一道三角函數高考題的探究

引例：2012福建高考理17題：

某同學在一次研究性學習中發現，以下五個式子的值都等于同一個常數.

（1）sin213°+cos217°-sin13°cos17°；

（2）sin215°+cos215°-sin15°cos15°；

（3）sin218°+cos212°-sin18°cos12°；

（4）sin2（-18°）+cos248°-sin（-18°）cos48°；

（5）sin2（-25°）+cos255°-sin（-25°）cos55°.

（I）試從上述五個式子中選擇一個，求出這個常數；

（II）根據（Ⅰ）的計算結果，將該同學的發現推廣為三角恒等式，并證明你的結論.

分析：本題是對教材習題的合理改造，主要考查三角恒等變換，三角公式的轉化及應用.考查學生從特殊到一般地歸納猜想的抽象概括能力及推理論證能力.考查特殊與一般思想，化歸與轉化思想.

解答：（I）選擇（2）：sin215°+cos215°-sin215°cos15°=1-■sin30°=■.

（II）三角恒等式為：sin2?琢+cos2（30°-?琢）-sin?琢cos（30°-?琢）=■.

證明：sin2?琢+cos2（30°-?琢）-sin?琢cos（30°-?琢）

=sin2?琢+（■cos?琢+■sin?琢）2-sin?琢（■cos?琢+■sin?琢）

=■sin2?琢+■cos2?琢=■.

變式訓練1． 觀察sin230°+cos260°+sin30°cos60°=■，sin220°+cos250°+sin20°cos50°=■和sin215°+cos45°+sin15°cos45° =■，...，由此得出的以下推廣命題中，不正確的是( )

A. sin2（?琢-30°）+cos2?琢+sin（?琢-30°）cos?琢=■

B. sin2?琢+cos2?茁+sin?琢cos?茁=■

C. sin2（?琢-15°）+cos2（?琢+15°）+sin（?琢-15°）cos?琢（?琢+15°）=■

D. sin2?琢+cos2（?琢+30°）+sin?琢cos（?琢+30°）=■.

解答：通過觀察易得B.

變式訓練2． 觀察和計算cos2（-15°）+cos245°+cos2105°= ，cos25°+cos265°+cos2125°= ，和 cos210° +cos270°+cos2130°= ，…根據規律性，請推廣出一個三角恒等式，并證明你的結論.

解答：（I）選擇（1）：

cos2（-15°）+cos245°+cos2105°=cos215°+cos245°+

sin215°=■.

（II）觀察可得到的三角恒等式為：cos2?琢+cos2（?琢+60°）+cos2（?琢+120°）=■.

證明：cos2?琢+cos2（?琢+60°）+cos2（?琢+120°）=■（3+

cos2?琢+cos（2?琢+120°）+cos（2?琢+240°））

=■+■（cos2?琢+cos（2?琢+240°））+■cos（2?琢+120°）

=■+■（2cos120°cos（2?琢+120°））+■cos（2?琢+120°）

=■.

點評：此類題設計較為開放，不拘于傳統模式，主要考查兩角和與差、二倍角公式及降冪求值的方法，對計算能力和抽象概括能力的要求較高.通過觀察進行歸納猜想，利用三角公式進行等價變形，要求考生熟知三角公式并能靈活應用，突出了中學數學教學關注通性通法，淡化特殊技巧，關注對數學思想方法的應用.

下面作適當的探究，若在三角形內有哪些常見恒等式呢！

已知三角形ABC的三個內角分別為角A、B、C，其對的邊分別為，a，b， c，則：

（1）sin2A+sin2B+sin2C-2cosAcosBcosC=2（兩角和與差及二倍角公式降冪可證）；

（2）tanA+tanB+tanC-tanAtanBtanC=0（兩角和與差公式可證明）；

（3）tan■tan■+tan■tan■+tan■tan■-1=0.

證明：（3）tan■tan■+tan■tan■+tan■tan■-1

=tan■（tan■+tan■）+tan■tan■-1

=tan■[tan（■）（1-tan■tan■）]+tan■tan■-1

=tan■[cos■（1-tan■tan■）]+tan■tan■-1=0.

綜上可知：在三角形中存在許多定值問題，都可以轉化到簡單的三角公式的變式應用.

變式訓練3. 閱讀下面材料：

根據兩角和與差的正弦公式，有

sin（?琢+?茁）=sin?琢cos?茁+cos?琢sin?茁……①

sin（?琢-?茁）=sin?琢cos?茁-cos?琢sin?茁……②

由①+② 得sin（?琢+?茁）+sin（?琢-?茁）=2sin?琢cos?茁……③

令?琢+?茁=A，?琢-?茁=B有?琢=■，?茁=■，

代入③，得sinA+ sinB=2sin■cos■.

(Ⅰ) 類比上述推理方法，根據兩角和與差的余弦公式，證明:cosA-cosB=-2sin■sin■；

(Ⅱ)若△ABC的三個內角A，B，C滿足cos2A-cos2B=1-cos2C，試判斷△ABC的形狀.

解答：(Ⅰ)證明:因為cos（?琢+?茁）=cos?琢cos?茁-sin?琢sin?茁，

cos（?琢-?茁）=cos?琢cos?茁+sin?琢sin?茁……②

①-② 得cos?琢（?琢+?茁）-cos?琢（?琢-?茁）=-2sin?琢sin?茁……③

令?琢+?茁=A，?琢-?茁=B有?琢=■，?茁=■，

代入③得cosA-cosB=-2sin■sin■.

(Ⅱ)由二倍角公式，cos2A-cos2B=1-cos2C，可化為1-2sin2A-1+2sin2B=1-1+2sin2C，所以sin2A+sin2C=sin2B.

設△ABC的三個內角A，B，C所對的邊分別為a，b， c，

由正弦定理可得a2+c2= b2.

根據勾股定理的逆定理知△ABC為直角三角形.

點評：本題用兩角和與差的半角正弦來表示兩個角的余弦之差，運用了類比變換的思想方法，三角函數中的和差化積公式不要死記硬背，要掌握其公式原理，同時也借助三角形中邊與角關系的轉化，從而判斷三角形的形狀.

變式訓練4.如圖，在平面直角坐標系中，銳角?琢、?茁的終邊分別與單位圓交于A，B兩點．

（Ⅰ）如果tan?琢=■，B點的橫坐標為■，求cos（?琢+?茁）的值；

（Ⅱ）若角?琢+?茁的終邊與單位圓交于C點，設角?琢、?茁、?琢+?茁的正弦線分別為MA、NB、PC，求證：線段MA、NB、PC能構成一個三角形；

（III）探究第（Ⅱ）小題中的三角形的外接圓面積是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由.

解答：（Ⅰ）已知?琢是銳角，根據三角函數的定義，得sin?琢=■，cos?琢=■，又cos?茁=■，且?茁是銳角，所以sin?茁=■．

所以cos（?琢+?茁）=cos?琢sin?茁-sin?琢cos?茁=■×■-■×■=-■．

（Ⅱ）證明：依題意得： MA=sin?琢，NB=sin?茁，PC=

sin（?琢+?茁）.

因為?琢，?茁∈（0，■），所以cos?琢∈（0，1），cos?茁∈（0，1），于是有：

sin（?琢+?茁）=sin?琢cos?茁+cos?琢sin?茁＜sin?琢+sin?茁……①

又∵?琢+?茁∈（0，?仔），∴-1＜cos（?琢+?茁）＜1.

sin?琢=sin（（?琢+?茁）-?茁）=sin（?琢+?茁）cos?茁-cos（?琢+?茁）·sin?茁＜sin（?琢+?茁）+sin?茁··……②

同理，sin?茁＜sin（?琢+?茁）+sin?琢……③

由①②③，可得線段MA、NB、PC能構成一個三角形.

（III）第（Ⅱ）小題中的三角形的外接圓面積是定值，且定值為■.

不妨設△A′B′C′的邊長分別為sin?琢、sin?茁、sin（?琢+?茁），其中角A′、B′、C′的對邊分別為sin（?琢+?茁）、sin?茁、sin?琢，則由余弦定理，得：

cosA′=■

=■

=■

=sin?琢·sin?茁-cos?琢cos?茁

=-cos（?琢+?茁）.

因為?琢，?茁∈（0，■），所以?琢+?茁∈（0，?仔），所以sinA′=sin（?琢+?茁），設△A′B′C′的外接圓半徑為R，

由正弦定理，得2R=■=■=1，

∴R=■，所以△A′B′C′的外接圓的面積為■.

點評：此題綜合性強，層次分明：考查三角函數和三角函數線的基本定義，兩角和與差公式與不等式的綜合應用；探索如何來證明三條線段構成三角形，通過構建圖形觀察猜想結論，再進行推理論證.

（作者單位：廈門大學附屬實驗中學）

責任編校 徐國堅