統計與概率

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1. 數據的收集與整理涉及到的概念比較多，主要有反映數據集中趨勢的統計量——平均數、中位數、眾數；反映數據的離散程度的統計量——極差、方差、標準差；統計中的一些基本概念——總體、個體、樣本、樣本容量、頻數、頻率等. 特別是統計圖（表）的運用是本部分的重點，要求同學們會讀圖（表）、釋圖（表）、作圖（表），還要求對統計圖（表）中的信息作出識別與處理，給出評價. 本部分的復習要突出統計思想，用樣本估計總體是統計的基本思想. 其基本結構圖如下：

數據的收集與整理收集數據普查抽樣調查總體個體樣本—樣本容量?搖?搖整理數據頻數頻率?搖描述數據—統計圖條形統計圖折線統計圖扇形統計圖頻率分布直方圖組數組距?搖?搖分析數據三數眾數中位數平均數、加權平均數?搖三差極差方差標準差?搖?搖

2. 概率的內容主要包括必然事件、不可能事件、可能事件的意義區分；利用畫樹狀圖或列表法計算事件發生的概率以及借助計算結果進行決策. 本部分內容復習時要突出概率建模思想，對概率的計算問題，可以把不同背景下的各類問題加以變通，尋找他們之間是否存在相同的數學本質，對相同的一類問題，可以用一個概率模型來解決. 其基本結構圖如下：

事件的種類必然事件隨機事件—概率?搖范圍— 0≤P（A）≤1用列舉法求概率條件一次試驗中可能出現的結果有有限個一次試驗中各種結果發生的可能性相等?搖方法列表法畫樹狀圖?搖?搖用頻率估計概率?搖不可能事件

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例1 （2011江蘇鎮江）某地區有8所高中和22所初中，要了解該地區中學生的視力情況，下列抽樣方式獲得的數據最能反映該地區中學生視力情況的是（ ）

A. 從該地區隨機選取一所中學里的學生

B. 從該地區30所中學里隨機選取800名學生

C. 從該地區的一所高中和一所初中各選取一個年級的學生

D. 從該地區的22所初中里隨機選取400名學生

分析：收集數據是解決統計問題的第一步，也是中考常考考點. 此類問題一般以填空和選擇形式出現，考查同學們對普查和抽樣調查的辨別能力，知道采取普查和抽樣調查的必要性和價值，以及抽樣調查需注意的問題.

解：抽樣調查必須遵循的原則是所抽取的樣本要具有廣泛性和代表性，而A、C、D都不具有這兩個特性，故選擇B.

例2 （2011江蘇南京）某校部分男生分3組進行引體向上訓練，對訓練前后的成績進行統計分析，相應數據的統計圖如圖1.

（1） 求訓練后第一組平均成績比訓練前增長的百分數.

（2） 小明在分析了圖表后，聲稱他發現了一個錯誤：“訓練后第二組男生引體向上個數沒有變化的人數占該組人數的50%，所以第二組的平均數不可能提高3個這么多. ”你同意小明的觀點嗎？請說明理由.

（3） 你認為哪一組的訓練效果最好？請提出一個解釋來支持你的觀點.

分析：利用所給的圖表數據信息和特征補全圖表，或者由方程的思想綜合解決相關的問題是近年來綜合考查統計問題的一種趨勢.

解：（1）訓練后第一組平均成績比訓練前增長的百分數是■×100%≈67%.

（2）不同意，因為第二組平均成績增加了8×10%+6×20%+5×20%+0×50%=3（個）.

（3）本題答案不唯一. 可以認為第一組訓練效果最好，因為訓練后第一組平均成績增長的百分數最大.

例3 （2011江蘇連云港）如圖2，一枚棋子放在邊長為1個單位長度的正六邊形ABCDEF的頂點A處，通過摸球來確定該棋子的走法，其規則是：在一只不透明的袋子中，裝有3個標號分別為1，2，3的相同小球，攪勻后從中任意摸出1個，記下標號后放回袋中并攪勻，再從中任意摸出1個，摸出的兩個小球標號之和是幾，棋子就沿邊按順時針方向走幾個單位長度. 棋子走到哪一點的可能性最大？求出棋子走到該點的概率. （用列表或畫樹狀圖的方法求解）

分析：分析事件的概率時，應學會用列舉法（畫樹狀圖或列表）分析事件發生的等可能結果.本題結合正六邊形，考查了對概率的理解和計算. 在復習過程中，要注意抽取方式有放回和不放回兩種基本概率類型.

解：列表如下： 畫樹狀圖如下：

兩球標號之和的所有可能之中，使棋子走到點C的有1種，到點D的有2種，到點E的有3種，到點F的有2種，回到點A的有1種，故棋子走到點E的可能性最大. P（走到點E）=■=■.

例4 （2011江蘇揚州）揚州市體育中考現場考試內容有三項：50米跑為必測項目，另在立定跳遠、實心球（二選一）和坐位體前屈、1分鐘跳繩（二選一）中選擇兩項.

（1） 每位考生有_____種選擇方案；

（2） 用畫樹狀圖或列表的方法求小明與小剛選擇同種方案的概率. （友情提醒：各種方案用A、B、C……或①、②、③……等符號來代表可簡化解答過程）

分析：本題是一道現實情境下的概率問題，在解決問題時，需要用分類思想，列舉所有可能的結果.

解：（1） 4；（2） 用A、B、C、D分別表示4種方案，立定跳遠、坐位體前屈；實心球、1分鐘跳繩；立定跳遠、1分鐘跳繩；實心球、坐位體前屈.

畫樹狀圖如下：

∴ 小明與小剛選擇同種方案的概率=■=■.

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1. 方差的運算規則理解不清

例1 一組數據的方差是2，將這組數據都擴大為原來的3倍，則新得的一組數據的方差是

（ ）

A. 2B. 6C. 9D. 18

錯解：B.

錯因：誤認為一組數據都擴大為原來的3倍的同時，其方差也擴大為原來的3倍.

解析：設一組數據x1、x2…xn，其平均數為■，方差為s2，則數據3x1、3x2…3xn的平均數為3■，方差為■3x1-3■?搖2+3x2-3■2+…+3xn-3■2=9s2=9×2=18.所以，一組數據擴大為原來的n倍，則方差變為原來的n2倍. 故正確答案為D.

2. 混淆隨機事件與必然事件

例2 下列說法正確的是（ ）

A. “明天降雨的概率是80%”表示明天有80%的時間降雨

B. “拋一枚硬幣正面朝上的概率是0.5”表示每拋硬幣2次就有1次出現正面朝上

C. “彩票中獎的概率是1%”表示買100張彩票一定會中獎

D. “拋一枚正方體骰子，向上一面的數為奇數的概率是0.5”表示如果這個骰子拋很多很多次，那么平均每2次就有1次出現向上一面的數為奇數

錯解：A.

錯因：對概率的本質沒有完全理解，錯誤地將隨機事件當做必然事件來理解.

解析：“降雨的概率是80%”是指降雨的可能性是80%；“拋一枚硬幣正面朝上的概率是0.5”是一種理論概率，同時也可理解為是一種實驗概率，是通過很多次的實驗，拋一枚硬幣正面朝上的頻率趨向于0.5得來，并非表示每拋硬幣2次就有1次出現正面朝上；“彩票中獎的概率是1%”表示“買100張彩票，可能中獎1次”，這是隨機事件，不是必然事件；答案D很好地解釋了實驗概率的意義. 故選D.

3. 基本統計量理解不全面

例3 為了解2009屆本科生的就業情況，今年3月，某網站對2009屆本科生的簽約狀況進行了網絡調查，截至3月底，參與網絡調查的12 000人中，只有4 320人已與用人單位簽約. 在這個網絡調查中，樣本是________人，樣本容量是________.

錯解：樣本是12 000人，樣本容量是4 320.

錯因：不理解樣本和樣本容量的含義，錯誤地把研究對象的載體（本科生）當作研究對象（簽約狀況）.

解析：樣本是12 000名本科生的簽約狀況，樣本容量是12 000.

4. 數據刻劃對象不明

例4 如圖3，公園里有兩條石級路，哪條石級走起來更舒適？（圖中數字表示每一級的高度，單位：厘米）

錯解：■=■（15＋14＋14＋16＋16＋15）=15，■=■（19＋10＋17＋18

＋15＋11）=15，■=■，所以走兩條石級路一樣舒適.

錯因：上臺階是否舒適，就看臺階的高低起伏情況如何，應該計算兩條石級路臺階高度的極差、方差和標準差， 而不是看平均數.

解析：左邊石級路臺階高度的極差為16-14=2，方差為■，標準差為■=■；

右邊石級路臺階高度的極差為19-10=9，方差為■，標準差為■=■.

由以上計算可見，左邊石級路的極差、方差和標準差都比右邊小，所以左邊石級路起伏小，走起來舒服些.

5. 看不懂統計信息圖

例5 甲、乙兩人連續7年調查某縣養雞業的情況，提供了兩種信息（如圖4）.

甲調查表明：養雞場的平均產雞數從第1年的1萬只上升到第7年的2.8萬只；

乙調查表明：養雞場的個數由第1年的46個減少到第7年的22個.

現給出下列四個判斷：①該縣第2年養雞場產雞的數量為1.3萬只；②該縣第2年養雞場產雞的數量低于第1年養雞場產雞的數量；③該縣這7年養雞的數量逐年增長；④這7年中，第5年該縣養雞場出產雞的數量最多. 根據甲、乙兩人提供的信息，判斷其中正確的是________.

錯解：①③

錯因：解題時沒有看懂信息圖，沒有弄清楚問題問的是什么，而把圖4中的養雞場的平均產雞數當做養雞場產雞的總數量.

解析：每年產雞的數量應該是每年的養雞場個數乘以每年的平均產雞數，由信息圖可算出這7年里各年產雞的數量分別為46萬只，54.6萬只，60.8萬只，64.6萬只，66萬只，65萬只，61.6萬只，因此只有④正確.

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例1 2010年5月1日，第41屆世博會在上海舉辦，世博知識在校園迅速傳播. 小明同學就本班學生對世博知識的了解程度進行了一次調查統計，圖5是他采集數據后繪制的兩幅不完整的統計圖（A：不了解，B：一般了解，C：了解較多，D：熟悉）. 請你根據圖3中提供的信息解答以下問題：

（1） 求該班共有多少名學生；

（2） 在條形統計圖中，將表示“一般了解”的部分補充完整；

（3） 在扇形統計圖中，計算出“了解較多”部分所對應的圓心角的度數；

（4） 從該班中任選一人，其對世博知識的了解程度為“熟悉”的概率是多少？

巧思：試題以兩幅不完整的統計圖——扇形圖和條形圖為研究載體，考查了同學們對統計圖所表達的實際意義的理解程度，以及概率等基本知識. 試題的切入點是對照兩種統計圖，找出能從不同的兩個角度反映出同一個統計量的數據，如統計圖中的A統計量，從扇形圖中可知，A所占百分比為10%，同時從條形圖中可知，A的人數為5，這樣便可由描述A統計量的這2個不同數據求出樣本的容量，其他的問題便迎刃而解了.

妙解：（1） 5÷10％=50（人）.

（2） 見圖6.

（3） 360°×■=144°.

（4） P=■=■.

例2 四張質地相同的卡片如圖7所示. 將卡片洗勻后，背面朝上放置在桌面上.

（1） 求隨機抽取一張卡片，恰好得到數字2的概率；

（2） 小貝和小晶想用以上四張卡片做游戲，游戲規則見信息圖.你認為這個游戲公平嗎？請用列表法或畫樹狀圖法說明理由，若認為不公平，請你修改規則，使游戲變得公平.

巧思：本題先要判斷游戲是否公平，應首先通過畫樹狀圖或列表分別求出游戲雙方獲勝的概率，之后進行比較即可得出是否公平的結論. 在游戲不公平的情況下修改游戲規則使游戲公平，那么只能在規則上做文章. 規則的修改一般有兩種選擇：一是修改規則中所界定的數字或所考查的事件，如采用解法中的方法1和方法3；二是給每種出現的結果賦予適當的分值，如方法2.

妙解：（1） P（抽到2）=■=■.

（2） 根據題意可列表

從表（或樹狀圖）中可以看出所有可能結果共有16種，符合條件的有10種，

∴ P（兩位數不超過32）=■=■. ∴ 游戲不公平.

調整規則：

方法1：將游戲規則中的32換成26～31（包括26和31）之間的任何一個數都能使游戲公平. 方法2：游戲規則改為“抽到的兩位數不超過32的得3分，抽到的兩位數超過32的得5分”. 方法3：游戲規則改為“組成的兩位數中，若個位數字是2，小貝勝，反之小晶勝”.

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1. 下列說法中：① 一組數據不可能有兩個眾數；② 將一組數據中的每一個數據都加上（或都減去）同一個常數后，方差恒不變；③ 隨意翻到一本書的某頁，這頁的數碼是奇數，這個事件是必然發生的；④ 要反映西昌市某一天內氣溫的變化情況，宜采用折線統計圖.其中正確的是（ ）

A. ①和③B. ②和④C. ①和②D. ③和④

2. 在4張卡片上分別寫有1~4的整數，隨機抽取一張后放回，再隨機地抽取一張，那么第二次取出的數字能夠整除第一次取出的數字的概率是_____________.

3. 有一箱規格相同的紅、黃兩種顏色的小塑料球共1 000個. 為了估計這兩種顏色的球各有多少個，小明將箱子里面的球攪勻后從中隨機摸出一個球記下顏色，再把它放回箱子中，多次重復上述過程后，發現摸到紅球的頻率約為0.6，據此可以估計紅球的個數約為_________.

4. 圖8是小強同學根據某地某天上午和下午四個整時點的氣溫繪制成的折線圖. 請你回答：該天上午和下午的氣溫哪個更穩定？

答：_______；

理由是_________________________.

5. 為迎接建黨90周年，某校組織了以“黨在我心中”為主題的電子小報制作比賽，評分結果只有60，70，80，90，100五種. 現從中隨機抽取部分作品，對其份數及成績進行整理，制成如圖9中的兩幅不完整的統計圖.

根據以上信息，解答下列問題：

（1） 求本次抽取了多少份作品，并補全兩幅統計圖；

（2） 已知該校收到參賽作品共900份，請估計該校學生比賽成績達到90分以上（含90分）的作品有多少份？

6. 為實施“農村留守兒童關愛計劃”，某校對全校各班留守兒童的人數情況進行了統計，發現各班留守兒童人數只有1名、2名、3名、4名、5名、6名共六種情況，并制成了如圖10中的兩幅不完整的統計圖：

（1） 求該校平均每班有多少名留守兒童？并將該條形統計圖補充完整；

（2） 某愛心人士決定從只有2名留守兒童的這些班級中，任選兩名進行生活資助，請用列表法或畫樹狀圖的方法，求出所選兩名留守兒童來自同一個班級的概率.

7. 甲、乙兩個盒子中裝有質地、大小相同的小球，甲盒中有2個白球、1個黃球和1個藍球，乙盒中有1個白球、2個黃球和若干個藍球. 從乙盒中任意摸取一球為藍球的概率是從甲盒中任意摸取一球為藍球的概率的2倍.

（1） 求乙盒中藍球的個數；

（2） 從甲、乙兩盒中分別任意摸取一球，求這兩球均為藍球的概率.

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1. B. 2. ■. 3. 600.

4. 上午，因為上午溫度的方差大于下午溫度的方差（或標準差） .

5. （1） 120. 補全兩幅統計圖如圖11. （2） 360.

6. （1） 4. 補全條形統計圖如圖12.

（2） 由表格可知：共有12種情況，符合條件的有四種，4÷12=■.

7. （1） 3. （2） ■.