正方體的分割策略

問(wèn)題 把棱長(zhǎng)為4的正方體分割成29個(gè)棱長(zhǎng)為整數(shù)的正方體（且沒(méi)有剩余），其中棱長(zhǎng)為1的正方體的個(gè)數(shù)為_(kāi)________.

命題意圖 本題是2011年常州市的一道中考試題，著重考查同學(xué)們的動(dòng)手實(shí)踐能力和應(yīng)用數(shù)學(xué)建模解答生活實(shí)際問(wèn)題的能力，同時(shí)也考查了運(yùn)用分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想來(lái)解決問(wèn)題的能力.

解題指導(dǎo) 把棱長(zhǎng)為4的正方體分割成棱長(zhǎng)為整數(shù)的小正方體，分割成的小正方體的棱長(zhǎng)只能為1、2、3. 因此，分割的方案有：（1）分割成棱長(zhǎng)為1的小正方體與棱長(zhǎng)為2的小正方體；（2）分割成棱長(zhǎng)為1的小正方體；（3）分割成棱長(zhǎng)為1的小正方體與棱長(zhǎng)為3的小正方體. 但不能同時(shí)分割成棱長(zhǎng)為2的小正方體與棱長(zhǎng)為3的小正方體、三種棱長(zhǎng)不相等的小正方體，也不能單獨(dú)分割成棱長(zhǎng)為2的小正方體或棱長(zhǎng)為3的小正方體.無(wú)論采用哪種分割方法，它們的體積保持不變?yōu)?4，小正方體的個(gè)數(shù)不變?yōu)?9，因此，問(wèn)題中隱含著兩個(gè)等量關(guān)系式，我們可以建立方程組進(jìn)行解答.

解題過(guò)程 ① 分割的小正方體為全部棱長(zhǎng)為1的正方體，則共有64個(gè)，不符合題意，舍去.

② 設(shè)分割成的棱長(zhǎng)為1的小正方體有x個(gè)、棱長(zhǎng)為2的小正方體有y個(gè)，根據(jù)題意，列方程組，得

x+y=29，x+8y=64. 解得x=24，y=5.

即分割成的棱長(zhǎng)為1的小正方體有24個(gè)，棱長(zhǎng)為2的小正方體有5個(gè).

③ 設(shè)分割成的棱長(zhǎng)為1的小正方體有x個(gè)，棱長(zhǎng)為3的小正方體有y個(gè)，根據(jù)題意，列方程組，得x+y=29，x+27y=64. 解得x=27■，y=1■.（不合題意，舍去）

綜上可知把棱長(zhǎng)為4的正方體分割成29個(gè)棱長(zhǎng)為整數(shù)的正方體（且沒(méi)有剩余），其中分割成的棱長(zhǎng)為1的小正方體有24個(gè)，棱長(zhǎng)為2的小正方體有5個(gè).

追根溯源 我們可以從課本中找出本題的“身影”，它類(lèi)似于蘇科版《數(shù)學(xué)》七年級(jí)上冊(cè)教材第84頁(yè)“數(shù)學(xué)活動(dòng)”中的“正方體涂色”，同時(shí)可以從七年級(jí)下冊(cè)教材第96頁(yè)的問(wèn)題5中找到它的影子.

“數(shù)學(xué)活動(dòng)”中的“正方體涂色”：用白蘿卜等材料做一個(gè)正方體，并把正方體表面涂上顏色. 把正方體的棱三等分，然后沿等分線把正方體切開(kāi)，得到27個(gè)小正方體，觀察其中3面涂色的小正方體有幾個(gè)？?jī)擅嫱可男≌襟w有幾個(gè)？只有一面涂色的小正方體有幾個(gè)？各面都沒(méi)有顏色的小正方體有幾個(gè)？

第96頁(yè)中的問(wèn)題5：制作甲、乙兩種無(wú)蓋的長(zhǎng)方體紙盒（如圖1），需用正方形和長(zhǎng)方形的兩種硬紙片，且長(zhǎng)方形的寬與正方形的邊長(zhǎng)相等，150張正方形硬紙片和300張長(zhǎng)方形硬紙片可供制作甲、乙兩種紙盒各多少個(gè)？

變式拓展 1. 現(xiàn)有100元和20元的人民幣共33張，總面額1 620元，則其中面值為20元的人民幣有________張.

2. 四川災(zāi)后重建工作中，災(zāi)民發(fā)揚(yáng)艱苦奮斗的精神，桂花村派男女村民共15人到山外采購(gòu)建房所需的水泥，已知男村民一人挑兩包，女村民兩人抬一包，共購(gòu)回15包. 請(qǐng)問(wèn)這次采購(gòu)派男女村民各多少人？（ ）

A. 男村民3人，女村民12人B. 男村民5人，女村民10人

C. 男村民6人，女村民9人D. 男村民7人，女村民8人

3. 水果批發(fā)市場(chǎng)香蕉的價(jià)格如下表：

張強(qiáng)兩次共購(gòu)買(mǎi)香蕉50千克（第二次多于第一次），共付款264元，請(qǐng)問(wèn)張強(qiáng)第一次、第二次分別購(gòu)買(mǎi)香蕉多少千克？

參考答案

1. 21. 2. B.

3. 設(shè)張強(qiáng)第一次購(gòu)買(mǎi)香蕉x千克，第二次購(gòu)買(mǎi)香蕉y千克. 由題意知0＜x＜25，則當(dāng)0＜x≤20，y≤40時(shí)，得x+y=50，6x+5y=264. 解得x=14，y=36.當(dāng)0＜x≤20，y＞40時(shí)，由題意，得x+y=50，6x+4y=264. 解得x=32，y=18.（不合題意，舍去） 當(dāng)20＜x＜25時(shí)，25＜y＜30時(shí)，張強(qiáng)用去的款項(xiàng)為5x+5y=5（x+y）=5×50

=250＜264（不合題意，舍去）. 綜合可知，張強(qiáng)第一次購(gòu)買(mǎi)香蕉14千克，第二次購(gòu)買(mǎi)香蕉36千克.