淺談高中數學立體幾何中的分析法

立體幾何在高中是一個難點，特別是添輔助線，讓很多同學無從下手，雖然證明題的思路是非常明確的，比如要證明線面平行，只要在平面中找到一條直線與已知直線平行即可；要證明兩條異面直線垂直，只要構造一個包含其中一條直線的平面與另一條直線垂直即可，但是如何去尋找所需要的直線與平面呢？幸好空間向量的引入，使得立體幾何也可以轉化成代數問題進行計算，不需要添加輔助線，只要能建立適當的空間直角坐標系，通過計算即可解決立體幾何的問題，但那些沒有數量關系的幾何問題不可能利用空間向量來解決，因此如何添加輔助線的可操作性的方法便呼之欲出。接下來，利用分析法討論兩類問題：如何添加輔助線和建立適當空間直角坐標系。

一、分析法解決輔助線問題

例1 在正方體ABCD-A1B1C1D1中，求證：B1D⊥平面ACD1

分析：要證明B1D⊥平面ACD1，只要證明B1D垂直于平面ACD1內的兩條相交直線。利用分析法，可以將B1D⊥平面ACD1看成是已知條件，則根據線面垂直的定義，有B1D垂直于平面ACD1內的所有直線，所以只要選取其中的兩條來證明即可。接下來問題就轉化成為證明B1D⊥AC和B1D⊥CD1，即兩條異面直線垂直，常用的方法就是構造線面垂直。先來證明B1D⊥AC。利用分析法，B1D⊥AC可以看成是已知條件，由于A、C、D處于下底面，只要過D有一條垂直垂直于AC的直線即可，因為底面是一個正方形，故對角線互相垂直，所以只要連接BD，就應有AC⊥平面BB1D。這樣問題就轉化為證明AC⊥平面BB1D。由于AC⊥BD，AC⊥B1D即可證明。然后同理可證B1D⊥CD1。證明過程略。

類似的，《普通高中課程標準實驗教科書》（人教版）數學必修2的73頁上有這樣一個探究題：如圖，直四棱柱A'B'C'D'-ABCD（側棱與底面垂直的棱柱稱為直棱柱）中，底面四邊形ABCD滿足什么條件時，A'C⊥B'D'?(如圖1)

圖1 圖2

分析：連接A'C'，只要A'C'⊥B'D'，就有A'C⊥B'D'。

例2 如圖，ABCD是平行四邊形，S是平面ABCD外一點，M為的SC中點，求證：SA//平面MDB。（如圖2）

分析：要證明SA//平面MDB，只要在平面MDB中找到一條直線與SA平行。利用分析法，可以將SA//平面MDB看成已知條件，根據線面平行的性質定理，過SA的平面只要與平面MDB相交，則SA與交線平行。題目中包含SA有兩個平面只有平面SAB和平面SAD，而這兩個平面與平面 MDB的交線在這個幾何體的外面，不太好找。我們可以改變策略，在四棱錐中構作一個包含SA的平面。根據確定平面的公理2的推論：一條直線和直線外一點可以唯一確定一個平面，我們選取點C，連接AC交BD于O，構作平面SAC，它與平面MDB的交線是OM，故只要證明SA//OM。由于底面是平行四邊形，M是的SC中點，易得SA//OM。證明過程略。

二、分析法建立空間直角坐標系

利用空間向量解決立體幾何問題有著無比的優越性，因此逐漸成為高考的熱點之一。新課改也處處體現向量方法的重要性。在必修2的最后一章，介紹了空間直角坐標系，重點要求掌握空間直角坐標系中點的坐標的確定，以及空間向量的模長，從而掌握空間向量的數量積來解決長度與角度的問題.而空間直角坐標系是將幾何問題轉化為代數問題的關鍵，所以如何建立空間直角坐標系就顯得猶為重要。接下來，利用分析法談談建立空間直角坐標系的問題。

例3 四棱錐S-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，側面SBC⊥底面ABCD，已知∠ABC=45°，AB=2，BC=2，SA=SB=。

(1)求證：SA⊥BC；

(2)求直線SD與平面SAB所成角的大小。

分析：要建立空間直角坐標系，最好有一個線面垂直.先來分析下底面，由于下底面是∠ABC=45°的平行四邊形，且，BC=2，故連接AC，有△ABC是已∠CAB為直角的等腰直角三角形。取BC的中點為O，連接AO，則AO⊥BC。利用分析法，將SA⊥BC看成已知條件，所以應有BC⊥平面SAO，則SO⊥BC。因為側面SBC⊥底面ABCD，根據面面垂直的定義，有SO⊥底面ABCD。故可取O為原點，OA所在的直線為x軸，OB所在的直線為y軸，OS所在的直線為z軸建立空間直角坐標系。證明過程略。

附：分析法得到意想不到的結果

例4 設a、b、c都為正數，求證：abc≥(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)

分析：由于都為正數，當時，可以將看成是三角形的三邊.由不等式的右邊聯想到海倫公式，有abc(a+b+c)≥(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)(a+b+c)=16S2=16··()得R≥2r（其中R，r分別為三角形的外接圓與內切圓的圓心）。

（作者單位：江西省贛州市尋烏中學）