淺談補(bǔ)美法在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

數(shù)學(xué)是自然科學(xué)的“皇后”，科學(xué)中的補(bǔ)美法必須考慮到數(shù)學(xué)美，也就是要按照數(shù)學(xué)美的基本內(nèi)容來(lái)補(bǔ)美。什么是補(bǔ)美法？美容師的工作就是給人補(bǔ)美。不過，科學(xué)中的補(bǔ)美是高層次的，要按照科學(xué)美的基本內(nèi)容來(lái)補(bǔ)美。當(dāng)一種理論尚未到美的境界時(shí)，就必須繼續(xù)進(jìn)行創(chuàng)造、發(fā)展，“按照美的規(guī)章來(lái)創(chuàng)造”，這個(gè)過程中體現(xiàn)的方法，人們稱之為“補(bǔ)美法”或“臻美法”。

在初中數(shù)學(xué)里，利用數(shù)學(xué)美啟發(fā)學(xué)生的直覺思維，培養(yǎng)思維的靈活性、獨(dú)創(chuàng)性。從教師和學(xué)生的解題中我們經(jīng)常能看到“補(bǔ)美法”的蹤跡。

利用補(bǔ)美法解題通常有三個(gè)步驟：

1.分析題目中已知條件，確定問題難在哪里；

2.從數(shù)學(xué)美的觀點(diǎn)出發(fā)，進(jìn)行猜測(cè)，尋找能建立已知與未知的某種關(guān)系；

3.跟著感覺走。感覺即直覺，它是自發(fā)的，無(wú)意識(shí)的思維活動(dòng)，具有不可“解釋性”。

下面簡(jiǎn)單介紹一下初中數(shù)學(xué)解題中常見的幾種補(bǔ)美方法：

1.把不對(duì)稱的補(bǔ)為對(duì)稱：

如：已知△ABC中，∠B=2∠C，求證：AB＋BD=CD。

分析：本題利用等腰三角形的對(duì)稱性，求出CD=DE即證出AB＋BD=CD。給我們的啟發(fā)：引導(dǎo)我們?cè)诮⒚馈⑿蕾p對(duì)稱美的同時(shí)也可解決問題。

2.不完整的補(bǔ)為完整：

如圖：已知，六邊形的各角均相等，邊長(zhǎng)中AB為9厘米，BC為1厘米，EF為5厘米，AF為9厘米，求其余各邊的長(zhǎng)。

分析：本例把六邊形的問題轉(zhuǎn)化為等邊三角形的問題，利用三角形的各邊均相等可解決問題。本例從審美的角度，進(jìn)行補(bǔ)美，把不完整的圖形補(bǔ)充為完整的圖形或特殊的圖形，這樣的問題在教學(xué)中經(jīng)常會(huì)遇到。

3.把不平的補(bǔ)平：

如圖：有一個(gè)棱長(zhǎng)為1厘米且封閉的正方體紙盒，一只昆蟲從頂點(diǎn)A爬到頂點(diǎn)B，那么這只昆蟲爬行的最短路程是多少？

本題難在如何求空間內(nèi)兩點(diǎn)間的最短距離，如果要是求平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離就好了，為此我們可發(fā)揮空間的想象力，把立體圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形，根據(jù)兩點(diǎn)之間，線段最短。如圖所示，只要求出線段AB的長(zhǎng)就是AB兩點(diǎn)間的最短距離了。

4.把不規(guī)則補(bǔ)規(guī)則：

如：某賓館在重新裝修后，準(zhǔn)備在大廳的主樓梯上鋪設(shè)某種紅色地毯，已知這種地毯每平方米的售價(jià)為30元，主樓梯道寬2米，其側(cè)面如圖所示，則購(gòu)買地毯至少需要多少元？本題利用補(bǔ)美法中的把不規(guī)則補(bǔ)為規(guī)則的方法，把一個(gè)不規(guī)則的問題，利用長(zhǎng)方形的對(duì)邊相等的性質(zhì)，既轉(zhuǎn)化了問題，又使學(xué)生獲得了一種美感。

5.把分散補(bǔ)成集中：

已知：扇形OAB的圓心角為120，半徑為6厘米，C、D是弧AB的三等分點(diǎn)，求S陰影的面積。

本題把陰影部分集中到一起是一個(gè)小的扇形，此扇形的圓心角為40度，半徑為6，可利用扇形的面積公式求出它的面積，即陰影部分的面積。

6.把不統(tǒng)一補(bǔ)成統(tǒng)一：

如：計(jì)算：1+5+9+13+17+…+41的值

本例中的各數(shù)有什么規(guī)律，它們都相差4，如果我們把首尾兩數(shù)相加，它們兩兩相等，我們不妨S=1+5+9+13+17+…+41則S=41+37+33+…+1。把兩個(gè)等式相加得：2S=（1+41）×11，則S=231。

本例中把不統(tǒng)一的加數(shù)通過倒序相加使它們統(tǒng)一成和為42，充分地體現(xiàn)出數(shù)學(xué)中的統(tǒng)一美，在統(tǒng)一的基礎(chǔ)上解決了問題；

7.把不協(xié)調(diào)補(bǔ)為協(xié)調(diào)：

如：試問：A=3×5×17×（28+1）×（216+1）×（232+1）×（264+1）+1的個(gè)位數(shù)是幾？

本例中的3、5、17與后邊括號(hào)內(nèi)的各項(xiàng)極不協(xié)調(diào)，能否把這三個(gè)數(shù)變成與后面各項(xiàng)形式上保持一致，使A=（21—1）×（21+1）×（22+1）×（24+1）×（28+1）×（216+1）×（232+1）×（264+1）+1即A=1632所以數(shù)A的個(gè)位數(shù)為6，一個(gè)數(shù)學(xué)問題的簡(jiǎn)捷解法也能給學(xué)生以美感，提高他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

8.無(wú)秩序的補(bǔ)為有序：

如：、、、、、……第n個(gè)分?jǐn)?shù)是什么？

本例中的分?jǐn)?shù)從形式上看是無(wú)序的，無(wú)規(guī)律的，如能把無(wú)序的分?jǐn)?shù)變?yōu)橛行虻木秃昧耍瑸榇宋覀兝梅謹(jǐn)?shù)的基本性質(zhì)對(duì)這列分?jǐn)?shù)進(jìn)行變形：、、、、、……這時(shí)整列分?jǐn)?shù)的分子與分母均變?yōu)橛行蛄耍苋菀淄瞥龅趎個(gè)分?jǐn)?shù)是。

當(dāng)然，“補(bǔ)美法”在解題中的應(yīng)用，遠(yuǎn)不止這些，在教學(xué)中要讓學(xué)生熟悉“補(bǔ)美法”，以及自覺地運(yùn)用“補(bǔ)美法”，不是一朝一夕之功，這要求我們數(shù)學(xué)教師本身應(yīng)該具備數(shù)學(xué)的審美能力，精通“補(bǔ)美法”，教學(xué)中能經(jīng)常地、及時(shí)地運(yùn)用“補(bǔ)美法”，使學(xué)生在欣賞數(shù)學(xué)美的同時(shí)，也能熟悉“補(bǔ)美法”，體驗(yàn)思維與創(chuàng)造的歡樂，感受成功的喜悅。

（作者單位：江蘇省沭陽(yáng)縣修遠(yuǎn)中學(xué)）