(2+1)-維Burgers方程的精確周期波解

夏良娟

1.前 言

尋求非線性發展方程的精確解在有關非線性方程的研究中占著重要的地位，人們已經發現了許多有效的方法，如獼acobi橢圓函數展開法［1］、Backlund變換法［2］、齊次平衡法［3~5］等.本文將根據齊次平衡原則,并利用F-展開法［6,7］,在F-展開法中添加了F的負冪項,這里F是Riccati方程的解，用這種方法求出了（2+1）-維Burgers方程［8］的精確周期波解：(u璽+uu瓁-u﹛x)瓁+u﹜y=0.（1）

2.獸-展開法

考慮如下形式的非線性發展方程：

P(u,u璽,u瓁,u瓂,u﹖t,u﹖x,u﹜t,u﹛x,u﹜y,…)=0.（2）

作變換u(x,y,t)=u(ξ),ξ=kx+ly-ωt+ξ0.（3）

其中k,l,ω為待定常數，k≠0,ξ0為任意常數.

將（3）代入（2）得到玂DE：

P(u,-ωu′,ku′,lu′,ω2u″,-ωku″,-lωu″，k2u″,l2u″,…)=0.（4）

設u(ξ)可表示為F(ξ)的有限冪級數：

u(ξ)=А芅[]i=-Na璱F琲(ξ).（5）

其中a-N,…,a璑為待定常數，且a璑≠0，F(ξ)滿足玆iccati方程：F′=P+F2.（6）

其中P是常數，正整數N可由（4）中最高階導數項和非線性項之間的齊次平衡［9,10］來確定.將（5）代入方程（4）并利用玆iccati方程（6），可將方程（4）左邊化為F(ξ)的多項式.令F(ξ)的各次冪項的系數為零，得到關于a-N,…,a0,…,a璑,ω（可能含k）的代數方程組，借助玀athematic和吳文俊消元法，解上述方程組，可得參數a-N,…,a0,…,a璑,ω（可能含k）的值（由P，Q，R表示），將上述結果代入（5）便得到方程（2）的一般形式的行波解.

玆iccati方程（6）有如下解：

（1）當P>0時，F(ξ)=±P玹anh(Pξ+c)；F(ξ)=±P玞oth(Pξ+猚).（7）

(2)當P<0時，F(ξ)=±-P玹anh(-Pξ+c)；〧(ξ)=±-P玞oth(-Pξ+c).（8）

（3）當P=0時，F(ξ)=1[]ξ+c.（9）

3.（2+1）-維獴urgers方程的精確周期波解

將（3）式代入方程（1）得：

(l2-kω)u″+k2(u′)2+k2uu″-k3u=0.

所以，l2[]k3-ω[]ku″+1[]k(u′)2+1[]kuu″-u=0.（10）

令l2[]k3-ω[]k=a,1[]k=b，代入（10），得

au″+b(u′)2+buu″-u=0.（11）

故設：u(ξ)=А芅[]i=-Na璱F琲(ξ)=a-1狥-1+a0+a1F.（12）

F′=P+F2.（13）

其中a-1,a0,a1為待定常數，將（12）代入（11）并反復利用（13），則（11）的左邊化為F(ξ)的多項式，令系數為零，得一代數方程組,解得：

a0=-a[]b,a-1=0,a1=2[]b.（14）

a0=-a[]b,a-1=-2P[]b,a1=0.（15）

a0=-a[]b,a-1=-2P[]b,a1=2[]b.（16）

顯然，最后一組解是前兩組解的疊加.

將式（14）,（15）,（16）分別代入式（12），得方程（1）的三個行波解的濃縮公式：

u(ξ)=-a[]b+2[]bF(ξ).（17）

u(ξ)=-2P[]bF-1(ξ)-a[]b.（18）

u(ξ)=-2P[]bF-1(ξ)-a[]b+2[]bF(ξ).（19）

其中ξ=kx+ly-ωt+ξ0，a=l2[]k3-ω[]k，b=1[]k.

利用玆iccati方程的解（7）~（9）可從濃縮公式（17）~（19）中解出精確解：

①P>0，將式（7）分別代入（17）~（19）可得周期波解：

u11=-a[]b±2[]bP玹anh(Pξ+c)；u21=-a[]b±2[]bP玞oth(Pξ+c);

u12(ξ)=±2P[]b玞oth(Pξ+c)-a[]b；

u22(ξ)=±2P[]b玹anh(Pξ+c)-a[]b；

u13(ξ)=±2P[]b玞oth(Pξ+c)-a[]b±2[]bP玹anh(Pξ+c);

u23(ξ)=±2P[]b玹anh(Pξ+c)-a[]b±2[]bP玞oth(Pξ+c).

②P<0，將式（8）分別代入（17）~（19）可得周期波解：

u31=-a[]b±2[]b-P玹anh(-Pξ+c)；

u41=-a[]b±2[]b-P玞oth(-Pξ+c)；

u32(ξ)=±2P[]b玞oth(-Pξ+c)-a[]b；

u42(ξ)=±2P[]b玹anh(-Pξ+c)-a[]b；

u33(ξ)=±2P[]b玞oth(-Pξ+c)-a[]b±2[]b-P?玹anh(-Pξ+c)；

u43(ξ)=±2P[]b玹anh(-Pξ+c)-a[]b±2[]b-P?┆玞oth(-Pξ+猚).

③P=0，將式（9）分別代入（17）~（19）可得周期波解：

u51=-a[]b+2[]b(ξ+c);u52=-2p[]b(ξ+c)-a[]b;

u53=-2P[]b(ξ+c)-a[]b+2[]b(ξ+c).