函數圖像對稱性綜述

齊坤

【摘要】函數是中學數學教學的主線，是中學數學的核心內容，也是整個高中數學的基礎.函數的性質是競賽和高考的重點與熱點，函數的對稱性是函數的一個基本性質，對稱關系不僅廣泛存在于數學問題之中，而且利用對稱性往往能更簡捷地使問題得到解決，對稱關系還充分體現了數學之美.

【關鍵詞】函數;對稱性;推論

本文擬通過函數自身的對稱性、相關函數圖像的對稱性和不同函數之間的對稱性這三個方面來探討函數與對稱有關的性質.

一、函數y=f(x)圖像自身的對稱性

定理Ⅰ

1.函數y=f(x)滿足f(a+x)=f(b-x)諍數y=f(x)圖像關于直線x=a+b[]2對稱.

推論 函數y=f(x)滿足f(x)=f(-x)諍數圖像y=f(x)關于y軸對稱.

2.函數y=f(x)滿足f(a+x)+f(b-x)=2c諍數y=f(x)關于點a+b[]2,c對稱.

推論 函數y=f(x)滿足f(x)+f(-x)=0諍數y=ゝ(x)關于原點對稱.

定理Ⅱ

1.若函數y=f(x)圖像同時關于點A(a,c)和點B(b，c)成中心對稱（a≠b）,則函數y=f(x)是周期函數，且2|a-b|是其一個周期.

2.若函數y=f(x)圖像同時關于直線x=a和直線x=b成軸對稱（a≠b）,則函數y=f(x)是周期函數，且2|a-b|是其一個周期.

3.若函數y=f(x)圖像同時關于點A(a,c)成中心對稱又關于直線x=b成軸對稱（a≠b）,則函數y=f(x)是周期函數，且4|a-b|是其一個周期.

二、相關函數圖像的對稱性

定理Ⅲ

1.函數y=f(x)為偶函數諍數y=f(ax+b)圖像關于直線x=-b[]a對稱.

2.函數y=f(x)為奇函數趛=f(ax+b)圖像關于點-b[]a，0對稱.

定理Ⅳ

1.函數y=f(ax+b)為偶函數諍數y=f(x)圖像關于直線x=b對稱.

2.函數y=f(ax+b)為奇函數諍數y=f(x)圖像關于點（b，0）對稱.

三、不同函數圖像之間的對稱性

定理Ⅴ

1.函數y=f(x+a)與y=f(-x+b)圖像關于x=b-a[]2對稱.

推論1 函數y=f(x)與y=f(-x)圖像關于y軸對稱.

推論2 函數y=f(x)與y=f(2a-x)圖像關于直線﹛=猘成軸對稱

（記憶方法：由x+a=-x+b解得）

2.函數y=f(x+a)與y=2c-f(-x+b)圖像關于點b-a[]2，c對稱.

推論1 函數y=f(x)與y=-f(-x)圖像關于原點對稱.

推論2 函數y=f(x)與y=2b-f(2a-x)圖像關于點A(a,b)成中心對稱.

（記憶方法：對稱點的橫坐標由x+m=-x+n解得）

定理Ⅵ

1.函數y=f(x)與a-x=f(a-y)圖像關于直線x+﹜=猘成軸對稱.

2.函數y=f(x)與x-a=f(y+a)圖像關于直線x-y=a成軸對稱.

推論 函數y=f(x)圖像與x=f(y)的圖像關于直線﹜=獂成軸對稱.

限于篇幅以上定理的證明這里不再贅述.