“如何進行兩位數乘兩位數的教學——算法多樣化教學研究”校本教研活動方案(二)

在上一期中，我們主要討論了兩位數乘兩位數的一些教學問題，本期將主要討論在計算課中實施算法多樣化的理念與途徑。

一、 活動目標

1． 經歷閱讀、思考、解答并與同伴交流關于如何實施算法多樣化的相關資料與問題。

2． 思考在計算課中復習與不復習的利弊；閱讀并思考對算法優化的標準。

3． 明確實施算法多樣化的理念和操作方法。

二、 活動內容、形式與時間

1． 每位教師思考并書寫出在實施算法多樣化時遇到的主要問題，并準備在年級和全數學組中進行交流。不集中，時間約30分鐘。

2． 每位教師獨立解答下文中關于如何實施算法多樣化的相關問題，不集中，時間約1.5小時。

3． 交流自己寫出的問題及答案，先以年級組為單位交流，再全數學組交流。時間約1.5小時。

可以根據學校教研活動的時間和教研組教師的情況，選擇下面“活動前準備”中的一些問題進行解答與交流。

三、 活動前準備

解答下面的問題，并準備交流。（注：以下帶有“※”的問題表示有一定的難度。）

1． 你覺得什么叫算法多樣化？有人說，算法多樣化就是計算方法的多樣化。你同意這樣的觀點嗎？

2． ※數學課程中實施算法多樣化，有什么利弊？下列表達中，你認為是利的請打“√”，認為是弊的，請打“×”。

（1） 拉開學生間數學能力上的差異。（ ）

（2） 每一個學生都有了獨立思考的機會。（ ）

（3） 只有利于尖子學生的成績提高。（ ）

（4） 學困生常常一種方法也沒有。（ ）

（5） 學困生面對很多算法，常常無所適從。（ ）

（6） 提供了數學交流的機會，可以學習表達與傾聽。（ ）

（7） 課堂交流的時間很長，練習量減少。（ ）

（8） 增強學生思維的靈活性。（ ）

（9） 學習從多角度思考問題。（ ）

（10） 有利于理解計算的道理（算理）。（ ）

3． 算法多樣化與一題多解有什么異同點？

4． 學生在學習兩位數乘兩位數之前，已經學習了兩位數乘一位數和兩位數乘整十數，原來的教材一般都有準備題，在新課前會先復習這兩塊知識，而現在的教材常常是創設一個情境，要求學生自己列出算式并嘗試獨立解決。如果你上兩位數乘兩位數這節課，新課前有沒有復習呢？為什么？你在上其他計算課時，新課前也都有復習嗎？為什么？

５． 你認為，新課前如果安排復習，對學生的學習有什么利弊？如果不安排復習，又有什么利弊？關于兩位數乘兩位數的教學，新課前有復習和沒有復習的利弊，甲、乙兩人進行了討論與交流，下面是他們的對話，你覺得有道理嗎？

甲：你在上兩位數乘兩位數這節課時，新課前有復習嗎？

乙：當然有復習。

甲：復習什么內容呢？

乙：我會安排復習兩位數乘一位數和兩位數乘整十數的計算方法與算理。

甲：我是不復習的。你為什么要安排復習這些內容呢？

乙：難道你不知道，這些內容是解決兩位數乘兩位數的基礎嗎？

甲：什么意思？你是說，要解決兩位數乘兩位數，一定要會兩位數乘一位數和兩位數乘整十數嗎？

乙：當然是這樣的。我們就以24×12為例，在豎式計算中，實質上，就是24×2再加上24×10。你看兩位數乘一位數和兩位數乘整十數還不是基礎嗎？

甲：學生如果開始不用豎式計算呢？

乙：那他們怎么做呢？

甲：他們可以只用加法，也就是12個24相加或者24個12相加得出結果，或者用24×2×6、24×3×4，或者用12×3×8、12×4×6等等方法。

乙：這……用加法的方法的確沒有用上兩位數乘一位數和兩位數乘整十數；后面的幾種方法用到了兩位數乘一位數，但沒有用到兩位數乘整十數。你的意思是，我安排復習可能做了無用功？

甲：是的，因為你復習的內容是針對豎式計算的方法或者是對24×2+24×10這類方法的，而對其他的方法可能是無利的。

乙：為什么會有弊呢？

甲：因為每一種計算方法都會有它相應的基礎，如果你針對某一種方法復習了它的基礎，那么對學生運用其他的方法可能在思路上會有限制。

乙：你是說，我的復習對于豎式計算是有利的，但可能會對學生的思路有暗示作用，不利于學生想出其他的計算方法？

甲：是的。比如說，學生學習7加幾的20以內進位加法，我們如果讓學生獨立去計算7+6=（ ），那么學生可能會有多種不同的思路，6+6=12、12+1=13；7+7=14、14-1=13等等方法都可能會出現。但如果一開始就復習數的組成與分解，要求學生把4、5、6、7等數分解成3和幾，并解決7+（ ）＝10、7＋3＋1＝（ ）這樣的問題，那么，湊十法的思路就容易出現，但其他方法運用就可能會少一些。

乙：這樣看來新課前的復習的確有利弊，一方面可以幫助學生在他們的知識與能力庫中，提取運用某一種方法解決問題的知識與能力，有利于問題的解決。但同時也可能限制學生的其他解題思路。

甲：的確如此。我不復習就是不想限制學生的思路，希望學生能夠獨立思考，從多種角度嘗試去解決問題，使他們有機會自己去提取解決眼前問題需要的知識與能力。這樣會有利于算法多樣化的具體實施。

乙：新課前不復習就有利而無弊嗎？

甲：弊還是有的。如果一個學生不能解決問題，當他無法提取解決眼前問題所需要的知識與能力時，他將經歷解題失敗的痛楚，經常經歷這樣的過程，可能會讓這部分學生失去學習數學的信心。

乙：是不是可以這樣說，有復習對成績中下學生解決問題是有利的，但對成績中上學生可能是有弊的。沒有復習對中上學生有利而對中下學生有弊？

甲：我同意這樣的觀點。

乙：但一個班級總會有好生和部分差生，上新課前到底應不應該復習呢？

甲：這要根據學生與教學內容的情況來定。我的處理是：新課前不復習的課多一些，有復習的課少一些，總體上說，我想先讓學生自己獨立思考去嘗試解決問題。這對學生養成獨立思考的習慣是有好處的，對提高學生的素養是有益的。

乙：我還要想想，新課前到底應該是有復習的課多一些，還是少一些。

甲：哈哈，開個玩笑說，你的課堂當然是你做主！

６． 如果讓學生獨立嘗試去解決24×12這樣的問題，那么學生可能會有以下的方法：

（1） 24×12=24+24+…+24（12個24相加）；

（2） 24×12=12+12+…+12（24個12相加）；

（3） 24×12=24×10+24×2；（4） 24×12=12×20+12×4；

（5） 24×12=24×3×4；（6） 24×12=24×2×6；

（7） 24×12=12×4×6；（8） 24×12=12×3×8；

（9） 24×12=24×20-24×8；

（10） 24×12=12×30-12×6；

（11） 24×12＝24÷8×12×8；

（12） 24×12＝12÷6×24×6

（13） 用豎式計算的方法。

有人認為：“讓學生計算24×12，有了多種方法后，一定要進行優化。從某種意義上說，優化的過程是進一步數學化的過程，數學總是試圖用最優化的方法解決問題。”你同意這樣的觀點嗎？為什么？

７． 在上面列舉出的解決24×12的13種算法中，你認為哪一種或哪幾種是比較優的方法？第（13）種豎式的計算方法是最優的嗎？為什么？

８． 如果要優化，如何來衡量算法優的標準？如果讓你列出一些衡量的標準，你認為最主要應該考慮的因素是什么？

９． 也有人認為：“在學生計算24×12，有了多種方法后，不需要優化，可以讓學生自己選擇，學生喜歡用哪一種方法就用哪種方法。一種方法是不是優，最主要是看這種方法是不是適合解決某一個計算問題，另外，學生自己是不是喜歡用這種方法也很重要。因此，不可能建立一個統一的優化標準。從客觀上說，也不會有一種方法是絕對的優或絕對的劣。”你同意這樣的觀點嗎？為什么？

１０． 有人認為：“衡量一種算法是不是優主要看以下三個方面，一是從心理學的角度看，學生是不是喜歡這種方法；二是從教育學的角度看，這種方法是不是教師易教、學生易學的；三是從數學的角度看，這種方法是不是在學生后繼的數學學習中要用到的。”你同意這樣的觀點嗎？為什么？你覺得什么是“教師易教、學生易學的方法”？對一個優的方法來說，是上面的三方面要求都要做到，還是只要能夠滿足一個方面的要求，就是優的方法？

1１． 不管是不是要優化算法，對每一種算法都應該分析它的特點，也就是要讓學生分析每一種算法的長處與不足，在分析每種算法的特點的基礎上，對各種算法進行分類很重要。你覺得上面列舉的這13種算法可以分成幾類？每一類方法有什么特點？

1２． 在積極提倡算法多樣化的課堂教學中，學生有了多種算法后，教師需要把這些算法呈現出來，讓全班學生共享。一般的做法是學生說出自己解決問題的計算方法，教師板書相應的方法。但這樣的教學過程時間比較長。想一想，你有什么辦法，既能讓學生經歷多樣化方法的呈現過程，達到交流的目的，又能減少教學時間呢？你覺得，分別采用下面的一些方法，能夠達到上述的目標嗎？在這些方法中，你喜歡哪一些方法，為什么？

方法一：在學生小組交流的基礎上，由一個小組的代表把他們小組的所有方法都匯報完。在小組交流時，要求學生把方法進行歸類，全班交流時小組代表一類一類地匯報。

方法二：在每一個小組交流歸類的基礎上，讓兩個小組再交流一次，并把兩個小組的方法合并歸類，這樣在原來的基礎上，再一次歸納，減少了不必要的重復，兩個組確定一個代表向全班匯報。

方法三：教師為每一個小組準備一張大一點的白紙，每個小組討論交流時，先把自己組的方法分類寫在這張紙上，再貼到黑板上或教室的四周，大家去看、記。說一說，你看到的你們組沒有想到的方法是哪些。

方法四：在學生小組交流時，教師有意識地尋找方法比較多的一個組，讓這個小組先派一個或幾個同學把自己組的所有方法寫到黑板上，其他組討論好后看一看，能不能理解這些方法。有新方法要補充的，可以小組派一個代表到黑板上去寫。每一種補充的方法后面都寫上小組的編號，以便有不清楚的同學可以去問相應小組的人。

1３． 如果要積極提倡算法多樣化，你覺得建立哪些觀念是很重要的？說一說，以下的這些觀念是什么意思？建立這些觀念對實施算法多樣化有利嗎？為什么？

觀念1：要讓學生獨立地嘗試解決計算問題，盡可能找出一種解決問題的方法。

觀念2：無論學生是否解決了問題，是否計算出了正確的結果，教師都應該積極地鼓勵學生，嘗試用不同的方法去解決問題。

觀念3：要培養學生用不同的方法去解決同一個數學問題的習慣。要讓學生有用不同方法解決同一個數學問題的愿望。

觀念4：讓學生重視與同伴的交流，培養學生比較各種方法特點（優點）的能力。讓學生在交流和比較中找到適合自己解決問題的一種或者幾種方法。

觀念5：要培養學生在比較各種方法特點的基礎上，把方法進行整理與歸類，逐步明確每一類方法的特點。

觀念6：不要求每一個學生都能用兩種或兩種以上的方法解決同一個數學問題。算法多樣化是對一個班集體來說的，不是對每一個學生的個體來說的。

觀念7：要引導學困生建立解決某一類計算題的思考程序。如兩位數減一位數的退位減法，以54-8=？為例。讓學生獨立思考嘗試解決這個計算題時，學生可能會有多種不同的方法：

（1） 54－8＝54－4－4；

（2） 54－8＝50－8＋4；

（3） 54－8＝54－10＋2；

（4） 54－8＝58－8－4；

（5） 54－8＝40+14－8=40+6；

……

以上的每一種方法都有數學的思維過程，教師可以選擇一個一般的算法，分析思維過程，并把思維過程歸納成幾步。如對于運用第（5）種方法：54－8＝40＋14－8。它的思維過程是：一看：看個位上的數是否夠減；二分：把被減數分成幾十和十幾；三減：十幾減幾；四加：幾十加幾；五寫：寫上結果。讓學困生經歷得出這五步的過程，然后讓學生運用這個過程解決兩位數減一位數的退位減法的問題。

（以上活動方案中問題的相應參考答案略）

（浙江省杭州市上城區教育學院 310006）