螺旋式上升背景下教學內容呈現方式的研究

“改進學習方式和教學方式，培養創新意識”是普通高中數學課程標準教材編寫的一條重要指導思想。教材對學生的學習方式和教師的教學方式都要有引導作用。編寫教材應當遵循認知規律，關注學生的個性差異，提倡多樣化的學習方式，努力為學生創造自主探究、合作交流的空間，為教師營造教學創新的環境，為師生互動式教學提供民主的氛圍和豐富的資源[1]。而要達到這一目的，教材編寫應堅持螺旋上升的原則，既要在教學內容的深度、廣度上做到螺旋上升，同時也應在知識的呈現方式上做到螺旋上升。本文結合蘇教版高中數學教材必修1、必修4函數圖像變換編寫的比較，談談對同一主題教學內容呈現方式的認識。

一、蘇教版高中必修1、必修4函數圖像變換編寫的比較分析

1.教學內容在深度、廣度上充分注意了螺旋式上升

螺旋上升是教材編寫應遵循的一般原則。螺旋體現在學習主題的相同而內容的深度、廣度的不同；上升體現在層次的提升，以及課程內容的深度、廣度的適度加深上，而不是簡單地再現或重復[2]。

圖像變換是高中函數學習的一項重要內容，主要涉及到圖像的平移、伸縮（縱向和橫向）、翻折等。高中階段對于這些變換的研究主要體現在指數函數、對數函數、三角函數圖像的變換上。指數函數、對數函數圖像的變換出現在高中數學必修1教材上，三角函數圖像的變換出現在高中數學必修4教材上。從指數函數到對數函數，再到三角函數，研究圖像變換的載體改變了，教學內容的深度也在改變；從平移變換到伸縮變換，教學內容的廣度也隨之改變。教學內容的呈現順序如下圖所示。

2.教學內容呈現的方式過于依賴合情推理，未能做到螺旋式上升

引入合情推理和演繹推理是新課程教材的一大亮點，它有利于在知識傳授的同時滲透方法論的教育，有利于幫助學生掌握科學的學習方法。教材編寫者在編寫教材時除了將“合情推理和演繹推理”作為獨立的教學內容外，同時還用合情推理和演繹推理來引領數學的發現。但在具體操作時，尚存在教學內容呈現的方式過于依賴合情推理現象，忽視學生已有的學習基礎，忽視學生思維發展規律的現象，顯得機械單一。這對學生科學的探究素養的形成是不利的。對蘇教版高中教材指數、對數、三角函數圖像變換編寫進行比較，可以發現這三部分教學內容在呈現方式上都強調了以圖識性、數形結合的思想，基本都按“作圖觀察——理性思考——得出具體結論——一般化”的方式編寫。比較如下。

（1）作圖觀察

①指數函數圖像平移變換作圖如下：

②對數函數圖像平移變換作圖如下：

③三角函數圖像平移變換作圖如下（由于相位變換、周期變換和振幅變換呈現的方式完全相同，故此處只呈現相位變換教材編寫的方式）：

（2）理性思考

①指數函數：函數y=2x-2中x=a+2對應的y值與函數y=2x中x=a對應的y值相等；

②對數函數：函數y=log3(x+2)中x=a-2對應的y值與函數y=log3x中x=a對應的y值相等；

③三角函數：函數y=sin(x+1)圖像上橫坐標為t-1的點的縱坐標，與函數y=sinx圖像上橫坐標為t的點的縱坐標相同。

（3）得出具體結論

①指數函數：將函數y=2x的圖像向右平移2個單位長度，就得到函數y=2x-2的圖像；

②對數函數：將函數y=log3x的圖像向左平移2個單位長度，就得到函數y=log3(x+2)的圖像；

③三角函數：函數y=sin(x+1)圖像可以看做是將函數y=sinx圖像上所有的點向左平移1個單位而得到的。

（4）一般化

①指數函數：以“思考”的形式呈現：“函數y=ax+h與函數y=ax(a>0，a≠1，h≠0)的圖像之間有什么關系？”

②對數函數：以“思考”的形式呈現：“函數y=loga(x+b)與函數y=y=logax+(a>0，a≠1，b≠0)的圖像之間有什么關系？”

③三角函數：直接告知一般化結論：函數y=sin(x+φ)（其中φ≠0）的圖像可以看做是將函數y＝sinx的圖像上所有點向左（當φ>0）或向右（當φ<0）平行移動|φ|個單位長度而得到的。

教材教學內容的呈現強調了從特殊到一般，利用歸納推理的方式進行數學發現，再進行邏輯推理。這是一種常用的數學研究的方法，學生在初三學習二次函數圖像的變換時實際上已經接觸這種方法了。但這種方法是否適用于所有不同學段的學生？學生在不斷獲取新知的過程中，思維方式和學習能力是否始終不變？數學的重要結論是否一定要通過合情推理的形式發現呢？數形結合思想的運用是否一定要從形開始，依圖識性？能否依性作圖？能否改變教學內容的呈現方式，以適合不同層次學生發展的需要？

二、同一主題教學內容呈現的基本原則

1.教學內容的呈現應尊重學生已有的認知水平

布魯納的結構主義課程觀認為，課程要以與兒童的思維方式相符合的方式盡早讓學生掌握學科的基本結構，隨著年級的提升，使學科的基本結構不斷拓展和加深。教學內容的呈現，應在學生原有認知結構基礎上，依據數學學習規律、相關內容在不同模塊中的要求以及數學內在的邏輯聯系，以核心知識(基本概念和原理、重要的數學思想方法)為支撐和聯結點，循序漸進、螺旋上升地組織學習內容，形成結構化的教材體系[1]。而如何使得教學內容在邏輯體系、思想方法等方面相對于原來的學習有所提升，則要求教學內容在呈現方式上應尊重學生已有的認知水平，恰當地把握學生的知識基礎、年齡特征以及思維水平。

高一年級的學生在學習指數函數圖像的平移變換之前，在初三已經學習了二次函數圖像的平移變換，其研究方法是由特殊到一般，運用的是歸納推理的方式。在學習指數函數圖像的平移變換時，繼續沿用原先的方法，有利于鞏固所學，掌握用歸納推理進行探究。在學完指數函數圖像的平移變換后不久，便開始學習對數函數圖像的平移變換。如簡單地重復原先的工作，雖簡單易操作，但這樣的呈現方式，對于年齡不斷增長，思維水平不斷提升的學生來說，未免顯得過于單一而稚化，對科學探究方法的滲透是不利的。這些同一主題教學內容呈現時，能否對探究的結論做到步步提升，以利于新知的形成，或是對探究的方法適度地改變，使不同層次、不同學段的學生感受到不同方法帶來的數學探究的樂趣。因此，在呈現同一主題教學內容時，我們應當充分尊重學生已有的認知水平。

2.教學內容的呈現應堅持演繹推理與合情推理并重

合情推理和演繹推理是兩種基本的邏輯推理，是進行數學發現、數學建構的常用推理方式。蘇教版高中數學教材以“問題情境—學生活動—數學建構—數學運用—回顧反思”的形式呈現教學內容，有利于學生觀察、實驗、猜想和探究，對學生合情推理技能的形成有積極的作用。但很多結論在發現以后，只是進行了適當的“解釋”，而沒有進行嚴格的論證。這種過多依賴合情推理的呈現方式，對培養學生的理性思維能力是不利的。

蘇教版必修1、必修4中函數圖像平移、伸縮變換具體結論的給出，基本都是以合情推理的方式，且均是以歸納推理的方式發現的。事實上，合情推理不是進行數學發現的唯一方式，演繹推理同樣在數學發現中發揮著重要作用。演繹推理和合情推理是相輔相成、相伴而行的，比如說，演繹推理的大前提一般都必須借助于歸納推理從具體的經驗中概括出來，而合情推理的結論又必須依靠演繹推理來證明其真偽性。教學內容在呈現方式上應堅持演繹推理與合情推理并重的原則，以便更好地發揮數學對培養人的推理能力的作用[3]。

3.教學內容的呈現應注重本質的揭示

教學內容的呈現如過分依賴合情推理，過分追求外在的操作活動，往往會造成一種“過度稚化”的現象。數學知識自身的邏輯體系影響著教材的編排，時代在發展，課程內容、呈現形式都在變化，但其實質不變[4]。“過分強調兒童的需要和興趣，必然會影響知識的系統性和整體性，破壞學科本身內在的邏輯聯系”[5]。“數學教材必須展示數學的內在本質”[6]。例如，在研究圖像變化時，由具體函數的特征歸納一般函數具有的規律，由圖形的特征去發現函數的性質，是一種容易接受的方式，但從思維層面上看，也只是一種低層次的思維方式。對思維能力快速提高的高中生來說，能否采用由數到形的研究方式，即先理性地思考引發函數圖像產生變化的本質原因是什么，再思考函數解析式的變化會帶來函數性質發生了怎樣的變化？函數性質的變化會致使圖像相應地產生怎樣的變化？無疑，這種回歸到函數本質屬性的探究在思維層面上要明顯地高于簡單的歸納發現。

三、對函數圖像變換編寫的建議

1.用歸納推理的方式引領指數函數圖像變換的呈現。鑒于指數函數安排在必修1，學生從初中升入高中不久，尚處在初高中銜接階段，學生對高中的學習還很不適應，這時還不宜變化太大，應循序漸進，故仍適宜用類似于研究二次函數圖像變換的方式呈現指數函數圖像變換。

2.用類比推理的方式引領對數函數圖像變換的呈現。對數函數圖像變換由于緊接著指數函圖像變換，故可以運用類比推理的方式提出問題，引發學生思考，然后再由形到數，由特殊到一般地進行研究。但在對函數變換一般性結論總結的基礎上，可提出“函數y=f(x+a)與函數y=f(x)的圖像之間有什么關系？”從而將特殊函數圖像變換的規律提升到一般函數圖像變換的規律。這也與函數一章的主題相吻合，有利于揭示數學的本質。

3.用演繹推理的方式引領三角函數圖像變換的呈現。由于在研究對數函數圖像變換時，已經研究了函數y=f(x+a)與函數y=f(x)的圖像之間的關系，故對于三角函數圖像的平移，可以在回歸其函數本質的認識基礎上，以演繹推理的方式直接得出，而無需再以歸納推理的方式進行；對于周期變換和振幅變換，為了幫助學生認識導致圖像變換的根本原因，數學結論的發現不應還停留在依圖識性的層面上，而應讓學生從解析式的變化上去認識函數性質的變化，然后依性作圖，當然也可進一步通過計算機作圖讓學生有直觀的感知。這種“理性思考——得出具體結論——作圖驗證——一般化”的呈現方式在思維層次上要高于原先的“作圖觀察——理性思考——得出具體結論——一般化”，這正體現了思維的螺旋上升。

參考文獻

[1] 普通高中數學課程標準實驗教科書編寫委員會．普通高中數學課程標準教材的研究與編寫．課程?教材?教法，2005（1）．

[2] 孔凡哲．基礎教育新課程中螺旋式上升課程設計和教材編排問題探究．教育研究，2007（5）．

[3] 王曉輝，赫曉玲．兩類教材對初中生數學推理技能影響的比較研究．課程?教材?教法，2007（11）．

[4] 楊慧娟，裴昌根．60年來初中數學教材編寫的歷史沿革與啟示——以人教版為例．數學教育學報．2011（4）．

[5] 曲鐵華，于桂霞．中國近代中小學教材改革．教育研究，2006（4）．

[6] 李善良．論中小學數學教材編寫的基本原則．數學教育學報．2007（2）．

（責任編輯 劉永慶）