淺析中職數學函數的對稱性

函數是中職數學教學的主線，也是中職數學教學內容的核心，更是整個中職數學的基礎。函數的對稱性是函數的一個基本性質，對稱關系廣泛存在于數學問題之中，利用對稱性往往能更簡捷地使問題得到解決。函數的性質是中職數學對口高考的重點與熱點，本文擬通過函數自身的對稱性和不同函數之間的對稱性這兩個方面來淺析函數對稱有關的性質。

一、函數自身的對稱性

1.定理1：函數y=f(x)的圖像關于點A(a，b)對稱的充要條件是f(x)+f(2a－x)=2b。

證明：

（1）必要性

設點P(x，y)是y=f(x)圖像上任一點，

∵點P(x，y)關于點A(a，b)的對稱點P′（2a－x，2b－y）也在y=f(x)圖像上，∴2b－y=f(2a－x)

即y+f(2a－x)=2b，故f(x)+f(2a－x)=2b，必要性得證。

（2）充分性

設點P(x0，y0)是y=f(x)圖像上任一點，則y0=f(x0)。

∵f(x)+f(2a－x)=2b

∴f(x0)+f(2a－x0)=2b，即2b－y0=f(2a－x0)。

故點P′（2a－x0，2b－y0）也在y=f(x)圖像上，而點P與點P′關于點A(a，b)對稱，充分性得證。

推論：函數y=f(x)的圖像關于原點O對稱的充要條件是f(x)+f(－x)=0。

2.定理2：①若函數y=f(x)圖像同時關于點A(a，c)和點B(b，c)成中心對稱（a≠b），則y=f(x)是周期函數，且2|a－b|是其一個周期；②若函數y=f(x)圖像同時關于直線x=a和直線x=b成軸對稱（a≠b），則y=f(x)是周期函數，且2|a－b|是其一個周期；③若函數y =f(x)圖像既關于點A(a，c)成中心對稱又關于直線x=b成軸對稱（a≠b），則y=f(x)是周期函數，且4|a－b|是其一個周期。

筆者僅以上述③的證明為例：

∵函數y=f(x)圖像關于點A(a，c)成中心對稱，

∴f(x)+f(2a－x)=2c，用2b－x代x得：

f(2b－x)+f[2a－(2b－x)]=2c………………①

又∵函數y=f(x)圖像關于直線x=b成軸對稱，

∴f(2b－x)=f(x)代入①得：

f(x)=2c－f[2(a－b)+x]…………②

用2（a－b）－x代x，得：

f[2(a－b)+x]=2c－f[4(a－b)+x]代入③，得：

f(x)=f[4(a－b)+x]，故y=f(x)是周期函數，且4|a－b|是其一個周期。

二、不同函數對稱性的探究

1.定理3：函數y=f(x)與y=2b－f(2a－x)的圖像關于點A(a，b)成中心對稱。

2.定理4：①函數y=f(x)與y=f(2a－x)的圖像關于直線x=a成軸對稱；②函數y=f(x)與a－x=f(a－y)的圖像關于直線x+y=a成軸對稱；③函數y=f(x)與x－a=f(y+a)的圖像關于直線x－y=a成軸對稱。

筆者僅以定理4中③的證明為例：

∵設點P(xo，yo)是y=f(x)圖像上任一點，則yo=f(x0)。設點P(x，y)關于直線x－y=a的軸對稱點為P′（x1，y1），則x1=a+y0，y2=xo－a，

∴xo=a+y1，yo=x1－a代入yo=f(xo)之中，得x1－a=f(a+y1)

∴點P′（x1，y1）在函數x－a=f(y+a)的圖像上。

同理可證：函數x－a=f(y+a)的圖像上任一點關于直線x－y=a的軸對稱點也在函數y=f(x)的圖像上。故定理4中的③成立。

（作者單位：江西省贛縣職業技術學校）