比較函數奇偶性的代數法和圖像法

2012年高考剛過去不久，余熱未消.在選擇題中，無論是廣東省還是外省，今年還是往年，函數奇偶性的題目始終占有一席之地.而對于奇偶性的考查不外乎奇偶性的定義及相關性質，只要抓住要點問題便能迎刃而解.下面先看今年廣東文數的第4題：

【2012年高考廣東文4】下列函數為偶函數的是（ ）

A. y=sinx B. y=x3 C. y=ex D. y=In■

【分析】研究函數的奇偶性主要在兩個方面：

1. 求出函數的定義域，通過數軸去看定義域是否關于原點對稱.2. 驗證函數表達式是否滿足f（-x）=-f（x）或f（-x）=f（x），滿足前一個等式是奇函數，后一個等式是偶函數，兩個等式都不滿足的是非奇非偶函數.

對于本題的四個選項的函數的定義域都是R，關于原點對稱．然后通過驗證函數表達式易知選項A 、B為奇函數，選項C為非奇非偶函數，對于D有f（-x）=In■=In■=f（x），為偶函數.此法稱為代數法.

另解：對于函數的奇偶性也可通過觀察函數的圖像進行快速判斷：奇函數的圖像關于原點對稱，偶函數的圖像關于y軸對稱.選項A，B，C都是常見函數，容易畫出它們的圖像，易看出A，B的函數圖像關于原點對稱，是奇函數，C的函數圖像既不關于原點對稱也不關于y軸對稱，是非奇非偶函數，因此都被排除，D是正確答案.此法稱為圖像法.

【答案】D.

小結：對于函數奇偶性的判斷問題，如果能夠畫出圖像的，優先考慮圖像法；圖像法解決不了的再考慮代數法.

變式訓練1：【2012年高考陜西文2】下列函數中，既是奇函數又是增函數的為（ ）

A. y=x+1 B. y=-x2 C. y=■ D. y=x｜x｜

【解析】圖像法：容易畫出選項A，B，C的函數圖像，通過觀察圖像可知A為非奇非偶函數；B為偶函數；C為奇函數；但在（-∞，0），（0，+∞）上是減函數；而D則先轉化為分段函數 y=x2，x≥0-x2，x＜0，再畫出它的圖像，通過觀察可得是奇函數，而且是增函數.因此，選D.

小結：解本題也可以用代數法來判斷四個選項的奇偶性，但是在判斷單調性時還是用到圖像法比較容易解決.因此一開始就采用圖像法可以達到一舉兩得的效果.

變式訓練2：【2012年高考重慶文12】函數f（x）=

（x+a）（x-4）為偶函數，則實數a= .

【解析】本題涉及的函數為二次函數，同學們對它的圖像較為熟悉，因此可以用圖像法.

圖像法：f（x）=（x+a）（x-4）=x2+（a-4）x-4a，由二次函數知識可知圖像為拋物線，對稱軸為x=-■，要使二次函數為偶函數，則對稱軸應為y軸，即x=-■=0，這時得a-4=0，得到a=4.

代數法：因為函數f（x）=（x+a）（x-4）為偶函數，所以滿足f（-x）=f（x），由f（x）=（x+a）（x-4）=x2+（a-4）x-4a，f（-x）=x2-（a-4）x-4a，得x2-（a-4）x-4a=x2+（a-4）x-4a，即a-4=0，得到a=4.

小結：對比可知圖像法比代數法運算量少，節省時間，減少出錯機會.

在高考中，考查函數的奇偶性還會與單調性或周期等知識綜合出現，還有一種情況是函數的局部奇偶性，這時應選用圖像法還是代數法？請看以下高考題：

【2012年高考浙江文16】設函數f（x）是定義在R上的周期為2的偶函數，當x∈[0，1]時，f（x）=x＋1，則

f（■）=______.

【解析】本題是對函數的奇偶性和周期性等知識的綜合考查，有一定的難度，用代數法：f（■）=f（■-2）=

f（-■）=f（■）=■+1=■.

另：本題也可用圖像法，第一步：先畫出當x∈[0，1]時，f（x）=x＋1的圖像，即圖1；第二步：由條件f（x）是偶函數可得它的圖像關于y軸對稱，因此由圖1畫出關于y軸對稱的圖像，即圖2；第三步：由條件f（x）是定義在R上的周期為2，可由圖2得到圖3，這時觀察圖像可求得當x∈[1，2]時f（x）的函數表達式，f（x）=-x＋3 ，最后得到f（■）=-■+3=■.

小結：對比可知在本題中代數法和圖像法各有特點.

變式訓練3：【2012年高考重慶理7】已知f（x）是定義在R上的偶函數，且以2為周期，則“f（x）為[0，1]為上的增函數”是“f（x）為[3，4]上的減函數”的（ ）

A． 既不充分也不必要的條件

B． 充分而不必要的條件

C． 必要而不充分的條件

D． 充要條件

【解析】本題屬于抽象函數問題，通過圖像法去推理可以起到化抽象為具體的作用，過程如下：先考慮充分性，若f（x）為[0，1]上的增函數，草圖可如圖4，由條件f（x）是定義在R上的偶函數可知f（x）的圖像關于y軸對稱，如圖5，所以f（x）在[-1，0]上為減函數；再由條件

f（x）以2為周期可知，f（x）在[-1，0]，[-1+2，0+2]= [1，1]，[1+2，2+2] =[3，4]這三個區間上的圖像是相同的，如圖6，因此具有相同的單調性，都為減函數.因此充分性成立.必要性的原理同上，具體過程留給同學們完成.

而本題若用代數法的話則要繁瑣很多，不建議使用.

【答案】D.

【2012年高考上海文9】已知y=f（x）是奇函數，若g（x）=f（x）+2且g（1）=1，則g（-1）= .

【解析】本題也屬于抽象函數問題，由于沒有涉及周期，因此較難用圖像來表達函數的特點.而從代數法的角度考慮，g（x）為非奇非偶函數，但是f（x）是g（x）表達式的一部分，是奇函數，也就是說g（x）具有局部奇函數的性質，利用f（-x）=-f（x）便可解決問題.具體過程如下：由g（1）=f（1）+2=1，得f（1）=-1，所以g（-x）=f（-1）+2=-f（1）+2=3.

【答案】3.

變式訓練4：【2012年高考上海理9】已知y=f（x）+x2是奇函數，且f（1）=1，若g（x）=f（x）+2，則g（-1）= .

【解析】本題與上題一樣，難用圖像法去解決.從代數法去考慮g（-1）=f（-1）+2，設h（x）=f（x）+x2，因為h（x）為奇函數，所以有h（-x） =-h（x），即f（-x）+（-x）2=-f（x）-x2，整理得f（-x）=-f（x）-2x2，因此有f（-1）=-f（1）-2=-1-2=-3，最后得g（-1）=f（-1）+2=-3+2=-1.

【答案】-1.

總結：

1． 對于函數奇偶性的問題，若是常見函數的話，一般情況下用圖像法會比較直觀快速地解決.

2． 對于函數奇偶性與周期性的綜合問題，一般來講圖像法與代數法各有特點或圖像法優于代數法.

3． 對于局部奇偶性的問題，往往是用不了圖像法的，只能用代數法.

希望同學們在平時解題要善于總結這兩種方法的優劣，最后做到取長補短，又快又準地解決問題.

（作者單位：佛山市順德區樂從中學）

責任編校 徐國堅