數學逆向教學設計的探討

【關鍵詞】數學 逆向教學設計

【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2012）09B-0029-02

一、什么是數學逆向教學設計

數學課程的顯著特點在于其內容的連貫性和邏輯性。因此，學生的基礎對學好數學至關重要，教學實際也清楚地表明了這一點。在數學教學中，如何通過加強學生的基礎來使他們獲得必要的數學知識，從而提高他們分析問題和解決問題的能力呢？為了解決這個問題，我們首先考察常規的教學步驟。常規的教學步驟是：第一步，復習引入；第二步，講授新課；第三步，課堂小結；第四步，布置作業。在這四個教學步驟中，第二步是重點，是實現當節課教學目標的主要環節，而第一步是使第二步能順利展開的基礎。因此，設計好第一步尤其重要。那么，第一步復習引入中問題的設計依據是什么呢？顯然，主要依據第二步講授新課的需要。這就是我們所要探討的數學逆向教學設計。

良好的開端等于成功的一半。要把第一步設計好，必須認真地鉆研第二步的內容，把第二步中涉及的舊知識找出來，然后根據學生的具體情況，選擇需要著重復習的舊知識，編制選擇題、填空題、問答題、解答題等作為復習引入的問題。選擇題包含較多的信息，要從四個選項中選出正確的項，容易激發學生對數學的興趣。填空題也有較多的信息，由若干個條件項和填空（求答）項組成。其中的填空項的設計很重要，要選擇那些與新課緊密相關的基礎知識作為填空項。問答題應設計成具有基礎性和啟發性的問題，這些問題要有利于復習舊知識，加強知識基礎，同時對新課的學習有啟發，便于引入新課。解答題綜合性較強，涉及知識范圍廣，要求寫出合理正確的解答過程，難度較大，可以全方位地訓練學生的能力，一般用于課堂練習題。在引入復習時，也可以根據學生的具體情況適當使用。

除設計復習問題外，在第一步復習引入中，教師還應通過創設問題情景，讓學生明白為什么要學習新課，明確學習目的可以激發他們的學習積極性。

二、數學逆向教學設計中的新授課教學

逆向教學設計的教學重點是新課講授，它是實現當節課教學目標的主要環節?！敖虒W目標是教學目的的系統化、具體化，是教學活動的每一階段所要實現的教學結果，是衡量教學質量的標準。”因此，對這一環節教學內容中包含的知識和能力因素及如何培養要有清楚的認識。下面從數學知識的形成、數學思維的特點、數學問題的解決等方面對這一環節教學的具體過程作進一步的剖析。

數學知識主要包含數學概念、性質、法則、公式、公理、定理以及由其內容反映的數學思想方法。數學概念一般在新課教學中會首先遇到。在教學中，教師要引導學生通過觀察、分析、比較、抽象、概括等一系列思維活動找出事物的共同特征，并準確地給它們下定義，完成概念的形成。之后，選編一些選擇題、填空題等，讓學生對組成新概念的各個因素，特別是主要因素進行判斷，用針對性的練習加深學生對新概念內涵與外延的理解。接著，通過新概念的運用，進一步加深對它的認識，完成對新概念的理解。概念教學是否成功，在于教師引導學生形成概念的過程中，是否遵循概念教學的規律，創設問題情境，啟發學生運用科學的手段（分析、比較、抽象、概括），找出事物的共同點。在數學概念的教學中，學生獲得的不應只是數學知識，還有科學思維能力。因為概念的形成過程是在教師的引導下進行的觀察、分析、比較、抽象、概括等思維活動的過程，這些思維活動是正確認識事物的基本方式。

數學命題是由數學概念組成的，它是客觀事物中的空間形式、數量關系和數學模式的表達方式。數學中的法則、公式、性質、公理、定理、例題、習題都可以以數學命題的形式來呈現。探索未知，把未知轉化為已知，是人類認識世界和改造世界的客觀要求在數學上的反映。數學教學是培養學生思維能力的活動，這種能力實際就是探索未知，把未知轉化為已知的能力。數學命題的教學內容中在培養學生思維能力方面有十分豐富的材料，對此要有足夠的重視。其中法則和公式的教學與性質、定理、例題、習題等的教學有些不同，因為法則和公式在命題形式上沒有很明顯的格式（如“如果…那么…”之類的格式）。法則是經過從特殊到一般、從具體到抽象的過程歸納總結得出的運算規則。這個過程有時要運用一些運算律（交換律、結合律、分配律）得出運算結果。運算法則本身是一種人為的規定，但是不能因為是人為的規定就可以隨意而為。因此，在教學中要注意從實例中引出這些規定，讓學生理解規定的合理性，進而在理解的基礎上進行記憶，并熟練運用這些規定進行運算。相對于初中，高中的數學運算法則比較少，主要應用在平面向量和復數的運算中。根據高中學生的年齡特點和知識水平，在法則教學中，要求學生對法則規定的合理性、運算結果的封閉性、與先前法則運算性質的一致性有較好的理解。數學公式是一些常用的、表示基本數量關系的等式。在公式教學中，一要讓學生理解公式的推導過程，二要讓學生會運用公式進行求值、化簡、證明。公式的推導是從一些條件出發，通過分析、推理、運算，找到這些條件和結論之間的聯系的過程。因此，公式教學可以訓練學生的思維。公式的運用是在理解公式的基礎上，以公式表示的數量關系為條件進行推算、推論。數學運算能力是學生能力要求中的重要組成部分，是思維能力和運算技能的結合。而進行正確運算、等式變形和數據處理的依據是法則和公式。法則和公式的教學要加強算理和算法的運用，在運算中利用運算律和運算性質設計合理、簡捷的運算途徑，并進行充分的習題訓練，以提高學生的運算技能。

在數學命題的教學中，性質、定理、例題、習題的教學占有重要的地位。這部分內容所占比例較大，命題的表達形式比較固定，題設（已知）與結論（未知）分明。數學教學常通過問題解決來培養學生的邏輯思維能力。問題解決的實質就是通過一系列正確推理的步驟實現命題中已知與未知的“接通”，把未知轉化為已知。解決問題的復雜程度要看已知到未知之間的“距離”有多遠及已知和未知的聯系有多隱蔽。解決問題常運用演繹推理和合情推理。這兩種推理有不同的數學思維過程和方式。演繹推理是根據已有的事實和正確的結論（包括定義、公理、定理等），按照嚴格的邏輯法則得出結論的推理過程。合情推理是在已有事實和正確結論（包括定義、公理、定理等）的基礎上，根據實驗和實踐的結果，以及個人的經驗和直覺等推測某些結論的推理過程。上面所說的把已知與未知“接通”，實際上就是演繹推理。解決問題以演繹推理為主，合情推理為輔。分析法與綜合法是“接通”時普遍采用的思維方法。分析法是從未知出發，尋找使未知成立所需要的若干條件，一直追尋到這些條件就是題目的已知條件。綜合法是從已知條件出發，借助有關的性質和定理，經過逐步的邏輯推理，最后達到待證結論或需求問題，其思路是“由因導果”，即從“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，與分析法是相反的。在教學實際中，有時用分析法，有時用綜合法，還有時同時使用兩種方法，兩面“夾攻”，找到一個結合點，從而實現“接通”，使問題得到解決。其中，分析法運用得比較多，它可以比如為：在尋找使未知成立的過程中，學生的大腦是儲存相關知識的“倉庫”和供解決問題使用的“工具箱”，學生從中選擇（通過歸納與類比等）使未知成立的最密切相關的“工具”。

【例】如圖，設F1、F2分別是橢圓的左、右焦點，P是該橢圓上的一個動點，B1、B2分別是該橢圓的上、下頂點。證明：當點P與B1或B2重合時，∠F1PF2的值最大。

解本題時運用分析法。要使∠F1PF2的值最大（未知），需先求∠F1PF2的值，而要求∠F1PF2的值，需先求∠F1PF2的三角函數值（正弦或余弦等）。在求∠F1PF2的三角函數值的幾種選擇中，求∠F1PF2的余弦值是最好的，因為求∠F1PF2的余弦值要用到余弦定理，與題目的已知條件聯系最緊密。由cos∠F1PF2=

知道0≤∠F1PF2<π。在［0，π）上，cos∠F1PF2為減函數。求∠F1PF2的最大值，就是求cos∠F1PF2的最小值。由|PF1|2+|PF2|2≥2|PF1||PF2|（已知）得cos∠F1PF2≥1-，而當點P與B1或B2重合時（已知），其中的等號成立，得cos∠F1PF2的最小值，從而證得∠F1PF2的值最大。

能否找到使未知成立的條件與學生的基礎密切相關，而要解決學生的基礎問題，需要運用逆向教學設計，即對講授新課需要用到的舊知識先進行復習。

在數學命題教學中，要使學生“知其然，更要知其所以然”，體現思維的深刻性、理解的完整性。具體做法是：第一，讓學生明白是這樣做（知其然）；第二，讓學生進一步明白為什么這樣做（知其所以然）。分析法在這里可以發揮很好的作用。因為使用分析法可以促使學生自覺、獨立地尋找命題的證明途徑，并自覺地理解每一個步驟及其目的，從而促進學生邏輯思維的發展。在實際教學中，往往只重視“知其然”的教學，而對“知其所以然”的教學重視不夠。這樣容易導致學生只知道問題的結果，而不知道產生這個結果的原因，對問題的理解只停留在較淺的層面上，沒有掌握解決問題的思想方法及如何將其遷移到新問題的解決中，分析問題和解決問題能力的提高受到影響。學生在教師的引導下對問題“知其然，更要知其所以然”，就實現了認識的飛躍。因此，分析法是發展學生理性思維的有效方法。

三、數學逆向教學設計與“最近發展區”理論

根據維果茨基的“最近發展區”理論，學生的發展有兩種水平：一種是已經達到的發展水平；另一種是學生可能達到的發展水平，表現為“學生還不能獨立地完成任務，但在成人的幫助下，在集體活動中，通過模仿能夠完成這些任務”。這兩種水平之間的區域，就是最近發展區。把握最近發展區，并從最近發展區出發設計教學，能加速學生的發展。教學實踐表明，最近發展區與學生的年齡、能力、知識水平等有緊密的聯系，要通過對具體情況的具體分析來確定。教師對學生最近發展區的把握與研究，直接影響到教學效率的高低，影響學生的學習積極性，從而對學生能力的形成有著重要的影響。用最近發展區理論可以很好地解釋數學逆向教學設計的合理性。在數學逆向教學設計中，第一步是復習與第二步的新課內容密切相關的舊知識、舊方法，夯實學生的基礎，即學生“已經達到的發展水平”；第二步的講授新課要求學生掌握的新知識、新方法，是學生“可能達到的發展水平”，是教學目標。分析法與綜合法是使“已經達到的發展水平”過渡到“可能達到的發展水平”的橋梁。

綜上所述，數學逆向教學設計作為一種遵循教學規律的教學設計，具有思路明確、形式簡單、實用性強等特點。演繹推理和合情推理是數學命題教學常用的方法，也是數學問題解決的有效方法，對培養學生邏輯思維能力和創新意識具有重要的意義，在教學中應注意運用。數學逆向教學設計符合最近發展區原理，因此它有利于提高數學教學質量，促進數學教學目標實現。

（責編 王學軍）