兩法化解一道“難”題

前日偶爾瀏覽到浙江省臺州市四校2012屆高三第一次聯(lián)考理科考數(shù)學(xué)試卷，看到其中的第8題不太一般，一眼看不到其結(jié)果，感覺對于很多考生來講也許會比較難.仔細想想，再動起手來，試題也并非那么難，這正是：霧里看花隔層紗，柳暗花明途徑倆！

原題.在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AD=DC=1，AB=3，動點P在以點C為圓心，且與直線BD相切的圓內(nèi)運動，設(shè)■=?琢 ■+?茁 ■（?琢，?茁∈R），則?琢+?茁的取值范圍是( )

A. (0，■] B. [■，■] C. (1，■] D. (1，■]

分析一：題設(shè)條件既然是以向量形式給出的，自然可以從向量的加減運算入手！

向量法： 在直角梯形ABCD中， BD=■， S直角梯形ABCD＝■(AB+CD)×AD=2，而S直角梯形ABCD=S△ABD+S△BCD=■AB×AD+■BD×r⊙C=■+■r⊙C=2，所以r⊙C=■. ■=■-■=?琢 ■+?茁 ■-(■+■■)=(?琢-1)■+(?茁-■)■，因為■<■且■⊥■，所以■2=(?琢-1)2 ■2+(?茁-■)2 ■2，即(?琢-1)2+9(?茁-■)2<■，也就是(?琢-1)2+(3?茁-1)2<■，令?琢-1=rcos?茲，3?茁-1=rsin?茲（其中0

另外，■=?琢 ■+?茁 ■，■⊥■，則■·■=?琢，■·■=9?茁，?琢+?茁=■·■+■■·■=■·(■+■■)，■+■■＝■（E是■靠近D的三等分點）是固定的向量，再利用數(shù)量積的幾何意義可以求出?琢+?茁的取值范圍.

分析二：題設(shè)給出的直角梯形建立坐標(biāo)系比較方便，所以用坐標(biāo)運算也相當(dāng)簡捷！

解析法：分別以AB，AD為x，y軸建立直角坐標(biāo)系，則A(0，0)，B(3，0)，C(1，1)，D(0，1)，設(shè)P(x，y)，由■=?琢 ■+?茁 ■（?琢，?茁∈R）可知P（3?茁，?琢）.圓心C(1，1)到直線BD： x+3y-3=0的距離為■（⊙C的半徑），由CP<■可得(?琢-1)2+(3?茁-1)2<■，同上可得?琢+?茁∈(1，■).

不知大家可否有更好的解法？歡迎交流！

責(zé)任編校 徐國堅