一道習題的多種解法及其推廣

例題.已知平面上三點A、B、C滿足■＝6，■＝8，■＝10，則■·■＋■·■＋■·■的值等于多少?

分析：本題考查平面向量數量積的計算方法，突出運算技能的考查，為了便于比較，下面給出5種解法．

解法1：(用向量數量積的定義解)

因為∠B＝90°，所以■·■＋■·■＋■·■

＝■·■cos(π－∠C)＋■·■cos(π－∠A)

=-80cos∠C-60cos∠A=-80·■-60·■＝-100.

解法2：(用向量數量積的坐標表示解)由已知三角形ABC三邊長為3、4、5，所以∠B＝90°.

以B為原點，建立直角坐標系，則A，B，C三點的坐標分別為(6，0)，(0，0)，(0，8)，所以：

■·■＋■·■＋■·■＝■·■＋■·■

＝(0，8)·(6，－8)＋(6，－8)·(－6，0)

＝0×6＋8×(－8)＋6×(－6)＋(－8)×0＝－100.

解法3：(用向量數量積的運算律解)

因為∠B＝90°，所以■·■＝0，

從而■·■＋■·■＋■·■

＝■·■＋■·■

＝■·(■·■)

＝■·■＝－■2＝－100.

解法4：(用整體配湊法解)

受解法3啟發，由廣義對稱思想出發可得如下更為一般的解法：

■·■＋■·■＋■·■＝■[(■·■＋■·■)＋(■·■＋■·■)＋(■·■＋■·■)]

＝■(■·■＋■·■＋■·■)

＝■(－62－82－102)＝－100.

解法5：(用向量的加法法則解)

因為■+■＋■＝■，所以(■+■＋■)2＝0，

即■·■＋■·■＋■·■

＝－■(■2+■2+■2)

＝－100.

點評：解法1，2，3都利用了∠B＝90°這一條件，對向量數量積的不同理解產生了不同的解法，而解法4和解法5不僅未用到∠B＝90°這一條件，還揭示出了更一般的結論：

推廣:已知平面上三點A、B、C滿足■＝a，■＝b，■＝c，則■·■＋■·■＋■·■＝－■(a2＋b2＋c2)．

由于向量具有“數”與“形”的雙重身份，因此其運算形式豐富多彩，獨具魅力，特別是解法4， 解法5不僅簡化了運算，還揭示了問題的本質．

若將三點改為四點，如何？研究會繼續下去．

(作者單位：貴州省龍里中學)

責任編校 徐國堅