函數(shù)

平面直角坐標(biāo)系

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1. 平面直角坐標(biāo)系

在平面內(nèi)兩條互相________且有共同______的數(shù)軸，組成平面直角坐標(biāo)系.

平面直角坐標(biāo)系把坐標(biāo)平面分成______個(gè)象限，x軸上的點(diǎn)的______為0，y軸上的點(diǎn)的______為0.

2. 坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)與有序?qū)崝?shù)對(duì)是___________.

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例1 （2011湖南懷化）如圖1，若在象棋盤上建立直角坐標(biāo)系，使“帥”位于點(diǎn)（-1，-2），“馬”位于點(diǎn)（2，-2），則“兵”位于點(diǎn)（ ）

A. （-1，1）B. （-2，-1）

C. （-3，1）D. （1，-2）

分析：要確定“兵”的位置，必須找到原點(diǎn)的位置. 由“帥”與“馬”所在位置，我們可以知道它們的縱坐標(biāo)都是-2，則它們所在位置的兩點(diǎn)連線必定平行于x軸，且在x軸下方，到x軸的距離為2個(gè)單位，由圖1可知“炮”所在的水平直線即為x軸. 再由“帥”與“馬”的橫坐標(biāo)可知，兩點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離分別為1個(gè)單位、2個(gè)單位，即可知道“炮”所在的豎直線為y軸. 因此可知，“炮”為坐標(biāo)系的原點(diǎn)，“兵”位于點(diǎn)（-3，1）. 選C.

點(diǎn)評(píng)：本題以同學(xué)們非常熟悉的棋盤為問題背景，考查了同學(xué)們根據(jù)實(shí)際問題中的相關(guān)條件建立恰當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系來(lái)解決問題的能力.

例2 （2011湖南常德）在平面直角坐標(biāo)系中，?荀ABCD的頂點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別是（0，0）、（3，0）、（4，2），則頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（ ）

A. （7，2）B. （5，4）C. （1，2）D. （2，1）

分析：根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，可以知道：CD∥AB且CD=AB=3. 點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4，2），則點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為2，橫坐標(biāo)為4-3=1，即其坐標(biāo)為（1，2）. 選C.

點(diǎn)評(píng)：本題考查了平面直角坐標(biāo)系內(nèi)平行于坐標(biāo)軸的直線上點(diǎn)的坐標(biāo)的特點(diǎn). 如果本題改為：以點(diǎn)A（0，0）、B（3，0）、C（4，2）為頂點(diǎn)作平行四邊形，則第四個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)又是什么呢？請(qǐng)同學(xué)們不妨自己試試.

例3 （2011江蘇鎮(zhèn)江）如圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形ABCD的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（1，1），B（1，-1），C（-1，-1），D（-1，1），y軸上有一點(diǎn)P（0，2）. 作點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)P1，作點(diǎn)P1關(guān)于點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)P2，作點(diǎn)P2關(guān)于點(diǎn)C的對(duì)稱點(diǎn)P3，作點(diǎn)P3關(guān)于點(diǎn)D的對(duì)稱點(diǎn)P4，作點(diǎn)P4關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)P5，作點(diǎn)P5關(guān)于點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)P6……按此操作下去，則點(diǎn)P2 011的坐標(biāo)為（ ）

A. （0，2）B. （2，0）C. （0，-2）D. （-2，0）

分析：易知正方形的邊AD所在的直線垂直平分OP，連接OA、PA，則可以得到∠POA=45°、∠PAO=90°，所以點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)P1必定在x軸上，且OP1=OP=2，所以點(diǎn)P1的坐標(biāo)為（2，0）. 同樣，可以得到點(diǎn)P2的坐標(biāo)為（0，-2），點(diǎn)P3的坐標(biāo)為（-2，0），點(diǎn)P4的坐標(biāo)為（0，2），點(diǎn)P5的坐標(biāo)為（2，0）. 顯然，點(diǎn)P1、P2、P3、P4所在的位置依次循環(huán)出現(xiàn)，且2 011=502×4+3，因此，點(diǎn)P2 011的坐標(biāo)與點(diǎn)P3的坐標(biāo)相同，為（-2，0）. 選D.

點(diǎn)評(píng)：本題是一道探究規(guī)律性的問題，以確定點(diǎn)的坐標(biāo)為問題背景，綜合考查了同學(xué)們對(duì)圖形性質(zhì)與對(duì)稱點(diǎn)的掌握.

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“平面直角坐標(biāo)系”所涉及的知識(shí)點(diǎn)是《函數(shù)》中最基礎(chǔ)、最基本的知識(shí)，是進(jìn)一步掌握其他函數(shù)知識(shí)的前提. 有些同學(xué)由于不能靈活掌握相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)性質(zhì)，不能根據(jù)平面直角坐標(biāo)系內(nèi)圖形條件確定圖形中點(diǎn)的坐標(biāo)，難免會(huì)出現(xiàn)一些錯(cuò)誤.

例1 （2011江蘇泰州）點(diǎn)P（-3，2）關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)P′的坐標(biāo)是__________.

錯(cuò)解：（3，2）.

剖析：平面直角坐標(biāo)系內(nèi)兩點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱，則它們的橫坐標(biāo)不變. 由于不能正確把握點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱的特點(diǎn)，因而出現(xiàn)錯(cuò)誤.

正解：本題正確應(yīng)該選（-3，-2）.

例2 （2011江西南昌）如圖3，△DEF是由△ABC繞著某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到的，則這點(diǎn)的坐標(biāo)是________.

錯(cuò)解：（-1，1）.

剖析：圖形繞某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)前后圖形的大小不變，且對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心

的距離相等，因此，旋轉(zhuǎn)中心必定在對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線上，每對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線的交點(diǎn)必過(guò)旋轉(zhuǎn)中心. 所以，本題只要分別作出AD、BE的垂直平分線，它們的交點(diǎn)為（0，1）.

正解：本題正確答案是（0，1）.

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例1 （2011山東濱州）如圖4，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形ABCO的頂點(diǎn)A、C分別在y軸、x軸上，以AB為弦的⊙M與x軸相切. 若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，8），則圓心M的坐標(biāo)為（ ）

A. （-4，5）B. （-5，4）C. （5，-4）D. （4，-5）

分析：要求圓心M的坐標(biāo)，關(guān)鍵是要求點(diǎn)M到x軸的距離. 因?yàn)辄c(diǎn)M在邊AB的垂直平分線上，且點(diǎn)M與點(diǎn)B、切點(diǎn)之間的距離相等. 不妨設(shè)⊙M與x軸相切于點(diǎn)D，連接DM，并延長(zhǎng)DM交AB于點(diǎn)E，則∠BEM=90°，所以，在Rt△BEM中，BE 2+EM 2=BM 2，設(shè)DM=y，則42+（8-y）2=y2，解得y=5，圓心M的坐標(biāo)為（-4，5）. 選A.

例2 （2011江蘇南京）如圖5，在平面直角坐標(biāo)系中，⊙P的圓心是（2，a）（a＞2），半徑為2，函數(shù)y=x的圖象被⊙P所截得的弦AB的長(zhǎng)為2■，則a的值是（ ）

A. 2■B. 2+■C. 2■D. 2+■

分析：要求a的值，即需要求圓心P到x軸的距離PD. 由⊙P的圓心坐標(biāo)是（2，a）、⊙P的半徑為2、弦AB的長(zhǎng)為2■，則可求得圓心P到AB的距離PC為1，且⊙P與y軸相切. 再由直線的解析式為y=x可知函數(shù)圖象與y（x）軸的夾角為45°. 設(shè)PD交OB于點(diǎn)F，則∠PFC=45°，所以PF=■，DF=OD=PE=2，即PD=2+■，所以a的值是2+■. 正確答案選B.

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1. （2011江蘇宿遷）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)M（-2，3）在（ ）

A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D(zhuǎn). 第四象限

2. （2011江蘇泰安）若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（6，3），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，將OA繞點(diǎn)O按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到OA′，則點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（ ）

A. （3，-6）B. （-3，6）C. （-3，-6）D. （3，6）

3. （2011江蘇鹽城）如圖6，△ABC的頂點(diǎn)都在正方形網(wǎng)格格點(diǎn)上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1，4），將△ABC沿y軸翻折到第一象限，則點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C′的坐標(biāo)是______.

4. （2011貴州安順）如圖7，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，四邊形OABC為矩形，A（10，0），C（0，4），點(diǎn)D是OA的中點(diǎn)，點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)△ODP是腰長(zhǎng)為5的等腰三角形時(shí)，P點(diǎn)的坐標(biāo)為_____.

5. （2011安徽省）在平面直角坐標(biāo)系中，一螞蟻從原點(diǎn)O出發(fā)，按向上、向右、向下、向右的方向依次不斷移動(dòng)，每次移動(dòng)1個(gè)單位. 其行走路線如圖8所示.

（1） 填寫下列各點(diǎn)的坐標(biāo)：A4（_____，______），A8（______，______），A12（_____，_____）；

（2） 寫出點(diǎn)A4n的坐標(biāo)（n是正整數(shù)）；

（3） 指出螞蟻從點(diǎn)A100到點(diǎn)A101的移動(dòng)方向.

一 次 函 數(shù)

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1. 一般地，如果兩個(gè)變量x與y之間的函數(shù)關(guān)系可以表示為y=kx+b（k、b為常數(shù)，且k_____0）的形式，那么稱y是x的________. 特別地，當(dāng)b=_____時(shí)，y叫做x的正比例函數(shù).

2. 一次函數(shù)的圖象是一條__________. 因此，畫一次函數(shù)的圖象時(shí)，一般可選取兩個(gè)特殊點(diǎn). 直線y=kx+b（k≠0，k、b均為常數(shù)）與y軸的交點(diǎn)為______，與x軸的交點(diǎn)為________；畫正比例函數(shù)y=kx的圖象時(shí)，只要描出點(diǎn)___________與________ 即可.

3. 一次函數(shù)y=kx+b中，

（1） k＞0時(shí)，y的值隨x值的增大而_____；

（2） k_________0時(shí)，y的值隨x值的增大而減小.

4. 正比例函數(shù)y=kx中，

（1） 當(dāng)k＞0時(shí)，圖象經(jīng)過(guò)第________象限，y隨x的________而增大；

（2） 當(dāng)k________0時(shí)，圖象經(jīng)過(guò)第________象限，y隨x的增大而減小.

5. 一般地，正比例函數(shù)y=kx的圖象是經(jīng)過(guò)________的一條直線，一次函數(shù)y=kx+b的圖象是正比例函數(shù)y=kx的圖象沿y軸向________（b＞0）或向________（b＜0）平移________個(gè)單位得到的一條直線.

6. 函數(shù)y=kx+b（k≠0，k、b為常數(shù)）與x軸交點(diǎn)的________就是方程kx+b=0的解；函數(shù)y=kx+b（k≠0，k、b為常數(shù)）的圖象在x軸上方時(shí)x的取值范圍是不等式________的解集；函數(shù)y=kx+b（k≠0，k、b為常數(shù)）的圖象在x軸下方時(shí)x的取值范圍是不等式________的解集.

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例1 （2011四川樂山）已知一次函數(shù)y=ax+b的圖象經(jīng)過(guò)第一、二、四象限，且與x軸交于點(diǎn)（2，0），則關(guān)于x的不等式a（x-1）-b＞0的解集為（ ）

A. x＜-1B. x＞-1C. x＞1D. x＜1

分析：根據(jù)一次函數(shù)圖象的位置，可以得到a＜0、b＞0；又由一次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)，可得a與b之間的數(shù)量關(guān)系2a+b=0，即b=-2a，從而有關(guān)于x的不等式a（x-1）+2a＞0，解得其解集為x＜-1. 本題正確答案為A.

例2 （2011浙江杭州）點(diǎn)A、B、C、D的坐標(biāo)如圖1，求直線AB與直線CD的交點(diǎn)坐標(biāo).

分析：先根據(jù)點(diǎn)A、B、C、D的坐標(biāo)分別求出直線AB和CD的解析式，再確定它們的交點(diǎn)坐標(biāo).

解答：設(shè)直線AB的解析式為y1=k1x+b1，由A（-3，0）、B（0，6）得

-3k1+b1=0，b1=6. 解得k1=2，b1=6. 所以y1=2x+6.

設(shè)直線CD的解析式為y2=k2x+b2，由C（0，1）、D（2，0），得

2k2+b2=0，b2=1. 解得k2=-■，b2=1. 所以y2=-■x+1.

因?yàn)榉匠探My=2x+6，y=-■x+1的解為x=-2，y=2.

所以直線AB與直線CD的交點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，2）.

點(diǎn)評(píng)：本題著重考查應(yīng)用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式以及應(yīng)用二元一次方程組與一次函數(shù)之間的關(guān)系求兩直線交點(diǎn)問題的能力. 特別要注意的是求正比例函數(shù)解析式時(shí)，只需要一個(gè)自變量和其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值即可. 求一次函數(shù)解析式時(shí)，需要兩個(gè)自變量和其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值.

例3 （2011江蘇泰州）小明從家騎自行車出發(fā)，沿一條直路到相距2 400 m的郵局辦事，小明出發(fā)的同時(shí)，他的爸爸以96 m/min的速度從郵局沿同一條道路步行回家，小明在郵局停留2 min后沿原路以原速返回，設(shè)他們出發(fā)后經(jīng)過(guò)t（min）時(shí)，小明與家之間的距離為S1（m），小明爸爸與家之間的距離為S2（m），圖2中折線OABD、線段EF分別是表示S1、S2與t之間函數(shù)關(guān)系的圖象.

（1） 求S2與t之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2） 小明從家出發(fā)，經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間在返回途中追上爸爸？這時(shí)他們距離家還有多遠(yuǎn)？

分析：（1） 先根據(jù)條件求得小明爸爸從郵局到家的時(shí)間，確定點(diǎn)F的坐標(biāo)，再應(yīng)用待定系數(shù)法即可求得S2與t之間的函數(shù)關(guān)系式；（2） 根據(jù)條件求得線段BD所在直線的函數(shù)解析式，進(jìn)而求得與線段EF的交點(diǎn)坐標(biāo)，即可解決問題.

解答：（1） 2 400÷96=25（min），

∴ 點(diǎn)E、F的坐標(biāo)分別為（0，2 400）、（25，0）.

設(shè)EF的解析式為S2=kt+b，則有2 400=b，0=25k+b. 解得k=-96，b=2 400.

∴ S2與t之間的函數(shù)關(guān)系式為：S2=-96t+2 400.

（2） 由條件可知：B、D點(diǎn)的坐標(biāo)為（12，2 400）、（22，0）.

設(shè)BD的解析式為S=mt+n，則有12m+n=2 400，22m+n=0. 解得m=-240，n=5 280.

∴ BD段的解析式為S=-240t+5 280.

由方程組s=-96t+2 400，s=-240t+5 280求得t=20，s=480. 即BD與EF的交點(diǎn)坐標(biāo)為（20，480），

∴ 小明從家出發(fā)，經(jīng)過(guò)20分鐘在返回途中追上爸爸，這時(shí)他們距離家480 m.

點(diǎn)評(píng)：本題是一道一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用題. 著重考查應(yīng)用一次函數(shù)的數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力. 解答時(shí)要根據(jù)條件，抓住函數(shù)圖象中點(diǎn)的坐標(biāo)表示的實(shí)際意義建立恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)解析式，就能在解答中游刃有余.

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例1 （2011湖北隨州）如圖3，把Rt△ABC放在直角坐標(biāo)系內(nèi)，其中∠CAB=90°，BC=5，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（1，0）、（4，0），將△ABC沿x軸向右平移，當(dāng)點(diǎn)C落在直線y=2x-6上時(shí)，線段BC掃過(guò)的面積為（ ）

A. 4B. 8C. 16D. 8■

錯(cuò)解：B.

剖析：由條件易求得CA=4，所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，4），將△ABC沿x軸向右平移后點(diǎn)C落在直線y=2x-6上其對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)為（a，4），易求得a=5，說(shuō)明平移了4個(gè)單位. 線段BC掃過(guò)的圖形為一個(gè)平行四邊形，其高為4，底為4，面積為16. 究其錯(cuò)因，沒有正確理解題意以及求得平移后BC的位置，而導(dǎo)致錯(cuò)誤.

正解：本題正確答案選C.

例2 已知一次函數(shù)y=kx+b，當(dāng)0≤x≤2時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y的取值范圍是-2≤y≤4，則kb的值為（ ）

A. 12B. -6C. -6或-12D. 6或12

錯(cuò)解：A或B或D.

剖析：由自變量0≤x≤2時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y的取值范圍是-2≤y≤4，可確定這個(gè)一次函數(shù)必過(guò)（0，-2）和（2，4）或（0，4）和（2，-2），把這兩組坐標(biāo)分別代入可求得k=3，b=-2或k=-3，b=4，所以kb的值為-6或-12. 錯(cuò)解原因：僅僅考慮k＞0時(shí)，一次函數(shù)必過(guò)（0，-2）和（2，4）的情形，忽視k＜0時(shí)，一次函數(shù)必過(guò)（0，4）和（2，-2）的情形，因而出現(xiàn)錯(cuò)誤.

正解：本題正確答案選C.

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例1 （2011浙江）如圖4，在平面直角坐標(biāo)系中，線段AB的端點(diǎn)坐標(biāo)為A（-2，4），B（4，2），直線y=kx-2與線段AB有交點(diǎn)，則k的值不可能是（ ）

A. -5B. -2C. 3D. 5

分析：我們假設(shè)直線y=kx-2與線段AB僅有一個(gè)交點(diǎn)A或點(diǎn)B時(shí)，可以求得y=-3x-2或y=x-2. 當(dāng)直線y=kx+b越接近y軸時(shí)，|k|的值越大，即k≤-3或k≥1時(shí)，直線y=kx-2與線段AB有一個(gè)交點(diǎn). 因此，其中k的值不可能是-2. 正確答案為B.

點(diǎn)評(píng)：解答這類問題時(shí)，往往從其特殊情形入手，再思考其一般性.

例2 （2011江蘇南通）如圖5，已知三個(gè)半圓依次相外切，它們的圓心都在x軸的正半軸上并且它們都與直線y=■x相切，設(shè)半圓C1、半圓C2、半圓C3的半徑分別是r1、r2、r3，則當(dāng)r1=1時(shí)，r3=_______.

分析：根據(jù)直線的解析式y(tǒng)=■x，不妨設(shè)直線上任意一點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，■m），則tan∠POX=■，直線與x軸的正半軸的夾角∠POX為30°，再根據(jù)三個(gè)半圓依次相外切，可以得到r2=3r1，同樣得到r3=3r2、r3=9r1=9.

點(diǎn)評(píng)：根據(jù)直線解析式揭示圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)間的數(shù)量關(guān)系，再轉(zhuǎn)化為直角三角形中邊之間的數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而確定其內(nèi)角的度數(shù).

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1. （2011廣東廣州）當(dāng)實(shí)數(shù)x的取值使得■有意義時(shí)，函數(shù)y=4x+1中y的取值范圍是

（ ）

A. y≥-7B. y≥9C. y＞9D. y≤9

2. （2011湖北黃石）已知梯形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（-1，0），B（5，0），C（2，2），D（0，2），直線y=kx+2將梯形分成面積相等的兩部分，則k的值為（ ）

A. -■B. -■C. -■D. -■

3. （2011江蘇泰州）“一根彈簧原長(zhǎng)10 cm，在彈性限度內(nèi)最多可掛質(zhì)量為5 kg的物體，掛上物體后彈簧伸長(zhǎng)的長(zhǎng)度與所掛物體的質(zhì)量成正比，■則彈簧的總長(zhǎng)度y（cm）與所掛物體質(zhì)量x（kg）之間的函數(shù)關(guān)系式是y=10+0.5x（0≤x≤5）. ”

王剛同學(xué)在閱讀上面材料時(shí)就發(fā)現(xiàn)部分內(nèi)容被墨跡污染，被污染部分是確定函數(shù)關(guān)系式的一個(gè)條件，你認(rèn)為該條件可以是______________（只需寫出一個(gè)）.

4. （2011內(nèi)蒙古呼和浩特）已知關(guān)于x的一次函數(shù)y=mx+n的圖象如圖6所示，則|n-m|-■可化簡(jiǎn)為________.

5. （2011湖北襄陽(yáng)）為發(fā)展旅游經(jīng)濟(jì)，我市某景區(qū)對(duì)門票采用靈活的售票方法吸引游客.門票定價(jià)為50元/人，非節(jié)假日打a折售票，節(jié)假日按團(tuán)隊(duì)人數(shù)分段定價(jià)售票，即m人以下（含m人）的團(tuán)隊(duì)按原價(jià)售票；超過(guò)m人的團(tuán)隊(duì)，其中m人仍按原價(jià)售票，超過(guò)m人部分的游客打b折售票. 設(shè)某旅游團(tuán)人數(shù)為x人，非節(jié)假日購(gòu)票款為y1（元），節(jié)假日購(gòu)票款為y2（元）. y1、y2與x之間的函數(shù)圖象如圖7所示.

（1） 觀察圖象可知：a=________；b=________；m=________；

（2） 直接寫出y1、y2與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（3） 某旅行社導(dǎo)游王娜于5月1日帶A團(tuán)，5月20日（非節(jié)假日）帶B團(tuán)都到該景區(qū)旅游，共付門票款1 900元，A、B兩個(gè)團(tuán)隊(duì)合計(jì)50人，求A、B兩個(gè)團(tuán)隊(duì)各有多少人？

反比例函數(shù)

■

1. 反比例函數(shù)y=■（k≠0）的圖象是________，它有兩個(gè)分支. 當(dāng)k＞0時(shí)，圖象的兩個(gè)分支分別在________象限內(nèi)；當(dāng)k＜0時(shí)，圖象的兩個(gè)分支分別在________象限內(nèi).

2. 當(dāng)k＞0時(shí)，在每個(gè)象限內(nèi)，反比例函數(shù)y=■中的y隨x的增大而________；當(dāng)k＜0時(shí)，在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而________.

■

例1 （2011江蘇連云港）關(guān)于反比例函數(shù)y=■的圖象，下列說(shuō)法正確的是（ ）

A. 必經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，1）B. 兩個(gè)分支分布在第二、四象限

C. 兩個(gè)分支關(guān)于x軸成軸對(duì)稱D. 兩個(gè)分支關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱

分析：根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)可以知道，圖象的兩個(gè)分支分布在第一、三象限，兩個(gè)分支關(guān)于第一、三象限的角平分線成軸對(duì)稱圖形，并且關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱. 而點(diǎn)（1，1）不在該函數(shù)圖象上. 因此，正確的選項(xiàng)只有D.

例2 （2011江蘇淮安）如圖1，反比例函數(shù)y=■的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-1，-2），則當(dāng)x＞1時(shí)，函數(shù)值y的取值范圍是（ ）

A. y＞1B. 0＜y＜1C. y＞2D. 0＜y＜2

分析：由反比例函數(shù)y=■的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-1，-2），則可以知道該函數(shù)的解析式為y=■. 由圖象和反比例函數(shù)的性質(zhì)知道，當(dāng)x＞1時(shí)，0＜y＜2. 故選D.

例3 （2011江蘇揚(yáng)州）如圖2，已知函數(shù)y=-■與y=ax2+bx（a＞0，b＞0）的圖象交于點(diǎn)P，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為1，則關(guān)于x的方程ax2+bx+■=0的解為__________.

分析：求關(guān)于x的方程ax2+bx+■=0的解，也就是求關(guān)于x的方程ax2+bx=-■的解，即求函數(shù)y=-■與y=ax2+bx交點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，由圖象易得-3.

點(diǎn)評(píng)：本題靈活地將解方程問題轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)問題，體現(xiàn)了形數(shù)結(jié)合的數(shù)學(xué)思想和轉(zhuǎn)化思想.

例4 （2011江蘇南通）如圖3，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，0），且與雙曲線y=■（x＞0）交于點(diǎn)B（2，1），過(guò)點(diǎn)P（p，p-1）（p＞1）作x軸的平行線分別交曲線y=■（x＞0）和y=-■（x＜0）于M，N兩點(diǎn).

（1） 求m的值及直線l的解析式；

（2） 若點(diǎn)P在直線y=2上，求證：△PMB∽△PNA；

（3） 是否存在實(shí)數(shù)p，使得S△AMN=4S△APM？若存在，請(qǐng)求出所有滿足條件的p的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

分析：根據(jù)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，應(yīng)用待定系數(shù)法即可解決問題（1）；根據(jù)直線l的解析式，知點(diǎn)A、B、P在同一條直線上，且點(diǎn)B為PA的中點(diǎn)，再確定點(diǎn)P在直線y=2上時(shí)點(diǎn)M也是PN的中點(diǎn)，從而根據(jù)三角形的中位線性質(zhì)解決問題（2）；第（3）問，要探求兩個(gè)三角形的面積比的條件，可以轉(zhuǎn)化為探求兩條線段比的條件，進(jìn)而可以轉(zhuǎn)化為求關(guān)于p的一元二次方程.

解答：（1） ∵ 點(diǎn)B（2，1）在雙曲線y=■上，∴ 1=■，得m=2.

設(shè)直線l的解析式為y=kx+b，∵ 直線l過(guò)A（1，0）和B（2，1），∴ k+b=0，2k+b=1，解得k=1，b=-1.

∴ 直線l的解析式為y=x-1.

（2） 當(dāng)x=p時(shí)，y=p-1，點(diǎn)P（p，p-1）（p＞1）在直線l上，如圖4.

∵ P（p，p-1）（p＞1）在直線y=2上，∴ p-1=2，解得p=3，∴ P（3，2）.

∵ PN∥x軸，∴ P、M、N的縱坐標(biāo)都等于2，把y=2分別代入雙曲線y=■和y=-■，得M（1，2），N（-1，2），由■=■=1，知M是PN的中點(diǎn)，又B是PA的中點(diǎn)，∴ BM∥AN，∴ △PMB∽△PNA.

（3） 由于PN∥x軸，P（p，p-1）（p＞1），∴ M、N、P的縱坐標(biāo)都是p-1（p＞1），把y=p-1分別代入雙曲線y=■（x＞0）和y=-■（x＜0），得M的橫坐標(biāo)x=■，N的橫坐標(biāo)x=-■（其中p＞1）.

∵ S△AMN=4S△APM且P、M、N在同一直線上，∴ ■=■=4，得MN=4PM，即■

=4p-■，整理得p2-p-3=0，解得p=■. 由于p＞1，負(fù)值舍去，∴ p=■，經(jīng)檢驗(yàn)p=■是原題的解，∴ 存在實(shí)數(shù)p，使得S△AMN=4S△APM，p的值為■.

點(diǎn)評(píng)：本題考查了同學(xué)們綜合應(yīng)用反比例函數(shù)、一次函數(shù)、三角形的中位線、相似三角形條件以及一元二次方程等知識(shí)解決綜合問題的能力. 同時(shí)，能夠較好地體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合、等積轉(zhuǎn)化和方程的數(shù)學(xué)思想.

■

例1 （2011浙江杭州）如圖5，函數(shù)y1=x-1和函數(shù)y2=■的圖象相交于點(diǎn)M（2，m），N（-1，n），若y1＞y2，則x的取值范圍是（ ）

A. x＜-1或0＜x＜2B. x＜-1或x＞2

C. -1＜x＜0或0＜x＜2D. -1＜x＜0或x＞2

錯(cuò)解：選C.

剖析：解題正確思路是觀察函數(shù)y1在函數(shù)y2上方部分所對(duì)應(yīng)的自變量x的值的范圍. 錯(cuò)解原因：不能正確地從函數(shù)的圖象中獲取相關(guān)信息.

正解：D.

例2 （2011江蘇南京）設(shè)函數(shù)y=■與y=x-1的圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)為（a，b），則■-■的值為________.

錯(cuò)解：1.

剖析：因?yàn)楹瘮?shù)y=■與y=x-1的圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)為（a，b），所以ab=2、a-b=1，則■-■=■=-■.

正解：-■.

例3 （2011四川南充）小明乘車從南充到成都，行車的平均速度y（km/h）和行車時(shí)間x（h）之間的函數(shù)圖象是（ ）

錯(cuò)解：選A.

剖析：由條件知，行車的平均速度y（km/h）和行車時(shí)間x（h）之間的函數(shù)關(guān)系應(yīng)該為反比例函數(shù)，不妨設(shè)y=■，且k＞0、x＞0，因此，函數(shù)圖象應(yīng)該是在第一象限，即選B. 如果忽視x＞0的隱含條件，就會(huì)出現(xiàn)選A的錯(cuò)誤結(jié)果.

正解：選B.

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例1 （2011江蘇無(wú)錫）如圖6，拋物線y=x2+1與雙曲線y=■的交點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是1，則關(guān)于x的不等式■+x2+1＜0的解集是（ ）

A. x＞1B. x＜-1C. 0＜x＜1D. -1＜x＜0

分析：求關(guān)于x的不等式■+x2+1＜0的解集，也就是求關(guān)于x的不等式x2+1＜-■的解集，顯然，雙曲線y=-■的圖象在二、四象限，且與雙曲線y=■關(guān)于y軸成軸對(duì)稱圖形，與拋物線y=x2+1的交點(diǎn)A的橫坐標(biāo)必定是-1，因此，其解集為-1＜x＜0. 故選D.

點(diǎn)評(píng)：本題需要靈活應(yīng)用圖象的軸對(duì)稱性和圖象的相關(guān)性質(zhì)求得所求不等式的解集.

例2 （2011陜西省）如圖7，過(guò)y軸正半軸上的任意一點(diǎn)P，作x軸的平行線，分別與反比例函數(shù)y=-■和y=■的圖象交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，若點(diǎn)C是x軸上任意一點(diǎn)，連接AC、BC，則△ABC的面積為（ ）

A. 3B. 4C. 5D. 6

分析：分別過(guò)點(diǎn)A、B作x軸的垂線，垂足分別為M、N，則四邊形AMOP的面積為4、四邊形PONB的面積為2，四邊形AMNB的面積為6，所以△ABC的面積為3. 故選A.

點(diǎn)評(píng)：本題巧妙地應(yīng)用反比例函數(shù)中的一個(gè)重要結(jié)論“過(guò)雙曲線y=■上的任意一點(diǎn)作坐標(biāo)軸的垂線與坐標(biāo)軸圍成的四邊形面積為|k|”，使問題的解答得心應(yīng)手.

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1. （2011江蘇揚(yáng)州）某反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-1，6），則下列各點(diǎn)中，此函數(shù)圖象也經(jīng)過(guò)的點(diǎn)是（ ）

A. （-3，2）B. （3，2）C. （2，3）D. （6，1）

2. （2011江蘇徐州）平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)O（0，0）、A（0，2）、B（1，0），點(diǎn)P是反比例函數(shù)y=-■圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥x軸，垂足為點(diǎn)Q. 若以點(diǎn)O、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△OAB相似，則相應(yīng)的點(diǎn)P共有（ ）

A. 1個(gè)B. 2個(gè)C. 3個(gè)D. 4個(gè)

3. （2011江蘇蘇州）如圖8，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（■，3），AB⊥x軸，垂足為B，連接OA，反比例函數(shù)y=■（k＞0）的圖象與線段OA、AB分別交于點(diǎn)C、D. 若AB=3BD，以點(diǎn)C為圓心，CA的■倍的長(zhǎng)為半徑作圓，則該圓與x軸的位置關(guān)系是________（填“相離”、“相切”或“相交”）.

4. （2011浙江寧波）如圖9，正方形A1B1P1P2的頂點(diǎn)P1、P2在反比例函數(shù)y=■（x＞0）的圖象上，頂點(diǎn)A1、B1分別在x軸和y軸的正半軸上，再在其右側(cè)作正方形P2P3A2B2，頂點(diǎn)P3在反比例函數(shù)y=■（x＞0）的圖象上，頂點(diǎn)A2在x軸的正半軸上，則點(diǎn)P3的坐標(biāo)為________.

5. （2011山東菏澤）已知一次函數(shù)y=x+2與反比例函數(shù)y=■，其中一次函數(shù)y=x+2的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（k，5）.

① 試確定反比例函數(shù)的表達(dá)式；

② 若點(diǎn)Q是上述一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象在第三象限的交點(diǎn)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo).

二次函數(shù)

■

1. 二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a，b，c為常數(shù)，且a≠0）的圖象是拋物線，它的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（_____，_____），對(duì)稱軸是過(guò)_____點(diǎn)且與y軸平行的直線（當(dāng)b=0時(shí)，對(duì)稱軸為y軸所在的直線）.

（1） 當(dāng)a＞0時(shí)，圖象開口向_____，且當(dāng)x_____時(shí)，函數(shù)y=ax2+bx+c有最小值，y最小值=_____；

（2） 當(dāng)a＜0時(shí)，圖象開口向_____，且當(dāng)x_____時(shí)，函數(shù)y=ax2+bx+c有最大值，y最大值=_____.

2. 二次函數(shù)常見的表達(dá)形式

（1） 一般式：y=ax2+bx+c（a≠0）；

（2） 頂點(diǎn)式：________，其中點(diǎn)（m，h）為該二次函數(shù)的頂點(diǎn).

3. 一般地，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與一元二次方程ax2+bx+c=0的根有如下關(guān)系：

（1） 如果二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn)，那么一元二次方程ax2+bx+c=0有__________的實(shí)數(shù)根；

（2） 如果二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，那么一元二次方程ax2+bx+c=0有________的實(shí)數(shù)根；

（3） 如果二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸沒有公共點(diǎn)，那么一元二次方程ax2+bx+c

=0有_______實(shí)數(shù)根.

■

例1 （2011江蘇宿遷）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖1，則下列結(jié)論中正確的是（ ）

A. a＞0B. 當(dāng)x＞1時(shí)，y隨x的增大而增大

C. c＜0D. 3是方程x2+bx+c=0的一個(gè)根

分析：觀察圖象，我們即可知道a＜0、c＞0，對(duì)稱軸為直線x=1，圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為（-1，0），由此推出圖象與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為（3，0），因此，方程x2+bx+c=0的兩個(gè)根分別為-1、3，所以，正確選項(xiàng)為D.

例2 （2011江蘇鎮(zhèn)江）已知二次函數(shù)y=-x2+x-■，當(dāng)自變量x取m時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值大于0，當(dāng)自變量x分別取m-1，m+1時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y1、y2必定滿足（ ）

A. y1＞0，y2＞0B. y1＜0，y2＜0C. y1＜0，y2＞0D. y1＞0，y2＜0

分析：因?yàn)閥=-x2+x-■=-x-■2+■，所以其對(duì)稱軸為直線x=■，且與y軸的交點(diǎn)為0，-■，則該函數(shù)圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)A、B都在x軸的正半軸上. 當(dāng)自變量x取m時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值大于0，所以，點(diǎn)（m，0）位于交點(diǎn)A、B之間，易知|AB|＜1，所以，點(diǎn)（m-1，0）、（m+1，0）都位于這兩個(gè)交點(diǎn)A、B的外側(cè)，所以當(dāng)自變量x分別取m-1，m+1時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y1、y2都小于0. 故選B.

例3 （2011江蘇連云港）如圖2，拋物線y=■x2-x+a與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，其頂點(diǎn)在直線y=-2x上.

（1） 求a的值；

（2） 求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3） 以AC、CB為一組鄰邊作?荀ACBD，則點(diǎn)D關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)D′是否在該拋物線上？請(qǐng)說(shuō)明理由.

分析：先求得頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再求得頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可求得a的值和A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo). 對(duì)于問題（3）中的點(diǎn)D可以看成另外兩邊所在直線的交點(diǎn)，從而確定點(diǎn)D關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)D′，并判定其是否在該拋物線上.

解答：（1） ∵ 拋物線y=■x2-x+a的頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x=-■=1.

∵ 頂點(diǎn)在直線y=-2x上，所以y=-2，即頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-2），由-2=■-1+a，求得a=-■.

（2） 二次函數(shù)的關(guān)系式為y=■x2-x-■，當(dāng)y=0時(shí)，■x2-x-■=0，解得x1=-1、x2=3，即A（-1，0），B（3，0）.

（3） 如圖2，直線BD∥AC，AD∥BC，由A（-1，0），C0，-■，可得直線AC的解析式為y=-■x-■，設(shè)BD的解析式為y=-■x+b，由B（3，0），得b=■，則直線BD的解析式為y=-■x+■，同理可得直線AD的解析式為y=■x+■.

因此，直線BD與CD的交點(diǎn)D的坐標(biāo)為2，■，點(diǎn)D關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)D′是2，-■，當(dāng)x=2時(shí)代入y=■x2-x-■，得y=-■，所以D′在二次函數(shù)y=■x2-x-■的圖象上.

例4 （2011江蘇無(wú)錫）張經(jīng)理到老王的果園里一次性采購(gòu)一種水果，他倆商定，張經(jīng)理的采購(gòu)價(jià)y（元/噸）與采購(gòu)量x（噸）之間函數(shù)關(guān)系的圖象如圖3中的折線段ABC所示（不包含端點(diǎn)A，但包含端點(diǎn)C）.

（1） 求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2） 已知老王種植水果的成本是2 800元/噸，那么張經(jīng)理的采購(gòu)量為多少時(shí)，老王在這次買賣中所獲的利潤(rùn)w最大？最大利潤(rùn)是多少？

分析：由于采購(gòu)價(jià)y （元/噸）與采購(gòu)量x （噸）之間函數(shù)關(guān)系的圖象是折線段ABC，因此，所求函數(shù)關(guān)系式需要分情況加以討論，同樣，所獲利潤(rùn)也需要分情況加以討論，比較不同情況下所獲最大利潤(rùn).

解答：（1） 當(dāng)0＜x≤20時(shí)，y=8 000；

當(dāng)20＜x≤40時(shí)，設(shè)BC滿足的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b，將B（20，8 000），C（40，4 000）代入，解得

k=-200，b=12 000，∴ y=-200x+12 000.

（2） 當(dāng)0＜x≤20時(shí)，老王獲得的利潤(rùn)為w=（8 000-2 800）x=5 200x≤104 000，

此時(shí)老王獲得的最大利潤(rùn)為104 000元；

當(dāng)20＜x≤40時(shí)，老王獲得的利潤(rùn)為：

w=（-200x+12 000-2 800）x=-200（x2-46x）=-200（x-23）2+105 800，

∴ 當(dāng)x=23時(shí)，利潤(rùn)w取得最大值，最大值為105 800元.

∵ 105 800＞104 000，

∴ 當(dāng)張經(jīng)理的采購(gòu)量為23噸時(shí)，老王在這次買賣中所獲得的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為105 800元.

點(diǎn)評(píng)：對(duì)于實(shí)際問題，需要結(jié)合實(shí)際意義背景下的自變量的取值范圍確定其函數(shù)關(guān)系式和函數(shù)值. 本題考查同學(xué)們應(yīng)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值.

■

例1 （2011江蘇無(wú)錫）下列二次函數(shù)中，圖象以直線x=2為對(duì)稱軸，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，1）的是

（ ）

A. y=（x-2）2+1B. y=（x+2）2+1C. y=（x-2）2-3D. y=（x+2）2-3

錯(cuò)解：選B.

剖析：由條件直線x=2為對(duì)稱軸可以淘汰B、D，再?gòu)腁與C中選擇經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，1）的解析式，為y=（x-2）2-3.

正解：選C.

例2 （2011四川廣安）若二次函數(shù)y=（x-m）2-1，當(dāng)x≤1時(shí)，y隨x的增大而減小，則m的取值范圍是（ ）

A. m=1B. m＞1C. m≥1D. m≤1

錯(cuò)解：選A.

剖析：二次函數(shù)y=（x-m）2-1，當(dāng)x≤m時(shí)，y隨x的增大而減小，當(dāng)x≥m時(shí)，y隨x的增大而增大. 反過(guò)來(lái)，二次函數(shù)y=（x-m）2-1，當(dāng)x≤1時(shí)，y隨x的增大而減小，則說(shuō)明x≤1是x≤m的一部分或全部，因此，m應(yīng)該滿足m≥1.

正解：選C.

例3 （2011湖北襄陽(yáng)）已知函數(shù)y=（k-3）x2+2x+1的圖象與x軸有交點(diǎn)，則k的取值范圍是

（ ）

A. k＜4B. k≤4C. k＜4且k≠3D. k≤4且k≠3

錯(cuò)解：選D.

剖析：當(dāng)k-3≠0時(shí)，圖象與x軸有交點(diǎn)，則4-4（k-3）≥0，解得k≤4；當(dāng)k-3=0，即k=3時(shí)，函數(shù)為y=2x+1，其圖象與x軸仍然有交點(diǎn). 所以k的取值范圍是k≤4. 由于忽視問題中的條件“函數(shù)”，而誤以為“二次函數(shù)”導(dǎo)致出現(xiàn)錯(cuò)誤.

正解：選B.

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例1 已知實(shí)數(shù)x、y滿足x2+3x+y-3=0，則x+y的最大值為________.

分析：我們把x+y看成是一個(gè)整體，對(duì)x2+3x+y-3=0進(jìn)行變形得，x+y=-x2-2x+3=-（x+1）2+4，所以，當(dāng)x=-1時(shí)，x+y最大值為4.

解答：本題應(yīng)填4.

例2 若二次函數(shù)y=ax2+bx+c的x與y的部分對(duì)應(yīng)值如下表：

則當(dāng)x=1時(shí)，y的值為（ ）

A. 5B. -3C. -13D. -27

分析：觀察表格中x與y的對(duì)應(yīng)值，我們不難看出，當(dāng)x=-4與x=-2時(shí)，y的值都是3，因此，函數(shù)的圖象關(guān)于直線x=-3成軸對(duì)稱，則x=1與x=-7時(shí)的函數(shù)值也是相等的，為-27.

解答：選D.

點(diǎn)評(píng)：本解法沒有根據(jù)表格中的相關(guān)數(shù)值應(yīng)用待定系數(shù)法分別求得a、b、c的值，而是靈活地應(yīng)用表格中函數(shù)值y相等確定其對(duì)稱軸，再應(yīng)用函數(shù)的對(duì)稱性解決問題.

例3 k為何值時(shí)，函數(shù)y=2x2+4x+k-3的值總是大于0？

分析：由于函數(shù)的值總是大于0，所以這個(gè)函數(shù)圖象全部在x軸的上方，與x軸沒有交點(diǎn)，從而可以應(yīng)用一元二次方程與二次函數(shù)之間的關(guān)系解決問題.

解答：∵ 函數(shù)y=2x2+4x+k-3的二次項(xiàng)系數(shù)是2＞0，且它的函數(shù)值總是大于0，

∴ 函數(shù)圖象的開口方向向上，且全部在x的上方，與x軸沒有交點(diǎn)，

∴ △=42-8（k-3）＜0，解得k＞5.

即k＞5時(shí)，函數(shù)y=2x2+4x+k-3的值總是大于0.

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1. （2011江蘇淮安）拋物線y=x2-2x-3的頂點(diǎn)坐標(biāo)是________.

2. （2011廣東茂名）給出下列命題：

命題1. 點(diǎn)（1，1）是雙曲線y=■與拋物線y=x2的一個(gè)交點(diǎn)；

命題2. 點(diǎn)（1，2）是雙曲線y=■與拋物線y=2x2的一個(gè)交點(diǎn)；

命題3. 點(diǎn)（1，3）是雙曲線y=■與拋物線y=3x2的一個(gè)交點(diǎn)；

……

請(qǐng)你觀察上面的命題，猜想出命題n（n是正整數(shù)）：______________.

3. （2011廣西桂林）在平面直角坐標(biāo)系中，將拋物線y=x2+2x+3繞著它與y軸的交點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，所得拋物線的解析式是（ ）

A. y=-（x+1）2+2B. y=-（x-1）2+4

C. y=-（x-1）2+2D. y=-（x+1）2+4

4. （2011山東聊城）某公園草坪的防護(hù)欄是由100段形狀相同的拋物線組成的. 為了牢固起見，每段護(hù)欄間距0.4 m加設(shè)一根不銹鋼的支柱，防護(hù)欄的最高點(diǎn)距底部0.5 m（如圖4），則這條防護(hù)欄需要不銹鋼支柱的總長(zhǎng)度至少為（ ）

A. 50 mB. 100 mC. 160 mD. 200 m

5. （2011江蘇南京）已知函數(shù)y=mx2-6x+1（m是常數(shù)）.

（1） 求證：不論m為何值，該函數(shù)的圖象都經(jīng)過(guò)y軸上的一個(gè)定點(diǎn)；

（2） 若該函數(shù)的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，求m的值.

6. （2011遼寧沈陽(yáng)）一玩具廠去年生產(chǎn)某種玩具，成本為10元/件，出廠價(jià)為12元/件，年銷售量為2萬(wàn)件. 今年計(jì)劃通過(guò)適當(dāng)增加成本來(lái)提高產(chǎn)品的檔次，以拓展市場(chǎng). 若今年這種玩具每件的成本比去年成本增加0.7x倍，今年這種玩具每件的出廠價(jià)比去年出廠價(jià)相應(yīng)提高0.5x倍，則預(yù)計(jì)今年年銷售量增加x倍（本題中0＜x≤1）.

（1） 用含x的代數(shù)式表示，今年生產(chǎn)的這種玩具每件的成本為______元，今年生產(chǎn)的這種玩具每件的出廠價(jià)為________元；

（2） 求今年這種玩具每件的利潤(rùn)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（3） 設(shè)今年這種玩具的年銷售利潤(rùn)為w萬(wàn)元，求當(dāng)x為何值時(shí)，今年的年銷售利潤(rùn)最大？最大年銷售利潤(rùn)是多少萬(wàn)元？

注：年銷售利潤(rùn)=（每件玩具的出廠價(jià)-每件玩具的成本）×年銷售量

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平面直角坐標(biāo)系

1. B. 2. A. 3. （3，1）. 4. P（3，4）或（2，4）或（8，4）.

5. （1） A4（2，0），A8（4，0），A12（6，0）. （2） A4n（2n，0）. （3） 向上.

一次函數(shù)

1. B. 2. A. 3. 懸掛2 kg物體彈簧總長(zhǎng)度為11 cm（答案不唯一）. 4. n.

5. （1） a=6、b=8、m=10. （2） y1=30x；y2=50x（0≤x≤10），40x+100（x＞10）.

（3） 設(shè)A團(tuán)有n人，則B團(tuán)有（50-n）人. 當(dāng)0≤n≤10時(shí)，50n+30（50-n）=1 900，解得n=20，這與n≤10矛盾；當(dāng)n＞10時(shí)，40n+100+30（50-n）=1 900，解得n=30，∴ 50-30=20.

答：A團(tuán)有30人，B團(tuán)有20人.

反比例函數(shù)

1. A. 2. D. 3. 相交. 4. （■+1，■-1）.

5. 因一次函數(shù)y=x+2的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（k，5），得5=k+2，解得k=3，所以反比例函數(shù)的表達(dá)式為y=■；（2） 聯(lián)立方程組得y=x+2，y=■.解得x=1，y=3或x=-3，y=-1，故第三象限的交點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（-3，-1）.

二次函數(shù)

1. （1，-4）. 2. 點(diǎn)（1，n）是雙曲線y=■與拋物線y=nx2的一個(gè)交點(diǎn).

3. B. 4. C.

5. （1） 當(dāng)x=0時(shí)，y=1，所以不論m為何值，函數(shù)y=mx2-6x+1的圖象經(jīng)過(guò)y軸上的一個(gè)定點(diǎn)（0，1）. （2） ① 當(dāng)m=0時(shí)，函數(shù)y=-6x+1的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)；② 當(dāng)m≠0時(shí)，若函數(shù)y=mx2-6x+1的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，則方程mx2-6x+1=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，所以（-6）2-4m=0，m=9. 綜上，若函數(shù)y=mx2-6x+1的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，則m的值為0或9.

6. （1） （10+7x），（12+6x）. （2） y=（12+6x）-（10+7x）=2-x. （3） ∵ w=2（1+x）（2-x）=-2x2

+2x+4，∴ w=-2（x-0.5）2+4.5. ∵ -2＜0，0＜x≤1，∴ w有最大值，當(dāng)x=0.5時(shí)，最大值為4.5（萬(wàn)元）.

答：當(dāng)x=0.5時(shí)，今年的年銷售利潤(rùn)最大，最大年銷售利潤(rùn)是4.5萬(wàn)元.