掌握通性通法，以不變應(yīng)萬變

數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容，在高考中亦是考查的熱點(diǎn)內(nèi)容，常以解答題在后三題出現(xiàn)．而求解數(shù)列的通項(xiàng)公式，作為既能考查考生對數(shù)列概念與性質(zhì)的掌握程度，又能考查考生對數(shù)列特征的抽象概括能力，便當(dāng)仁不讓在數(shù)列考查中占據(jù)相當(dāng)重要的位置．翻看歷年廣東高考試題，幾乎均能看到對數(shù)列通項(xiàng)公式求解的考查．下面通過分析2011年和2012年廣東高考對數(shù)列通項(xiàng)公式的考查特點(diǎn)以及解決方法，歸納出兩種求解數(shù)列通項(xiàng)公式的通性通法：作差法和構(gòu)造法，旨在說明只要我們掌握通性通法，便能以不變應(yīng)萬變的坦然心態(tài)面對高考數(shù)列題．

1．（2011年高考廣東理科20題節(jié)選）設(shè)b>0，數(shù)列{an}滿足a1=b，an=■(n≥2)，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．

分析：觀察數(shù)列{an}遞推關(guān)系式的形式特征可知，數(shù)列{an}既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，因此應(yīng)對關(guān)系式進(jìn)行適當(dāng)?shù)囊祈?xiàng)和變形．通過對等式的兩邊取倒數(shù)，分離出常數(shù)■，繼而尋找an與an-1的關(guān)系，使之能構(gòu)造出一個(gè)新的等差數(shù)列或等比數(shù)列.另外考慮到參數(shù)b的值不確定，應(yīng)對b進(jìn)行分類討論．

由an=■可得■=■，化簡得■=■·■+■.

①當(dāng)b=2時(shí)，■=■+■，即■-■+■(n≥2)，所以新數(shù)列■是以■=■為首項(xiàng)，公差為■的等差數(shù)列．

根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得■=■+■（n-1），即an=2，n∈N*．

②當(dāng)b≠2時(shí)，利用■+?姿=■（■+?姿），即■=■·■+■?姿與■=■·■+■進(jìn)行比較得?姿=■，所以■+■=■（■+■）.

所以新數(shù)列{■+■}是以■+■=■為首項(xiàng)，公比為■的等比數(shù)列．

根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得■+■=■·(■)n-1，化簡得an=■，n∈N*．

綜上①②可得數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=2， b=2■，b>0，b≠2．

2．（2012年高考廣東文科19題節(jié)選）設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，數(shù)列{Sn}的前n項(xiàng)和為Tn，滿足Tn=2Sn-n2，n∈N*．（1）求a1的值；（2）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．

分析：觀察到已知關(guān)系式有前n項(xiàng)和Sn和Tn，因此可對關(guān)系式中的n用n-1代替，衍生出另一條關(guān)系式，繼而對兩條等式作差，從而借助Sn=T1，n=1Tn-Tn-1，n≥2和an=S1，n=1Sn-Sn-1，n≥2消去Sn和Tn，得到數(shù)列{an}的遞推關(guān)系式．

（1）當(dāng)n=1時(shí)，a1=2a1-12，解得a1=1．

（2）由 Tn=2Sn-n2(n∈N*)，①

得Tn-1=2Sn-1-(n-1)2(n≥2，n∈N*).②

由①-②可得：Sn=2an-2n+1(n≥2，n∈N*).

注意到當(dāng)n=1時(shí)，S1=a1=1，2a1-2×1+1=1，所以Sn=2an-2n+1對任意n∈N*都成立.

由Sn=2an-2n+1(n∈N*)，③

得Sn-1=2an-1-2(n-1)+1(n≥2，n∈N*). ④

由③-④可得：an=2an-2an-1-2，即an=2an-1+2(n≥2，n∈N*).

由an+?姿=2(an-1+?姿)得an=2an-1+?姿，與an=2an-1+2進(jìn)行比較得：?姿=2，所以an+2=2(an-1+2)(n≥2，n∈N*)．

所以構(gòu)造新數(shù)列{an+2}是以a1+2=3為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列．

根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得an+2=3·2n-1，即an=3·2n-1-2為所求．

3．（2012年高考廣東理科19題節(jié)選）設(shè)數(shù)列{an}的前項(xiàng)n和為Sn，滿足2Sn=an+1-2n+1+1，n∈N*，且a1，a2+5，a3成等差數(shù)列．（1）求a1的值；（2）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．

分析：觀察到已知條件有an與Sn的關(guān)系式，因此可以利用an=S1，n=1Sn-Sn-1，n≥2消去Sn，得到數(shù)列{an}的遞推關(guān)系式．

（1）由2Sn=an+1-2n+1+1，可知：

當(dāng)n=1時(shí)，2S1=a2-22+1，即a2=2a1+3；①

當(dāng)n=2時(shí)，2S2=a3-23+1，即a3=6a1+13.②

又由已知可得2(a2+5)=a1+a3，③

聯(lián)立①②③解得a1=1.

（2）由2Sn=an+1-2n+1+1，(n∈N*)④

得2Sn-1=an-2n+1，(n≥2，n∈N*) ⑤

由④-⑤可得：2an=an+1-an-2n，化簡得an+1=3an+2n（n≥2，n∈N*）.

注意到當(dāng)n=1，a2=2a1+3=5，3a1+21=5.

所以an+1=3an+2n對任意n∈N*都成立．

等式兩邊同除以2n，得■=■·■+1.

由■+?姿=■(■+?姿)得■=■·■+■，與■=■·■+1進(jìn)行比較得■=1，即?姿=2，

所以■+2=■(■+2)(n∈N*).

所以新數(shù)列{■+2}是以■+2=3為首項(xiàng)，公比為■的等比數(shù)列．

根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得■+2=3·(■)n-1，即an=3n-2n，(n∈N*)為所求．

通過對以上三道高考題的分析和求解，我們可以發(fā)現(xiàn)廣東高考對數(shù)列通項(xiàng)公式的考查較多是傾向于對通性通法也就是作差法和構(gòu)造法的考查.因此我們就很有必要對這兩種方法進(jìn)行深入的研究，以求達(dá)到熟練掌握和靈活運(yùn)用的目的.

通法一：作差法

顧名思義，作差法就是對兩條等式或式子作差.在數(shù)列問題中，大家經(jīng)常會碰到已知數(shù)列前n項(xiàng)Sn與數(shù)列第n項(xiàng)an的關(guān)系式，求數(shù)列{an}通項(xiàng)公式的問題.對于這一類問題我們可以通過n-1代替n，從而衍生出另一條關(guān)系式，繼而進(jìn)行作差，從而借助an=S1，n=1Sn-Sn-1，n≥2的關(guān)系消去Sn，得到an與相鄰項(xiàng)之間的遞推關(guān)系式，從而借助等差或等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求解數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．

例1． 已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1=1，且對于任意的n∈N*，有an+1=2Sn+1， 求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．

分析：因?yàn)?an+1=2Sn+1(n∈N*)，①

所以 an=2Sn-1+1(n≥2，n∈N*).②

由①-②可得：an+1-an=2an.

化簡得：■=3(n≥2，n∈N*).

注意到n取最小值2時(shí)，得到■=3，沒有包含■=3這一情況．因此應(yīng)通過已知條件求出a2的值，進(jìn)而檢驗(yàn)■是否亦等于3．

把n=1代入①式，得到a2=2S1+1=2a1+1=2+1=3．滿足■=3．

所以數(shù)列{an}是以1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列．因此an=3n-1，n∈N*為所求數(shù)列的通項(xiàng)公式．

通通法二：構(gòu)造法

對于一個(gè)既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列的數(shù)列，我們可以借助數(shù)列的遞推關(guān)系式，通過構(gòu)造一個(gè)新的數(shù)列使之成為等差數(shù)列或等比數(shù)列．

（1）構(gòu)造等比數(shù)列

例2． 已知數(shù)列{an}滿足：a1=1，an+1=2an+1(n∈N*)，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．

分析：觀察到數(shù)列{an}如果滿足an+1=2an(n∈N*)，則可以得出數(shù)列{an}是等比數(shù)列．因此對于等式右邊的常數(shù)1可以進(jìn)行分解，構(gòu)造出形如an+1+?姿=2(an+?姿)的形式．

由an+1+?姿=2(an+?姿)可得an+1=2an+?姿，與條件an+1=2an+1進(jìn)行比較，得到?姿=1.

所以新數(shù)列{an+1}是以a1+1=2為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列．

根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得an+1=2·2n-1，即an=2n-1，n∈N*為所求．

（2）構(gòu)造等差數(shù)列

例3． 已知數(shù)列{an}滿足：a1=1，an+1=2an+2n+1(n∈N*)，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．

分析：對等式an+1=2an+2n+1兩邊同除以2n+1可得：■=■+1，化簡得到■-■=1，所以新數(shù)列{■}是以■=■為首項(xiàng)，公差為1的等差數(shù)列．

根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得■=■+(n-1)×1，即an=(2n-1)·2n-1，n∈N*為所求．

例4． 已知數(shù)列{an}滿足：a1=1，an+1=■(n∈N*)，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．

分析：對等式兩邊取倒數(shù)，得到■=■=2+■，化簡得到■-■=2.

所以新數(shù)列{■}是以■=1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列．

根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得■=1+2(n-1)，即an=■，n∈N*為所求．

鞏固練習(xí)：

1．（2010廣州二模理科節(jié)選）已知數(shù)列{an}和{bn}滿足a1=b1，且對任意n∈N*都有an+bn=1， ■=■，求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式．

2．（2012廣州二模文科節(jié)選）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，對任意n∈N*，都有an>0且Sn=■，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．

3．（2009全國卷II改編）已知數(shù)列{an}滿足：a1=2，an+1=4an+2n+1(n∈N*)，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．

答案：1． an=■，bn=■，n∈N*． 2． an=n+1，n∈N*． 3． an=22n-2n，n∈N*．

小結(jié)：通過對2011年和2012年廣東高考道有關(guān)數(shù)列通項(xiàng)公式求解問題的研究，大家應(yīng)感受到高考命題逐步強(qiáng)化對通性通法的考查，淡化解題的特殊技巧．因此對于大家倍感棘手的數(shù)列解答題，只要大家能夠熟練掌握求解數(shù)列問題的通性通法也就是作差法和構(gòu)造法，再通過適量的練習(xí)進(jìn)行針對性的訓(xùn)練，相信大家一定能夠消除解決數(shù)列解答題的畏懼心理，最終實(shí)現(xiàn)熟練求解數(shù)列通項(xiàng)公式的目的．

（作者單位：江門市新會第一中學(xué)）

責(zé)任編校 徐國堅(jiān)