2,而M(a,b),故MA=(x0-a)2+(y0-b)2.

又因MT=R,即MT=(x0-a)2+(y0-b)2-R2.

如果我們把圓的方程化成(x-a)2+(y-b)2-R2=0,則MT的計算公式就是把點A的坐標直接代入圓的方程的左邊再開方即可.如果再把圓的方程化成一般式:

x2+y2+Dx+Ey+F=0，D2+E2-4F>0，

則MT=x20+y20+Dx0+Ey0+F.從而可得以下定理:

定理 如果圓的方程是f(x,y)=0,點A(x0,y0)是圓外一點,過點A引圓的切線AT（T是一個切點）,那么切線長AT=f(x0,y0).

這里的方程f(x,y)=0可以是一般方程,也可以是由標準方程轉化來的.即首先要把圓的方程化成一端是0且x2與y2項的系數為1的情形,之后才能代入這一計算公式.

利用上述定理可以不難得到：當兩圓外離時外公切線與內公切線的長或相交、外切時外公切線的長.

若圓M的方程是(x-a)2+(y-b)2=R2，

圓N的方程是(x-m)2+(y-n)2=r2.

當圓M，N外離，如圖，

不妨取R>r，以M為圓心，分別以R-r和R+r為半徑作圓.

設AB是兩圓的外公切線，MA與以R-r為半徑的圓交于點C，連接NC，易知NC=AB，

且NC是以R-r為半徑的圓的切線.易知以R-r為半徑的圓的方程是(x-a)2+(y-猙)2=(R-r)2.

所以，所求外公切線為：AB=NC=(m-a)2+(n-b)2-(R-r)2.

設EF是兩圓的內公切線，延長MF與以R+r為半徑的圓交于點H，連接NH，則NH=EF，且NH是以R+r為半徑的圓的切線.易知以R+r為半徑的圓的方程是(x-a)2+(y-b)2=(R+r)2.

所以，所求內公切線長為：EF=NH=(m-a)2+(n-b)2-(R+r)2.

容易驗證：當R

推論 若圓M的方程是(x-a)2+(y-b)2=R2，圓N的方程是(x-m)2+(y-n)2=r2，當它們相交或外切或外離時，

則兩圓的公切線長為：(m-a)2+(n-b)2-(R±r)2.

這里，在公式的“R±r”中，求內公切線時取“+”，求外公切線時取“-”，即“內加外減”.

二、“差”是什么

由上述切線問題知，若圓Ａ的方程為f1(x,y)=x2+﹜2+狣1x+E1y+F1=0，圓Ｂ的方程為f2(x,y)=x2+y2+D2x+E2y+F2=0，點Ｍ（x0,y0)是圓Ａ，Ｂ外的一點，則由Ｍ到Ａ，Ｂ的切線長分別為MA=f1(x0,y0)，ＭＢ＝f2(x0,y0)，當ＭＡ＝ＭＢ時，得f1(x0,y0)=f2(x0,y0)，即f1(x0,y0)=f2(x0,y0)，也即是：x20+y20+D1x0+E1y0+F1=x20+y20+D2x0+E2y0+F2.從而可得：

(D1-D2)x0+(E1-E2)y0+(F1-F2)=0，

即點Ｍ的軌跡方程是：

(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0.

這個方程就是點Ｍ的軌跡方程，它正好就是兩圓的方程相減消去x2與y2項后所得方程.所以將兩圓的方程相減消去x2與y2項后所得方程應是到兩圓切線長相等的點的軌跡方程.即“差”是到兩圓切線長相等的點的軌跡方程.

當兩圓相交時，差就是相交弦所在直線方程，即該直線在圓內的部分是相交弦，在圓外部分上的點到兩圓的切線長相等，由此還得相交弦的一個性質：

相交弦所在直線在圓外部分上的任一點到兩圓的切線長相等.

由上述推理中還可知：點Ｍ是圓Ａ，Ｂ外的一點，則由Ｍ引Ａ，Ｂ的切線，切點分別為Ｃ，Ｄ，切線長ＭＣ與ＭＤ滿足MC2=MA2-R2瑼,MD2=MB2-R2瑽,

當切線長相等時有MA2-MB2=R2瑼-R2瑽.由此而得：到兩點的距離的平方差為常數的點的軌跡是一直線,這個常數可正，可負，也可以是０.

三、應用舉例

例1 (2007年四川)已知⊙O的方程為x2+y2=2,⊙O1的方程為x2+y2-8x+10=0,由動點P分別向⊙O與⊙O1引切線,所得切線長相等,則點P的軌跡方程是.

分析 由上面的“差是什么”可知要求點P的軌跡方程，只需將它們的方程相減消去x2與y2所得一次方程：8x-10=2.即x=3[]2就是點P的軌跡方程.

例2 從圓(x-2)2+(y-3)2=1外一點P(a,b)引圓的切線,切點為Q,O為坐標原點.

(1)若|PO|=|PQ|,求a,b滿足的條件.

(2)在（1)的條件下求使|PQ|為最小時點P的坐標.

分析 法一：圓點Ｏ可看成以Ｏ為圓心，半徑為零的圓，即方程為x2+y2=0，從而｜ＰＯ｜就可看成點Ｐ到圓x2+y2=0的切線長.由上面的“差是什么”可知點Ｐ的軌跡方程可由x2+y2=0與(x-2)2+(y-3)2=1相減消去x2與y2，可得：4x+6y-13=-1.即2x+3y=6，從而可知：（1）a,b滿足：2a+3b=6.（２），因｜ＰＱ｜＝｜ＰＯ｜，故｜ＰＱ｜最小時，就是｜ＰＯ｜最小，這個最小值就是點Ｏ到直線2x+3y=6的距離.最小值為d=6[]22+32=613[]13，此時點Ｐ就是點Ｏ到直線2x+3y=6的垂足，即直線y=3[]2x與2x+3y=6的交點，易得Ｐ12[]13,18[]13.

法二：直接利用切線長的公式處理，解法如下：

解 (1)依定理,|PQ|=(a-2)2+(b-3)2-1,而﹟PO|=猘2+b2.

即:(a-2)2+(b-3)2-1=a2+b2.

∴(a-2)2+(b-3)2-1=a2+b2.即2a+3b-6=0.

(2)由（1)知2a+3b-6=0，ゼ碽=-2[]3a+2.

∴|PQ|=|PO|=a2+b2=a2+-2[]3a+22=13[]9a2-8[]3a+4=13[]9a-12[]132+36[]13.

∴當a=12[]13時，|PQ|取最小值613[]13,此時b=18[]13.

∴|PQ|為最小時點P的坐標為12[]13,18[]13.

例3 （2011年全國大綱卷文科11)設兩圓C1,C2都┖土姜坐標軸相切，且都過點（4，1），則兩圓心的距離﹟C1C2|=().

獳.4B.42C.8D.82

ゼ蛭 如圖，兩圓均與坐標軸相切，

所以圓心均在直線y=x上，而它們又過點D（4，1），由對稱性知它們也過點

〦（1，4）.從而知相交弦方程為x+y=5，易知它與x軸交于點F（5，0），由此知：

FA2=FC2=FD?FG=2×42=8.

∴AC=42，至此易知GH=2AC=8，

可得答案獵.オ

在知道此法的前提下用口算即可知道答案.

僅談上述供同行參考.