淺析函數思想解決不等式問題

摘 要：函數是高中數學的重要內容之一，函數思想是對函數基礎知識的進一步凝練與升華，應用函數思想解決不等式問題的關鍵在于構造出恰當的函數模型并靈活應運用函數的圖象與性質。

關鍵詞：函數思想；不等式；解題應用

[中圖分類號]：G633.6 [文獻標識碼]：A

[文章編號]：1002-2139(2012)-02-0056-01

函數是描述客觀世界變化規律的重要模型。函數思想是對函數知識的進一步凝練和概括，是以函數內容為載體的對函數的一種本質認識。它揭示問題數量關系中的本質特征，對于問題數據進行動態研究。函數與不等式以方程為橋梁建立密切聯系。函數思想在不等式問題中的應用主要體現在兩方面，一是借助于某些初等函數圖象及基本性質來解有關不等式的問題，研究相應函數在一個特定區間上的最值極值問題，或者利用函數的奇偶性、對稱性、單調性等性質再進行定性、定量分析；二是深入挖掘已知條件中隱含的函數關系，建立或構造出具體的函數，通過討論此函數的相關性質來簡化問題。應用函數思想能夠優化解題過程，迅速完成解題。

①直接應用函數圖象或性質解題

例1：解不等式

解析：令，定義域為由，解得，。將定義域劃分成的區間、、、中有，，故原不等式解集為

注：此不等式的解法實際上利用了實系數一元連續函數在其存在且無零點的區間內的保號性（保正負）。

有些不等式的問題對函數思想的應用有據可查，運用指（對）數函數、冪函數、三角函數等初等函數的性質很容易解決，但還有些函數特征不明顯的不等式， 需要我們深入挖掘出其本質，找到問題的源頭，通過一系列等價變形，才能順理成章的應用函數思想解決該問題。

②間接轉化構造函數形式并輔助函數性質解題

例2：若 .求證：.

證明：不等式可等價變形為

設，，，則，，，所以(1)式左邊=.當即時不等式取等號。

注：本題通過不等式的等價變形，建立坐標系，構造相應的三角函數模型，應用三角函數誘導公式巧妙地解決了不等式的證明。

例3：若求證

分析：題中含有多個未知量，直接證明很難，但是如果將其中一個未知數留作變元，另外兩個看作是參數，構造一個一元函數，即是當時的函數值，問題轉化為證明函數值.因判別式，又的二次項系數為正，恒成立，故恒有原不等式得證。

例4：已知是直角三角形的兩直角邊，c是斜邊，求證

解析常規證明方法是運用數學歸納法進行遞推，但本題欲證的不等式中，自然數n是大于2的變量，并且都出現在指數位置，因此聯想構造一個指數函數的模型，利用函數思想解題，題中蘊含已知條件，考慮運用函數的單調性來證明此不等式成立。由勾股定理可知要證，只需證構造，，因為所以與在上是遞減函數。又因為，有，所以則

例5：已知不等式對于一切大于1的自然數n都成立，求實數a的取值范圍.

解析：不等式的左邊可以看作是一個關于n的函數，則此不等式恒成立即轉化成為求函數問題。構造函數，下證為增函數.

由

故，即

所以.倘使原不等式對于一切大于1的自然數都成立，須使，即，解得

注：這樣利用函數思想在某種程度上優化了解題過程，發展了思維的深刻性、變通性，是培養能力的一種有效手段。

數學知識不是孤立的單點或離散的片段，一種思想方法也不能孤立存在于復雜問題的解決過程中，函數是一種特殊的對應，函數思想的應用離不開對應思想的指導。將特殊問題轉化為函數問題也是化歸思想的具體體現。函數思想在解決不等式問題時也并非單一的出現，時常和其他思想方法聯袂演繹出精彩的解題過程。函數思想與數形結合思想、轉化思想等的綜合運用在以上例題中都有體現，往往令看似毫無頭緒的題目迎刃而解。

在高中數學課堂上，數學知識的傳授固然重要，但是知識最終會內化成為各種思想和解決問題的能力， 所以在相關教學實踐中深入挖掘思想方法至關重要。函數思想是基于函數內容又高于函數的一種隱性的知識，需要經歷反復體驗和實踐才能被領悟和內化。函數思想方法抽象度高，隱蔽性較強，難以用具體的符號或語言進行表述，因此在對函數思想方法的教學中要注意逐漸滲透和反復強調，使學生的認識從感性到達理性的飛躍。

參考文獻：

[1]沈文選，楊清桃.數學思想領悟[M]，哈爾濱工業大學出版社，2008，1。

[2]顧向中，函數思想在不等式中的應用[J]，數學研究，2006（6）。