加\\減豎式如何教王海嬌

“豎式”實質上是記錄計算過程的一種書寫形式，它作為紙筆計算的工具幾乎貫穿于小學數學學習的始終，加、減計算作為計算學習的起始，對其豎式的認識無疑具有重要的基礎作用。

一、 豎式之難

在實際教學中發現，豎式計算的錯誤率極高，這反映出豎式計算的學習對學生來說是困難的。究其原因主要有兩方面，第一是豎式計算過程中存在著諸如“進位”或“退位”這樣隱蔽的因素，使得豎式計算過程并不直觀。圖1案例中可以看出學生并不理解減法豎式中的“退位”。

豎式計算之難的第二個原因是學生在學習豎式計算操作程序的時候，對于理解豎式計算所應有的基礎知識并不熟悉，這里的基礎知識主要包括“位值原理”和運算律，也就是通常所說的“算理”。以１２×２５為例，理解其豎式（見圖2）所需要的基礎知識包括位值原理，即“12＝10＋2”和“25＝20＋5”。

除此之外，要想真正理解這個豎式計算的過程，還需要知道（１０＋２）×（２０＋５）的計算方法。而這樣的內容牽涉到分配律、交換律、結合律的綜合運用，屬于初中數學的內容，已經超出了小學中低年級學生的認識水平。

由此，可以總結出在中低年級進行豎式教學的基本原則，就是將豎式中隱蔽的因素顯性化，將位值原理和運算律直觀化。

二、 加法豎式的教法

學生對某一知識的理解是逐步深入、循序漸進的過程，不同的學習階段對知識的理解有不同的水平。對于加法豎式的學習大致可以分為三個水平，第一是初步認識加法豎式的書寫形式；第二是不需要進位的加法豎式；第三是需要進位的加法豎式。

（一） 初步認識豎式的書寫形式

豎式的初步認識可以從“一位數加一位數”開始，其目的在于熟悉豎式的書寫形式，為今后的學習奠定基礎。低齡學生在學習加法運算之初，一般是通過數具體的物體如小棒得到答案。在此過程中，就可以進行豎式的滲透。由于學生在書桌上擺小棒，通常會出現兩種情況，一種是將兩堆小棒橫著放，另一種是將兩堆小棒豎著放。對于前者可以引導學生列出橫式，而對于后者就可以引導學生寫出簡單的豎式（見圖3）。

此時的豎式學習，學生只需要了解豎式的書寫形式，與橫式的認識并沒有本質的區別，也不會給學生的學習增加額外的困難。

（二） 不需進位的加法豎式

兩位數加法的教學是在學生理解兩位數的基礎之上進行的。例如12，十位上的1代表的是1個10，個位上的2代表的是2個1，用小棒表示就是1捆和2根。學生通過擺小棒學習20以內的兩位數加一位數且不需要進位的加法時，仍會出現上面提及的兩種情況，橫著擺或是豎著擺，此時值得注意的是，在引導學生書寫豎式時，應注意通過擺放小棒的位置幫助學生理解豎式中“數位對齊”的道理，滲透位值原理在豎式計算中的作用（見圖4）。

在此之后，學生就可以認識兩位數加兩位數的豎式，與前面的情況并沒有本質上的差別，完全可以在教師的引導下，由學生自主完成。以１２＋２３為例， 12即為一捆小棒和零散的2根，23則是2捆小棒和零散的3根。此時，將一捆小棒和兩捆小棒上下對齊，零散的2根和3根小棒上下對齊，這樣可以一目了然地看出一共有多少根小棒（見圖5）。

（三） 進位的加法豎式

至此，學生不僅熟悉了加法豎式的書寫形式，而且對于加法豎式算法的程序也有了一定程度的了解，所以，就可以開始進位加法豎式的學習了。以１６＋１５為例，仍然采用學生已經熟悉的擺小棒的方式（如圖6）。

整捆的小棒相加為2捆，零散的小棒相加為11根，其中的10根又可以組成一捆，此時整捆的小棒就有3捆，最后的結果為3捆零1根。這樣，就將豎式中隱蔽的進位顯性化了。

以上即為學生學習加法豎式的過程，不僅由淺入深，層層遞進，而且將學生的直觀操作與抽象的豎式聯系起來了。在此基礎上，學生就應當可以將加法豎式計算順利地遷移到三位數或多位數計算中了。

三、 減法豎式的教法

減法豎式的學習與加法有許多類似之處，鑒于加、減法的互逆關系，可以將兩者進行比較學習。

（一） 減法豎式的初步認識

同加法類似，在學生剛開始學習減法時，就可以開始滲透減法豎式的書寫形式。根據學生擺小棒的操作，導出減法的豎式。但是與加法的不同之處在于，學生用小棒進行減法操作時，是直接從一堆小棒中拿走一些，剩下的即為結果（見圖7）。

橫著擺放小棒，引導學生列出橫式；再豎著擺放小棒，引導學生寫出豎式。這樣，學生對減法豎式的書寫形式就有了直觀的認識，為深入學習減法豎式打下基礎。

學生對于新知識的理解，往往是在他們將要學習的新知識與已有知識和經驗建立聯系的時候。由于加法與減法互為逆運算，學生在認識了加法豎式后，學習減法時會容易聯系到加法豎式，如表1。教師通過加減法橫式的關系，可以引導學生推出加減法豎式的關系，從而也可以利用加法豎式進行減法豎式的學習。

（二） 不需退位的減法豎式

這一階段的學習目的是讓學生初步學會減法豎式的操作程序，理解數位對齊的道理。以２５－１２為例，如圖8，整捆的小棒上、下對齊，零散的小棒上、下對齊，通過豎式將操作過程呈現出來，在理解的基礎上再抽象出一般的標準的減法豎式。這一過程與加法不進位的豎式學習有相似之處，可以類比進行學習。

（三） 退位的減法豎式

退位減法的難點在于理解“借1”的含義。有了以上擺放小棒與豎式書寫相關聯的經驗，就可以借助小棒幫助理解了。在圖9中顯示出如何借助擺放小棒來理解“３３－１７ ”的豎式計算的過程。

整捆的小棒和零散的小棒分別對齊，發現零散的小棒不夠減，因此需要拆開一捆小棒，即10根，這就是借位中的“1”，代表的是1個十或10個一。此時位值原理的作用就體現出來了，向十位借“1”，借來的是1個十，向百位借“1”，借來的是1個百，這樣依次類推，就可以逐步理解“借1”的含義了。

綜上，在應用“擺小棒”的方法進行加、減豎式計算教學時應當注意兩點：第一是要注意小棒的擺放方式與豎式書寫形式之間的聯系；第二是要突出 “數位對齊”以及“進位、退位”的道理，也就是算理。以上的教法未必是最好的，期望成為有效應用學具、教具研究的引玉之磚。

（北京首都師范大學初等教育學院 100048）