平面組合圖形面積計算方法的教學探究

[關鍵詞]平面組合圖形 面積計算 教學實踐 探究

[中圖分類號]G[文獻標識碼]A

[文章編號]0450-9889(2012)01A-0088-02

平面組合圖形的面積計算在小學數學教材中占有十分重要的地位，它既是學生學習平面幾何的前奏，又是學習立體幾何的基礎。如何通過求平面組合圖形面積的教學，讓學生掌握一些圖形轉換方法，感悟圖形的排除、包含、轉化等思想，從而達到發展學生空間觀念和培養學生空間想象能力的目的?筆者根據長期的教學實踐和體會，總結出以下一些方法。

一、解題策略簡述

平面組合圖形是由兩個或兩個以上簡單的幾何圖形組合而成，計算它的面積應看清所求圖形是由哪幾個基本圖形組合而成。在教學實踐中，我常采用數據推導、割補、平移、巧添輔助線、旋轉、組合等方法，將復雜問題簡單化。

二、解題方法具體說明

1.數據推導。

根據已知的公理、定義、定理、定律和題目中的數據等經過演算、邏輯推理而得出新的結論。

(1)根據定義推導。

例：如圖1所示，計算圖形的面積。(單位：厘米)

思路分析與解：求梯形的面積，必須知道上底、下底和高這三個條件。從圖中可以看出，此梯形的高是6米，那么解題的關鍵就是求出上底和下底的長度或求出它們的長度和。

在左邊的直角三角形中，一個內角是45°，可知它是等腰三角形，所以梯形高的左邊部分與下底相等。同樣，右邊的三角形也是一個等腰三角形，所以梯形的上底和高的右邊部分相等。這樣根據等腰直角三角形的定義推導出梯形的上、下底的長度和就是梯形高的長度6厘米。因此圖形的面積是：6x6+2=18(平方厘米)。

(2)根據公式推導。

例：如圖2所示，直角三角形的面積是12平方厘米，求圓的面積。

思路分析與解：要求圓的面積，必須要知道圓的半徑。此題給出三角形的面積。暗示學生解題要通過三角形的面積求出半徑的相關值，從而算出圓的面積。在圖2中，三角形的底和高都是圓的半徑，三角形面積為rxr+2=12(平方厘米)，即r²12+2=6(平方厘米)，根據公式S_圈=πγ²只要知道γ²等于多少，就可求出圓的面積。所以S_圈=3.14x6=18.84(平方厘米)

2.割補、平移。

割補、平移是解決組合圖形問題最常用的手段之一，它或是延長所求圖形的某些邊線，或是把圖形切開，或是把切下來的那部分移動到其他位置，使題目便于解答。

(1)補充。一例：如圖3所示，一個等腰直角三角形。最長的邊是16厘米，這個三角形的面積是多少平方米?

思路分析與解：方法1：由于只知道三角形最長的邊是16厘米，所以不能用三角形的面積公式來計算它的面積。教學時，我們可以讓學生延長三角形的兩條邊，補充成一個正方形，顯然拼成的正方形(如圖4)的面積是16x16。那么，原三角形的面積是16x16+4=64(平方厘米)

方法2：還可以只補充畫一條直角邊，拼成(如圖5)一個大的等腰三角形。那么原三角形的面積為16x16+242=64(平方厘米)

(2)分割。

分割就是把圖形切開.但是并不移動，使題目更為明了。

例：如圖6所示，梯形ABCD的上底是4厘米，下底是6厘米，高是4厘米.求陰影部分的面積。

思路分析與解：根據“同一平面內，等底等高的三角形面積相等”這一知識，把圖中的三個三角形進行“等積變形”，即切割成為與之面積相等的(如圖7所示)中三角形ABC，原陰影部分的面積是6x4÷2=12(平方厘米)。

(3)平移。

將所給圖形中的某一部進行切割，沿直線上下左右移動，把復雜的圖形簡單化。

①整合平移。

例：如圖8所示，正方形的邊長為10厘米，里面橫、豎各有三道黑條，黑條寬為1厘米，問：空白部分的面積是多少?

思路分析與解：觀察圖8可知，黑條形狀相同，我們可以將豎條左平移至如圖9中的正方形的左邊界，橫條上平移到正方形的上邊界。這樣，空白部分的面積相當于一個邊長為7厘米的正方形，因此，空白部分的面積是：7x7=49(平方厘米)

②翻轉平移。

例：如圖10所示，求陰影部分面積。(單位：厘米)

思路分析與解：以圖lO中大圓的圓心為中心，將左側小半圓切割后，旋轉平移到右邊的小半圓，就得到圖11所示的形狀，所求圖10中的陰影部分面積就是求圖11中較大半圓的面積：3.14x102+2=157(平方厘米)。

③等積平移。

例：如圖12所示，計算圖中的陰影部分面積。(單位：厘米)

思路分析與解：觀察圖12，根據三角形內角和定義與一邊長相等得出，正方形內的三角形和外面的三角形面積相等，所以可以將圖12陰影部分的三角形切割下來，并平移拼成一個{圓的面積(如圖13)。S_圈=3.14x5²÷4=19.625(平方厘米)

3.巧添輔助線。

在所給的圖形中，對尚未直接顯現出來的各元素，通過添加適當輔助線，將那些特殊點、特殊線、特殊圖形性質恰當揭示出來，并充分發揮這些特殊點、線的作用，達到化難為易的目的。

(1)連接。

例：如圖14所示，計算陰影部分的面積。(單位：厘米)

思路分析與解：圖14中，陰影部分有兩塊，一在東，一在西，沒有整合在一起，計算起來比較麻煩。如圖15，給圖形畫上一條輔助線，計算起來就事半功倍，求陰影部分的面積也就是求正方形面積的一半：6x6÷2=18(平方厘米)。

(2)延長。

例：如圖16所示，求四邊形ABCD的面積。(單位：厘米)

思路分析與解：學生一看圖16，就會問：“這種四邊形的面積怎么計算?”如果在圖內作輔助線，根據已知條件也解決不了問題。其實圖16原本是一個等腰直角三角形，只要延長AB邊和CD邊相交于一點(如圖17)，隱藏的條件就立即顯現：大三角形是等腰直角三角形，小三角形也是等腰直角三角形。所以四邊形ABCD的面積為：8x8÷2-4x4÷2=24(平方厘米)。

(3)添加。

例：如圖18所示，正方形的面積為12平方厘米，計算圓的面積。

思路分析與解：已知條件只給正方形的面積是12平方厘米，如何去計算出圓的面積?這就要給圖形添加輔助線，只要通過圓心畫兩條直徑(如圖19)，問題就迎刃而解了。從圖19中可以看出，大正方形的面積是4個小正方形的面積和，而小正方形的面積等于邊長乘邊長，就是半徑乘半徑即半徑的平方為12÷4=3(平方厘米)，所以圓的面積是：3.14x3=9.42(平方厘米)。

4.旋轉。

就是把圖形按照預定的方向旋轉一定的角度，不改變原圖的大小，以達到解決問題的目的。

例：如圖20所示，正方形內有一個最大的圓，圓內又有一個最大的正方形。如果大正方形的面積是22平方厘米，請計算小正方形的面積。

思路分析與解：要求正方形的面積，就要知道正方形的邊長，不過此題的正方形邊長無法求得，教學時，我們可以從兩個正方形之間找到關系。把小正方形繞著它的中心旋轉45°后，再加兩條輔助線(如圖21)，學生就會發現小正方形是由4個相同的三角形組成，而大正方形是由同樣的8個三角形組成，所以小正方形的面積正好是大正方形面積的一半。小正方形的面積是22÷2=11(平方厘米)。

5.組合。

通過改變基本圖形的位置或形狀(但不改變圖形的大小)，把幾個基本圖形合并成一個基本圖形，然后間接求整個圖形的面積。

例：如圖22所示，已知直角三角形兩條直角邊的長度之和是7厘米，斜邊長是5厘米，求這個三角形的面積。

思路分析與解：直接利用題中的已知條件無法求出它的面積，這就要進行圖形組合。在教學中，讓學生準備4塊有“90°、60°、30°”的直角三角板，并把直角邊擺在外層，拼成如圖23的一個正方形。在圖23中，學生通過觀察就會很快發現大正方形的邊長恰好是每個直角三角形兩條直角邊的長度和，而小正方形的邊長正好是每個直角三角形的斜邊長。要求圖22三角形的面積就變得簡單了，就是用大正方形的面積減去小正方形的面積的差除以4即可，也就是：(7x7-5x5)÷4=6(平方厘米)。

當然，在課堂教學中，學生組拼三角形的時候，有的會拼出如圖24的組合情況，就是把直角三角形的斜邊擺在外層。這種組合會得到：大正方形的邊長是直角三角形的斜邊長度，小正方形的邊長是兩條直角邊的差。如果題目是已知直角三角形兩條直角邊的長度之差是2厘米，斜邊長是5厘米，就可以求這個三角形的面積。上面兩個組合圖凸顯了數學的美感和實用性，不但生動有趣，利用它們還能解決生活中的一些疑難問題。

著名心理學家皮亞杰認為“科學知識永遠在演進中，它是一個不斷構造和改組的過程”。在教學組合圖形面積計算的過程中，我們教師應注重讓學生通過動手操作、觀察、推理等手段，分析探究組合圖形，找出圖形的隱含的條件。這樣，我們的教學在發展學生空間觀念的同時，他們也能利用學到的知識去解決生活中的實際問題。

(責編 羅永模)