數形結合找規律

【設計理念】

小學生的思維發展特點是從具體形象思維為主要形式逐步向抽象邏輯思維過渡，但這時的邏輯思維是初步的，且在很大程度上仍具有具體形象性。通過數與形的有機結合，把形象思維與抽象思維有機地結合起來，能夠有的放矢地幫助學生多角度、多層次地思考問題，養成多向性思維的好習慣，甚至為學生初步形成辯證思維能力創造條件。鑒于此，筆者嘗試開展了“數形結合找規律”思維訓練課的設計、教學與研究。

【教學目標】

1． 讓學生在生動有趣的活動中觀察、尋找圖形的特點，結合圖形從不同的角度觀察得出不同的數學規律。

2． 應用“數形結合”，訓練和培養學生數學直覺思維能力、發散思維能力和創造性思維能力。

3． 通過以形助數的直觀生動性，體會數形結合，感受數學的趣味性。

【教學過程】

一、 導入

師：同學們有沒有學過這樣一首詩？（師出示《題西林壁》這首詩：橫看成嶺側成峰，遠近高低各不同。不識廬山真面目，只緣身在此山中。）這首詩什么意思？（從不同角度看廬山，廬山的模樣各不相同）

師：其實在數學學習中也是如此，對待同一個問題，如果從不同角度去觀察、去思考，得出的結論、規律也會不同。

（設計意圖：從學生比較熟悉的古詩導入新課，非常簡明。以此遷移到數學學習中也要善于從不同角度觀察和思考問題，為后面新知的學習作了鋪墊。）

二、 新授

師（依次出示圖1、圖2、圖3）：分別說說是由幾個小圓點組成的。想象一下圖4會是什么樣子的？一共有多少個圓點？

師：你是怎么想到圖4會有16個小圓點的？仔細觀察這組圖，你還有什么發現呢？（生暢談自己的發現）

師：同學們不僅能用一個數表示每幅圖的圓點數，而且還能用算式來表示這組圖的規律，真了不起。根據這個規律，想一想第5個圖形是怎樣的？一共有多少個圓點？第8幅圖呢？第100幅圖呢？第N幅圖呢？

師：通過剛才的觀察，我們發現每幅圖的圓點總數都可以看做是兩個相同的數相乘的積，這些算式還可以用平方數的形式來表示。那剛才我們是怎樣觀察的？（橫著觀察的）

（設計意圖：數形結合方法之一是借助“形”的生動和直觀性認識“數”。通過觀察前3個圖，使學生從整體上了解圖形的圓點排列特點；然后，通過想象圖4的樣子及圓點個數，進而作出大膽的猜想、合理的假設，并作出試探性的結論，訓練學生的數學直覺思維能力。）

師：如果下列式子也是表示每幅圖圓點的總數，那么和剛才的算式等不等？

1+3=22 1+3+5=32 1+3+5+7=42

師：仔細觀察等式，左邊的式子有什么特征？右邊的呢？左右聯系起來看，你又有什么發現？

生匯報得出：從1起連續奇數的和等于奇數個數的平方。

師：要求連續奇數的和只要知道什么？下列式子你會求嗎？

（1） 1+3+5+7+9+11 （2） 1+3+5+7+9+11+13+15+17

（3） 3+5+7+9+11+13+15+17+19

師小結：剛才我們對于同一組圖，從不同的角度觀察，找到了這么多不同的規律。同學們真了不起。其實早在2000多年前，古希臘的數學家們就是借助這些小圓點，找到了這些規律。

師：我們再回憶一下，剛才是怎樣找到這些規律的？和什么結合起來找的？（揭題：數形結合找規律）數形結合是一種特別重要的數學思想方法。我國著名數學家華羅庚曾說過：數缺形時少直觀，形少數時難入微；數形結合百般好，隔離分家萬事休。什么意思？希望同學們在以后的學習中經常使用數形結合的思想方法，可以用來解決一些實際問題。

師出示：（1） 1+3+5+……+99

（2） 2+4+6+……+998

解決第（1）題的關鍵是什么？怎樣確定奇數的個數呢？

第（2）題有什么特征？連續偶數的和如果與連續奇數的和一樣有規律那就好了，想不想研究？

（設計意圖：引導學生主動而有效地觀察圖形，培養學生從圖中讀懂重要信息，并整理信息，提出問題、分析問題、解決問題的能力，養成自主探索、自我評價、合作交流的學習習慣，增強對數形結合思維模式的認知，體會圖形對數學規律形成的意義。引導學生經歷觀察、操作、歸納、類比、猜測等過程，發展合情的推理能力，運用發現的規律解決數學問題并進行交流；體會圖形發現的樂趣，初步感受圖形的美和推理的價值。）

三、 應用

1. 出示三個算式：2+4、2+4+6、2+4+6+8。你能在圖５中畫一畫、分一分，使每幅圖的圓點總數分別能用下列式子來表示嗎？

2. 學生在圖５的每個圖中分別獨立劃分后反饋。

3. 如果換個角度再觀察這組圖，你還能用什么式子來表示每幅圖的圓點總數呢？在圖６一列中分一分，并用算式表示。然后分小組討論你們的發現。

4. 反饋。得出結論：從2起連續偶數的和等于偶數個數的平方加偶數個數，即（n2+n），或等于偶數個數乘比偶數個數大1的數，即n×（n+1）。

（設計意圖：教師通過這道探索性的題目，讓學生去研究、探討、發現，進行一系列探索性思維活動，以“數”解“形”，使學生更準確地把握“形”，將已有的思維方式大跨度地遷移，進而發現蘊涵在圖形中的數學規律。）

四、 拓展

師：剛才這幅圖換個角度去觀察，還有許多神奇的規律，感興趣的同學課后可以再去研究，并把你的發現寫成一篇小論文交給老師。（學生也可能會有如下的發現）

（設計意圖：以上這道題，借助“一題多解”或“一題多變”的形式，來引發學生提出新的思想、新的方法、新的問題，發展思維的廣闊性和靈活性，激勵學生的好奇心和求知欲，不斷提高學生探索發現規律的能力。）

(江蘇省丹陽市華南實驗學校 212300）