新課程下關于常用邏輯用語教學的幾點思考

1 中學學習常用邏輯用語的必要性和合理性

1.1 必要性

邏輯（logic）是在形象思維和直覺頓悟思維基礎上對客觀世界的進一步的抽象，所謂抽象是認識客觀世界時舍棄個別的、非本質的屬性，抽出共同的、本質的屬性的過程，是形成概念的必要手段.該詞最早被清末的嚴復翻譯成漢語.邏輯是人的一種抽象思維，是人通過概念、判斷、推理、論證來理解和區分客觀世界的思維過程.邏輯成為一門科學，那是從亞里士多德開始的.

邏輯學作為人們進行思維所必須運用的思維工具，和哲學、數學、物理等很多學科都息息相關， 它對提高人們的思維能力具有很大幫助，學習邏輯學可以使人們由自發地上升為自覺地運用邏輯形式進行思維活動，這對防止和糾正錯誤具有很重要的意義.目前，大部分高校都開設了邏輯學課程，這些專業知識在大學會系統地學到，而在中學階段的學習就會顯得零散淺顯，學生利用邏輯學知識判斷處理一些問題也是有難度的.但是了解常用的邏輯用語，對生活中簡單的事情進行基本的推理和判斷，還是要具備的，也是對今后學習的一種知識預設.在大規模的課程改革后，常用邏輯用語內容不僅被完整保留了下來，還新增了全稱量詞和存在量詞，并且作為現行高考的必考知識，由此也可見常用邏輯用語內容的重要性.

1.2 合理性

常用邏輯用語放在選修模塊里，分別在1-1的第一章和2-1的第一章，是很合理的.《課標》一改傳統的“連續性，一步到位”的教學模式，采取“分段設計，分層推進”的教學模式.模塊化的教材設計旨在實現知識的螺旋上升，層級構建，在這里就是一個明顯的體現.

學生在必修1中已經學習過集合知識，對集合的交并補思想有了一定的認識，在選修模塊里學習常用邏輯用語知識時就不會感覺太陌生.對于充分條件、必要條件、充分不必要條件、必要不充分條件、充要條件，既不充分也不必要條件的理解除了利用定義，也可以用集合之間的關系來審視，這樣既加深了學生對充分性必要性概念的理解，又鞏固了集合之間的包含關系；對于簡單的邏輯聯接詞“且”、“或”、“非”的教學，教材的閱讀與思考中把其與集合的“交”、“并”、“補”進行了很好的比較，讓學生很容易發現命題和集合之間的對應關系，以及在這樣的對應下，邏輯聯接詞和集合運算的規定在形式上的一致性，即命題的“且”、“或”、“非”恰好分別對應集合的“交”、“并”、“補”.這樣，學生從集合的角度進一步認識有關邏輯聯接詞，從而能夠很深刻地理解這種運算的規定以及對于p∧q、p∨q、 p復合命題真假性規定的合理性.

教材介紹過四種命題及其關系后，在p.7給出了例4證明：若x2+y2=0，則x=y=0.在這里，例題的設計旨在鞏固學生對逆否命題的理解，讓學生明白有時直接證明不好證，可以通過證明逆否命題成立來證明原命題成立，由此也滲透了反證法的解題思想.緊接著，在選修1-2和2-2中，推理與證明一章給出了合情推理和演繹推理兩種典型的推理方式，以及直接證明和間接證明兩種經典的邏輯證明方法.這里，間接證明中反證法概念正式提出時，學生已經很熟悉了.教師正好可以進一步深化，引導學生和例4的證明方法進行比較，指出兩者的區別和聯系.反證法和證明逆否命題思想一致，只是，反證法中，假設結論不成立推出矛盾的因素范圍更廣.這里又一次體現了知識的螺旋上升.

由此可見，三個層次，逐級上升，又互相滲透，凸顯了新課程的基礎性和系統性，符合建構主義理論和學生的認知水平發展.學習是一個循環往復的過程，這樣的課程編排由淺入深，不同知識之間相互交融，又由深化淺，縱橫交錯，知識的聯系得到最大的體現，也讓學生的學習層疊起伏，不斷學有所悟，感受學習數學的樂趣.通過這樣兩次螺旋上升，經過提出問題——初步判斷——合理推理——科學證明——實踐檢驗一系列環節，我們在遇到問題時就可以利用所學的知識初步解決，也體現了數學的應用價值和人文價值.

就常用邏輯用語這部分內容而言，不必對學生要求過高，在高考中這塊內容呈現方式大多是選擇題和填空題，而且都是和其它知識結合起來考查.作為生活中的邏輯，可以結合生活實例引起學生的興趣，讓他們感受到數學是一種方法論，也是一種文化.

2 如何駕馭和把握教材

《課標》指出，正確地使用邏輯用語是現代社會公民應該具備的基本素質.無論是進行思考、交流，還是從事各項工作，都需要正確地運用邏輯用語表達自己的思維.在本模塊中，學生將在義務教育階段的基礎上，學習常用邏輯用語，體會邏輯用語在表述和論證中的作用，利用這些邏輯用語準確地表達數學內容，更好地進行交流.常用邏輯用語由“命題及其關系”、“簡單的邏輯聯結詞”和“全稱量詞與存在量詞”三部分組成.

2.1 內容與要求

《課標》規定常用邏輯用語（約8課時）

（1）命題及其關系

①了解命題的逆命題、否命題與逆否命題.

②理解必要條件、充分條件與充要條件的意義，會分析四種命題的相互關系.

（2）簡單的邏輯聯結詞

通過數學實例，了解邏輯聯結詞“或”、“且”、“非”的含義.

（3）全稱量詞與存在量詞

①通過生活和數學中的豐富實例，理解全稱量詞與存在量詞的意義.

②能正確地對含有一個量詞的命題進行否定.

按照規定的課時，本章的教學時間是足夠的.本章內容的重點是命題及其關系，充分條件、必要條件、充要條件的意義，邏輯聯結詞“或”“且”“非”的含義，全稱量詞與存在量詞. 本章的主要難點是理解必要條件的意義，能正確地對含有一個量詞的全稱命題或特稱命題進行否定.

2.2 教學中應注意的地方

2.2.1 通過大量數學實例，加強對概念和結論的理解

新課程最大的特色之一就是把數學建立在現實生活的基礎之上，這一點較之課改前體現的尤為明顯.大量知識的學習都以生活實例為背景，在數學實例的基礎上，思考、探究、分析、發現，最后總結概括出相關概念和知識是我們學習研究問題常用的方法.本章章首圖人腦給我們以邏輯和思維的直觀感受；在引入命題概念時，教材以思考的形式給出了六個語句，讓學生觀察，歸納；在四種命題及其相互關系的學習中，課本給出具體的四個語句讓學生感知，從感性認識到理性認識；在四種命題真假性的關系上，課本以探究的形式給出問題，讓學生自己討論，尋求結果；在邏輯聯結詞的的教學中，為了加深學生對“且”和“或”及其真假的理解，教材以旁白的形式分別給出了物理中的并聯電路和串聯電路；接著，教科書又安排了豐富的實例，使學生了解生活和數學中經常使用的兩類量詞（全稱量詞和存在量詞），并通過例子說明如何對含有一個量詞的命題進行正確地否定.總之，教材以豐富的實例，繽紛的形式，生動的引入，為學生學習新知提供了最佳的平臺.作為一線的教師，應該充分體會這些思想、理念和編者的初衷，以全新的教學風貌把知識深入簡出地展現給學生.

值得注意的是，本章內容與學生日常生活中的某些邏輯表述、形式邏輯中的表述雖有一定關聯，但又有一定差別.因此數學中如何正確地選擇合適的例子來理解和運用這些常用邏輯用語，是本章的關鍵，也是較難處理的.教師在教學中切勿在復雜性上做文章，弄不好還會本末倒置.例如，對“命題”概念的闡述，教材就是在總結6個純數學例子的基礎上概括得出的，學生一目了然，而對于語句“2難道不是偶數？”這樣的例子就不宜舉.筆者認為，準確來說，按照現行定義，它不屬于陳述句，故不是命題.但是有的資料上把它當作真命題，說法不一.而且，考試中也沒有涉及過這樣的問題，所以沒必要拿這樣模棱兩可的例子來做示例.對于四種命題及其關系，教科書也是通過對一個簡潔明了的命題“若f（x）是正弦函數，則f（x）是周期函數”的條件與結論的互換及否定等具體例子的討論，達到對四種命題及其關系的認識.如果在一開始就讓學生觀察這樣的命題“y=sin x是周期函數”，就不一定能達到預期的效果.因為這個命題的條件和結論不明顯，要先改寫成若p則q的形式.而講四種命題及其關系時要突出的就是條件和結論.這樣的問題可以放在練習或者是鞏固提高環節來解決.由此可見，教師在舉例時，要目標明確，確保概念教學的嚴謹性，尤其是引入時不能舉過難的，甚至有歧義的例子.

2.2.2 對于容易出現的錯誤要注意引導

（1）命題真假的判斷

簡單命題真假的判斷很容易，對于復合命題真假的判斷往往容易出錯.例如大家都知道，若命題p，命題q都是簡單命題，則p∧q全真才真，其余都是假；p∨q全假才假，其余都是真.根據這個結論要判斷復合命題的真假，只要判斷p、q的真假就可以了.但是教師要引導學生在使用的時候首先要辨清命題是不是復合命題，否則會出現邏輯錯誤.

案例1 指出下面命題的構成形式，及構成它的簡單命題，并判斷命題的真假.

命題 不等式x2-x-2>0的解集為{x|x>2或x<-1}.在課堂教學中大部分學生都能一眼看出該命題是真命題.可是題目還要指出命題的構成形式，于是不少學生把它拆成了兩部分p：不等式x2-x-2>0的解集為{x|x>2}，q：不等式x2-x-2>0的解集為{x|x<-1}.這時有些學生有了疑問： p，q都是假命題，怎么原命題是真命題啊？這不是矛盾嗎？ 這時教師應該以：命題p，q和原命題有什么關系？ 難道是教材中的結論錯了嗎？原命題是簡單命題還是復合命題？等問題層層推進，使學生醒悟過來.事實上，命題：不等式x2-x-2>0的解集為{x|x>2或x<-1}是一個簡單命題，而不是復合命題，剛才之所以遇到矛盾，就是因為把它當成了p∨q，利用p，q都是假命題，錯誤地得到原命題也是假命題.準確地說，原命題是不能夠拆成兩個簡單命題的，當然，題目的表述也不夠準確，造成了學生的誤解.題目本意是想讓學生先把命題改寫成兩個簡單命題的復合，然后利用簡單命題p、q的真假來判斷復合命題的真假.可是卻辭不達意，成了一個錯題.但是通過這樣的示錯教學，可以讓學生更深刻地明白了：在利用課本上的結論判斷復合命題真假時，一定要先確定是不是復合命題，如果是簡單命題，可以直接判斷.

還有的命題直接判斷不好做，可以數形結合，通過圖形直觀感知，輔助判斷，避免出錯.

案例2 寫出命題p：若x≠2且y≠6，則x+y≠8的否命題并判斷真假.

原命題的否命題，是把原命題的條件結論同時否定.該命題的否命題為：若x=2或y=6，則x+y=8，這個命題的真假性如何來判斷呢？考慮到原命題和逆否命題同真假，學生們在學習中會思考出，我們直接找它的逆否命題來判斷.它的逆否命題也即原命題的逆命題為：若x+y≠8，則x≠2且y≠6，單這個命題似乎也不好判斷，與其這樣，不如直接從否命題入手.否命題的意思是x=2和y=6至少有一個成立時，能否得到x+y=8成立？不妨取x=2且y=5，它滿足x=2或y=6，但x+y≠8，因此否命題是假命題.這樣的特例方法有的學生可能不是很明白，建議老師再結合圖形來觀察：如上圖中粗體區域表示的是x=2或y=6，我們發現兩條直線上除了（2，6）點之外，其它點的坐標都不滿足x+y=8，所以否命題是假命題.

（2）復合命題的寫法

把給定的兩個簡單命題寫成復合命題，看似很簡單，在實際改寫時，可能多一兩個字或少一兩個字都會影響到結果的正確與否.我們一定要嚴格遵循定義.

案例3 命題p：能被5整除的整數末尾數字一定是0，命題q：能被5整除的整數末尾數字一定是5，寫出p∨q.

在教學中有不少學生寫的是p∨q：能被5整除的整數末尾數字一定是0或5.乍一看，好像很有道理，細細來分析，不難發現其中的問題.命題p，命題q都是假命題，根據復合命題真假性的結論，全假才假，p∨q應該是假命題.得出的復合命題卻是真命題.問題出在什么地方呢？按理說改寫的命題是假命題才對啊.若p假q假，則p∨q假，前提是這里要將p、q完整表述出來，建議老師教學中書寫為：能被5整除的整數末尾數字一定是0或能被5整除的整數末尾數字一定是5.很容易得到該命題是假命題.如果把它寫得更簡潔一些：能被5整除的整數末尾數字一定是0或一定是5.這也是可以的，根據這樣的寫法，學生們也能夠得到結論是假命題.可是如果繼續簡潔下去，意思就發生變化了，就變成了真命題.原因就在于這里“或”的作用已經發生變化了.作為邏輯聯結詞“且”、“或”和作為一般連詞“且”、“或”是有區別的，作為邏輯聯結詞“且”、“或”是用來聯結兩個命題或語句，而作為連詞“且”、“或”是用來聯結兩個對象.

這樣的內容老師應該著重對學生們強調：以后為了避免在寫復合命題時出錯，每一部分都要完整，準確地表述，正確的寫法是：能被5整除的整數末尾數字一定是0或能被5整除的整數末尾數字一定是5.

3 對教材的進一步完善

常用邏輯用語一章知識的安排符合學生的認知水平，習題的設置難易適中，但是有個別習題和例題的表述不夠準確，值得商榷.教材p.12練習第1題：下列形如“若p，則q”的命題是真命題嗎？它的逆命題是真命題嗎？p是q的什么條件？（2）若數列{an}的通項公式是an=n+c（c是常數），則數列{an}是公差等于1的等差數列. 因為an+1-an=[（n+1）+c]-[n+c]=1，所以該命題是真命題.它的逆命題：若數列{an}是公差等于1的等差數列，則數列{an}的通項公式是an=n+c（c是常數），這個語句準確地說，不是命題，因為沒有辦法判斷真假.原因就在于常數c沒有給定.這里僅給出c是常數，表述很不嚴謹，既然c是給定的常數，那么通項公式就是確定的，可具體通項公式是什么呢？我們又無法確定，所以結論無法判斷，從而不能判斷真假. 但是題目卻默認為是命題，并要求判斷真假.這個題目我們如果稍加改動就沒有問題了，不妨把c換成一個具體的數，比如換成2，那么原命題：若數列{an}的通項公式是an=n+1，則數列{an}是公差等于1的等差數列，這是真命題.逆命題：若數列{an}是公差等于1的等差數列，則數列{an}的通項公式是an=n+1，這是假命題.這個題目也啟發了我們在判斷真假的時候，首先要明確語句是不是命題，課本定義同時滿足兩個條件：①陳述句，②可以判斷真假的語句才是命題，尤其是第二個條件很容易被忽視，要格外引起重視.

同樣的道理，教材p.16例3（3）表述也不夠嚴謹.判斷下列命題的真假：周長相等的兩個三角形全等或面積相等的兩個三角形全等.這個語句其實也不是命題，因為我們也無法判斷真假.周長相等的兩個三角形可能全等也可能不全等，同樣，面積相等的兩個三角形可能全等也可能不全等.即p：周長相等的兩個三角形全等和q：面積相等的兩個三角形全等都不是命題，從而原語句也不是命題.課本卻指出p、q、p∨q均是假命題.如果我們把它改成：周長相等的兩個三角形一定全等或面積相等的兩個三角形一定全等，就可以按照課本的分析得到其為假命題了.

數學是一門嚴謹的學科，我們在每一個細節都要力求準確，對于教材中個別有歧義的地方，在教學中要和學生仔細推敲，避免學生對知識產生疑惑.但是我們也不應該因此否定新教材，新課程的前景是美好的，它所帶來的課程結構體系的巨大變革將會對高中數學教育產生巨大的影響，新課改所倡導的新理念值得我們深思并踐行.

學習數學離不開常用邏輯用語.在邏輯的教學中，作為教育者，我們一定要謹慎，多切磋，多斟酌，邏輯用語也可以說是語言類的數學，本身就有很多不定的因素，但是作為數學的一個分支，它又具有確定性和嚴謹性.在教學中要嚴格遵循概念，多從不同角度思考問題，同時應多注意培養、提高學生轉換命題與構造命題的能力，而不能對新教材的認識犯主觀主義錯誤.新的課程改革像一場演出剛剛拉開帷幕，后面的節目將會很精彩.而精彩的表演需要靠我們一線教師細細咀嚼其中的韻味，不斷發掘課改深層次的內涵，并積極調動學生、師生共同參與，以全新的視角認識課程內容.課改在宏觀上為我們指明了高中教育前進的方向，微觀上只有靠教師們在教學中不斷感悟，不斷探索，找到一條最合理最科學的教學途徑.