例談數學思想方法的應用

摘要：數學思想方法是科學的思想方法，具有一般性和普遍適應性。數學思想方法是數學知識的精髓，是數學內容的靈魂，是數學活動的指導思想和普遍適用的方法，它能使學生領悟數學的真諦，學會數學的思考和處理問題，是學習知識、發展智力和培養能力相結合的法寶，它是學生未來發展的重要基礎。

關鍵詞：數學思想方法； 案例

中圖分類號：G633．6 文獻標識碼：A 文章編號：1006-3315（2012）09-022-002

本文通過對《數學課程標準》、有關數學思想方法文獻資料研究，以及對自己的教育實踐的總結，表明了進行數學思想方法的教學研究是很有意義的，并且通過具體例子談了初中數學思想方法的應用。

所謂數學思想方法，就是指現實世界的空間形式和數量關系反映到人的意識中，經過思維活動而產生的結果，它是對數學事實與數學理論(概念、定理、公式、法則等)的本質認識。

心理學認為：“由于認知結構中原有的有關觀念在包攝和概括水平上高于新學習的知識，因而新知識與舊知識所構成的這種類屬關系又可稱為下位關系，這種學習便稱為下位學習。”當學生掌握了一些數學思想方法，再去學習相關的數學知識，就屬于下位學習了。下位學習所學知識“具有足夠的穩定性，有利于牢固地固定新學習的意義”，即可使新知識能夠順利地納入到學生已有的認知結構中去。學生學習了數學思想方法，就能夠更好地理解和掌握教學內容。

下面就具體例子談一下數學思想方法的應用。

案例1 下圖是一個長16米、寬8米的長方形園地，其中充滿1米寬的小路，如果你沿著小路的中心，從內部出發，走完這條小路，要走多遠？

分析 這塊園地面積很容易計算[16×8＝128(平方米)]，而你走完這條小路的長度看來不容易計算。因此，如果能在“長度”和“面積”之間建立對應關系，計算長度的問題就可以化歸為計算面積問題。如何實現這種期望？

你看過排球賽嗎？當場外服務員用很寬很寬的拖把為運動員清楚場地的汗水時，服務員每走1米，被清除的場地面積很容易計算。設想，拖把寬1米，你用這種拖把去清除園地的面積時，你每走1米，被清除的地面恰為1平方米。而園地面積等于128平方米……

這時，思維被“接通”了，像電似的，一瞬間被“接通”了。你可以“理直氣壯”地說，走完這條小路要走128米！這里是化歸的數學思想方法的具體體現。

案例2 雞兔同籠，籠中有頭50，有足140，問雞、兔各有幾只？

解：設籠中有x只雞，y只兔，根據題意得

解得x=30y=40

答：籠中有30只雞，20只兔。

分析：通過對實際問題的分析，使學生進一步體會方程是刻畫現實世界的有效數學模型。解決應用題問題是方程的數學思想方法的具體體現。

每只雞有兩只腳，每只兔有4只腳。這是問題中不言而喻的已知成分。對問題中的已知成分進行變形：“一聲令下”，要求每只雞懸起一只腳(呈金雞獨立狀)，又要求每只兔懸起兩只腳(呈玉兔拜月狀)。那么，籠中仍有頭50，而腳中剩70只了。并且，這時雞的頭數與足數相等，而兔的足數與兔的頭數不等——有一只兔，就多出一只腳，現在有頭50，有足70，這說明有兔20只，有雞30只。

以上是通過變形成分來尋找化歸方法的。

案例3

在一元一次方程解法的基礎上，學習二元一次方程組的解法，用的就是化歸思想。在這里，化歸思想是通過消元法實現的——用消元法減少一元，至于用“加減消元法”或是“代入消元法”這里是不管的。二元一次方程組的教學，不僅要學生學會兩種消元方法，更重要的是讓學生深刻理解這兩種不同的方法其實質是一樣的，都是在化歸思想(消元思想)指導下進行的。這樣，當講三元一次方程組時便水到渠成。

整個化歸過程可歸結為：

上述各例說明，用化歸思想解決問題的過程可歸結為：

比如，在教學不等式的解法時，可以對比一元一次方程解法：去分母、去括號、移項、合并同類項、化系數為1，這些步驟是一樣的，當然，要特別比較化系數為1時兩者的不同之處。這里又體現的是類比的數學思想方法。

啟發學生思考能否轉化為形式上與其類似的方程來解。由x-2=3聯想到形式上與其類似的a=3。

由此進一步聯想到絕對值的意義，于是方程x-2=3可轉化為x-2=3或x-2=-3。故x1=5，x2=-1。

啟發學生思考能否借助其幾何意義(在數軸上，一個數所對應的點與原點的距離叫做該數的絕對值。)來解此方程。因為，“一個數a的絕對值，就是數軸上表示與原點距離”，如果把小x-2看作a，則由a=3知，a在數軸上表示與原點距離等于3的點(如圖)。于是由x=a+2可知與x相應的點的位置。

當然也可以聯想到x-2=3表示x是數軸上與2的距離等于3的點。這就是數形結合的數學思想方法的具體體現。

方程是函數的特殊情況，若用函數知識解決它。事實上方程x-2=3可看作函數y=x-2的值等于3時，求對應的自變量的值。用圖象法或列表法均可得到解決。這就是函數思想方法的具體應用。

知識的發生過程無不伴隨著數學思想方法的產生，因此，概念的形成過程、結論的推導過程、規律的揭示過程，都是進行數學思想方法滲透的契機。

數學思想方法是數學知識的靈魂。一個好的教師應善于發現課本中知識內容背后所隱含的“軟件”部分——數學思想方法，誘導學生領會并逐步運用這些數學思想方法。

參考文獻：

[1]肖柏榮，潘娉姣.數學思想方法及其教學示例，江蘇教育出版社，2000年10月

[2]馬明，馬復等.中學數學思想方法選講，中國教育出版社1994年9月

[3]沈文選.中學數學思想方法，湖南師范大學出版社，1999年4月