淺談轉(zhuǎn)化為配方法求值域的不同函數(shù)類型

蔣麗玲

整個(gè)高中階段對(duì)于如何求函數(shù)的值域，一直是絕大部分學(xué)生感到頭痛的問(wèn)題，它所涉及的知識(shí)面廣，方法靈活多樣，在高考中經(jīng)常出現(xiàn)，占有一定的地位，教師通常將其作為最重要的知識(shí)點(diǎn)來(lái)進(jìn)行教學(xué)處理.其中二次函數(shù)在高中階段的重要性是毋庸置疑的，其變式多種多樣，無(wú)論是客觀題還是主觀題很多都會(huì)最終轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的各個(gè)知識(shí)點(diǎn)來(lái)求解.若方法運(yùn)用適當(dāng)，就能起到簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程、避繁就簡(jiǎn)、事半功倍的作用.變式練習(xí)是指在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中對(duì)概念、性質(zhì)、定理、公式，以及問(wèn)題從不同角度、不同層次、不同情形、不同背景作出有效的變化，使其條件或形式發(fā)生變化，而本質(zhì)特征卻不變.能夠應(yīng)用“二次函數(shù)配方法”求值域的函數(shù)不勝枚舉,這里僅以其中幾道典型的例題來(lái)演示此法在解決具體問(wèn)題時(shí)的技巧.

題型一 二次函數(shù)的值域:配方法(圖像對(duì)稱軸).

例1 求函數(shù)y=x2-2x+5,x∈［-1,2］的值域.

值域是：［4，8］.

變式1 求f(x)=x2-ax+6的值域.

值域?yàn)?-a2[]4,+∞.

變式2 求f(x)=x2-ax+6在［-1，1］上的值域.

解 （1）當(dāng)a≤-2時(shí)，值域?yàn)椋?+a,7-a］.(2)當(dāng)-2≤a≤0時(shí),值域?yàn)?-a2[]4,7-a

.

(3)當(dāng)0≤a≤2時(shí),值域?yàn)?-a2[]4,7+a.(4)當(dāng)2≤a時(shí)，值域?yàn)椋?-a,7+a］.

題型二 三角函數(shù)的值域.在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，常遇到一些問(wèn)題直接求解較為困難，需將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化成一個(gè)新問(wèn)題（相對(duì)來(lái)說(shuō)，對(duì)自己較熟悉的），通過(guò)新問(wèn)題的求解，達(dá)到解決原問(wèn)題的目的，這一思想方法，我們稱之為“轉(zhuǎn)化的思想方法”.解題的過(guò)程就是“轉(zhuǎn)化”過(guò)程.“轉(zhuǎn)化”是解數(shù)學(xué)題的重要思想方法之一.轉(zhuǎn)化的思想方法的特點(diǎn)是實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的規(guī)范化、模式化，以便應(yīng)用已知的理論、方法和技巧達(dá)到問(wèn)題的解決.

例2 求函數(shù)y=(玸in玿+1)(玞os玿+1)，x∈-π玔]12,π玔]2的值域.

解 令玸in玿+玞os玿=t，則玸in玿玞os玿=1[]2(t2-1),y=1[]2(t2-1)+t+1=1[]2(t+1)2，故所求函數(shù)的值域?yàn)?[]4+2[]2，3[]2+2

.

題型三 指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的值域:采用換元法.

例3 求f(x)=玪og2(x2-2x+6)的值域.

值域?yàn)椋郢log25,+∞）.

例4 求f(x)=4瑇+2﹛+1+6的值域.

值域?yàn)椋?,+∞).

著名的數(shù)學(xué)教育家波利亞曾形象地指出：“好問(wèn)題同某種蘑菇有些相像，它們都成堆地生長(zhǎng)，找到一個(gè)以后，你應(yīng)當(dāng)在周圍找一找，很可能附近就有好幾個(gè).”數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，變式練習(xí)就是數(shù)學(xué)教育家波利亞所說(shuō)的蘑菇，它讓學(xué)生能夠把自主學(xué)習(xí)和主體智力參與，以及多向性、多層次的交互作用引進(jìn)教學(xué)過(guò)程.在高三的復(fù)習(xí)課中變式訓(xùn)練尤為重要.

題型四 根式函數(shù)的值域.

例5 求函數(shù)的值域：y=-x2-6x-5.ブ滌蛭［0,2］.

例6 求函數(shù)的值域：y=x+41-x.ブ滌蛭(-∞,5］.

利用代數(shù)或三角換元，形如y=ax+b±cx+d(a,b,c,d均為常數(shù)，ac≠0)的函數(shù)，令cx+d=t；形如含a2-x2的結(jié)構(gòu)的函數(shù)，可利用三角代換，令x=a玞osθ，θ∈［0,π］，或令x=a玸inθ,θ∈-π玔]2,π玔]2

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在數(shù)學(xué)的教學(xué)與研究中，類比是進(jìn)行合情推理的一種非常重要的思維方法.類比是探索問(wèn)題、解決問(wèn)題與發(fā)現(xiàn)新結(jié)果的一種卓有成效的思維方法.類比不僅是一種從特殊到特殊的推理方法，也是一種探索解題思路、猜測(cè)問(wèn)題答案或結(jié)論的一種有效的方法.

題型五 利用“平方開(kāi)方法”轉(zhuǎn)化為二次函數(shù).

例7 求函數(shù)f(x)=b-x+x-a（x∈［a,b］，a

值域?yàn)椋踒-a,2(b-a)］.

變式 求函數(shù)f(x)=b-kx+kx-ax∈a[]k,b[]k,a0的值域.

類比思維在數(shù)學(xué)知識(shí)延伸和拓廣過(guò)程中常借助于比較、聯(lián)想用作啟發(fā)誘導(dǎo)以尋求思維的變異和發(fā)散.許多形式不同的數(shù)學(xué)習(xí)題具有相同或相似的特征，只要理解、掌握了一個(gè)問(wèn)題的特征和解法，應(yīng)用類比，這類問(wèn)題就迎刃而解了.應(yīng)用類比方法，不僅可把抽象的新知識(shí)納入到已有知識(shí)系統(tǒng)中來(lái)，變抽象為形象、變難為易、變繁為簡(jiǎn)，同時(shí)又可激發(fā)學(xué)生聯(lián)想，具有啟發(fā)思路、舉一反三、觸類旁通的作用.