初中數(shù)學(xué)建模舉例

所謂數(shù)學(xué)建模，就是將某一領(lǐng)域或部門(mén)的某一實(shí)際問(wèn)題，通過(guò)一定的假設(shè)，找出這個(gè)問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型，求出模型的解，并對(duì)它進(jìn)行驗(yàn)證的全過(guò)程。筆者以一次函數(shù)的應(yīng)用為例，探討幾種不同的數(shù)學(xué)建模過(guò)程。

一、直接給出模型

例1.已知彈簧的長(zhǎng)度Y在一定的限度內(nèi)是所掛物質(zhì)重量X的一次函數(shù)。現(xiàn)已測(cè)得所掛重物重量為4kg時(shí)，彈簧的長(zhǎng)度是7.2cm；所掛重物重量為5kg時(shí)，彈簧的長(zhǎng)度為7.5cm。求所掛重物重量為6kg時(shí)彈簧的長(zhǎng)度。

既然題干中已經(jīng)明確給出了Y與X之間具備的是一次函數(shù)關(guān)系，那么實(shí)際上本題目中數(shù)學(xué)建模過(guò)程已經(jīng)被省略掉了。可以設(shè)數(shù)學(xué)模型為Y=kX+b，將已知的兩個(gè)條件分別代入這個(gè)模型關(guān)系式中，可得：7.2=4x+b，7.5=5x+b。求解二元一次方程組，得出k=0.3，b=6。從而得到模型Y=0.3X+6，將X=6代入該模型中，得到Y(jié)=7.8。于是得到該問(wèn)題的最終結(jié)果，即當(dāng)所掛物體重量為6kg時(shí)，彈簧長(zhǎng)度為7.8cm。這種直接給出數(shù)學(xué)模型的方法，在初學(xué)一次函數(shù)理解其待定系數(shù)法時(shí)，不失為一種較為合適的數(shù)學(xué)題目設(shè)計(jì)。但是從數(shù)學(xué)應(yīng)用的角度來(lái)看，不利于鍛煉學(xué)生從實(shí)際問(wèn)題中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力。

二、猜測(cè)建立模型

例2.爸爸穿42碼的鞋，長(zhǎng)度為26cm；媽媽穿39碼的鞋，長(zhǎng)度為24.5cm。小明穿41碼的鞋子，長(zhǎng)度為多少？

可以設(shè)數(shù)學(xué)模型為Y=kX+b，將已知的兩個(gè)條件分別代入到這個(gè)模型關(guān)系式中，可得：

26=42k+b，24.5=39k+b。求解二元一次方程組，得解k=0.5，b=5。得到模型Y=0.5X+5，將X=41代入該模型中，得到Y(jié)=25.5。從而得到該問(wèn)題的最終結(jié)果，即小明所穿的41碼的鞋子，長(zhǎng)度為25.5cm。

本例至此，似乎已經(jīng)解決了問(wèn)題。但實(shí)際上，如果只知道兩對(duì)已知的函數(shù)數(shù)值，還不能否定尺碼和長(zhǎng)度之間是否存在著其他函數(shù)關(guān)系，譬如二次函數(shù)關(guān)系。因此，在該題目的題設(shè)中應(yīng)該再給出一個(gè)條件，比如可以再給出“妹妹穿36碼的鞋，長(zhǎng)度為23cm”，以便獲得一次函數(shù)模型后的驗(yàn)證。無(wú)疑，例題2中一次函數(shù)模型的應(yīng)用較例題1高了一個(gè)層次。

三、實(shí)際推導(dǎo)模型

例3.星期天，張老師提著籃子（籃子重0.5斤）去集市買(mǎi)10斤雞蛋，當(dāng)張老師往籃子里裝稱(chēng)好的雞蛋時(shí)，發(fā)覺(jué)比過(guò)去買(mǎi)10斤雞蛋的個(gè)數(shù)少很多，于是她將雞蛋裝進(jìn)籃子再讓攤主一起稱(chēng)，共稱(chēng)得10.55斤，她即刻要求攤主退1斤雞蛋的錢(qián)。她是怎樣知道攤主少稱(chēng)了大約1斤雞蛋呢（精確到1斤）？請(qǐng)你將分析過(guò)程寫(xiě)出來(lái)，由此，你受到什么啟發(fā)？

把雞蛋的實(shí)際重量看做是未知數(shù)X，而把顯示的重量看做是Y，于是如果沒(méi)作弊，應(yīng)該是Y=X，但是老板作弊了，那么他又是如何作弊的呢？他無(wú)非是想讓Y>X。老板可以調(diào)整他的秤，使得下面的等式成立：Y=kX。其中k是大于1的一個(gè)數(shù)。這樣，對(duì)于每一個(gè)X值，Y值都比它大。根據(jù)這道題目的已知條件得到以下兩個(gè)等式：

10=kX ①

10.55=k（X+0.5） ②

由②可以得到：10.55=kX+0.5k ③

縱觀例3的設(shè)計(jì)求解過(guò)程，處處“原滋原味”。這種“原滋原味”的題目，看似需要用數(shù)學(xué)知識(shí)去解決，卻又留給了學(xué)生一定的思考空間。如果教師善于利用數(shù)學(xué)模型，就能充分發(fā)揮其在解題過(guò)程中對(duì)學(xué)生諸多能力的培養(yǎng)。

我國(guó)著名的數(shù)學(xué)家華羅庚曾經(jīng)指出：“人們對(duì)于數(shù)學(xué)產(chǎn)生枯燥無(wú)味、神秘難懂的印象，原因之一便是脫離實(shí)際。”因此，每一位數(shù)學(xué)教師都應(yīng)該善于挖掘身邊的生活實(shí)例，將它們作為有效的教學(xué)資源，讓學(xué)生在做數(shù)學(xué)、體驗(yàn)數(shù)學(xué)的實(shí)踐活動(dòng)中，自主構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，感受數(shù)學(xué)的魅力，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，并增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心。

（作者單位：江西省南康市龍嶺中學(xué)）