函數(shù)零點(diǎn)(方程根)問(wèn)題“串串燒”

函數(shù)與方程，是新課標(biāo)新增內(nèi)容，也是歷年高考的高頻考點(diǎn)，在高考中通常以選擇題、填空題的形式考查.而函數(shù)零點(diǎn)(方程根)問(wèn)題，已成為新課標(biāo)高考的必考題型，從2012年的高考真題中可見(jiàn)一斑.

【例題】（2012年高考湖北文）函數(shù)f（x）=xcos2x在區(qū)間[0，2π]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（ ）

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

【答案】 D.

【解析】由f（x）=xcos2x=0，得x=0或cos2x=0.其中，由cos2x=0，得2x=kπ+■(k∈Z)，故x=■+■(k∈Z).又因?yàn)閤∈[0，2π]，所以x=■，■，■，■，所以零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1+4=5個(gè)，故選D.

【說(shuō)明】函數(shù)f（x）=xcos2x=0在區(qū)間[0，2π]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)就是確定方程xcos2x=0在區(qū)間[0，2π]上根的個(gè)數(shù)，當(dāng)這個(gè)方程容易求根時(shí)，可以通過(guò)直接求根來(lái)確定原函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

【變式1】(2102年高考北京文)函數(shù)f（x）=x■■-（■）■的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（ ）

A． 0 B. 1 C. 2 D. 3

【答案】B.

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=x■-（■）■在定義域[0，+∞）上是增函數(shù)，且f（0）=-1＜0，f（1）=1-■=-■＜0，所以由函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理知f（x）=x■■-（■）■存在唯一的零點(diǎn)x0，且x0∈（0，1），故選B.

【說(shuō)明】所謂函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理：如果函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f（a）·f（b）＜0，那么函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)有零點(diǎn)，即存在c∈（a，b），使得f（c）=0，這個(gè)c也就是f（x）=0方程的根.當(dāng)滿足條件f（a）·f（b）＜0時(shí)，為了保證y=f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)只有一個(gè)零點(diǎn)，我們必須說(shuō)明y=f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)單調(diào).

【變式2】(2012年高考湖南)設(shè)定義在R上的函數(shù)f（x）是最小正周期為2π的偶函數(shù)，f ′（x）是f （x）的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)x∈[0，π]時(shí)，0＜f（x）＜1；當(dāng)x∈（0，π） 且x≠■時(shí) ，（x-■）f ′（x）＞0，則函數(shù)y=f（x）-sinx在[-2π，2π] 上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（ ）

A. 2 B. 4 C. 5 D. 8

【答案】Ｂ.

【解析】由當(dāng)x∈（0，π） 且x≠■時(shí) ，（x-■）f ′（x）＞0，知x∈[0，■)時(shí)，f ′（x）<0，f（x）為減函數(shù)：x∈（■，π]時(shí)，f ′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)，又x∈（0，π]時(shí)，0＜f（x）＜1，在R上的函數(shù)f（x）是最小正周期為2π的偶函數(shù)，在同一坐標(biāo)系中作出y=sinx和y=f（x）的圖像如下，由圖知y=f（x）-sinx在[-2π，2π] 上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為4個(gè).

【說(shuō)明】當(dāng)所給函數(shù)不單調(diào)且對(duì)應(yīng)方程無(wú)法直接解出時(shí)，往往可利用函數(shù)性質(zhì)畫(huà)出函數(shù)圖像，進(jìn)而從圖像中直接“讀出”答案.本題考查函數(shù)的周期性、奇偶性、圖像及兩個(gè)圖像的交點(diǎn)問(wèn)題.

【變式3】（2012年高考福建理）對(duì)于實(shí)數(shù)a和b，定義運(yùn)算“*”：a*b=a2-ab，a≤bb2-ab，a＞b設(shè)f（x）=（2x-1）*（x-1），且關(guān)于x的方程為f（x）=m（m∈R）恰有三個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)根x1，x2，x3，則x1x2x3的取值范圍是________.

【答案】（■，0）．

【解析】由新定義得f（x）=（2x-1）2-（2x-1）（x-1），（x-1）2-（2x-1）（x-1），■=2x2-x，x≤0-x2+x，x＞0所以可以畫(huà)出草圖，若方程f（x）=m有三個(gè)根，則0＜m＜■，且當(dāng)x＞0時(shí)方程可化為-x2+x-m=0，易知x2x3=m，當(dāng)x≤0時(shí)方程可化為2x2-x-m=0，可解得x1=■，所以x1x2x3=m·■，又易知當(dāng)m=■時(shí)m·■有最小值，所以■×■＜m·■＜0，即■＜x1x2x3＜0.

【說(shuō)明】本題將方程的根的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)兩數(shù)圖像的交點(diǎn)問(wèn)題，求解這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，并作函數(shù)圖像.本題屬于新概念型題目，考查了根據(jù)條件確定分段函數(shù)解析式的能力，以及數(shù)形結(jié)合的思想和基本推理與計(jì)算能力，難度較大．

【變式4】（2012年高考天津文）已知函數(shù)y=■的圖像與函數(shù)y=kx的圖像恰有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是 .

【答案】0＜k＜1或0＜k＜2.

【解析】 函數(shù)y=■=■，當(dāng)x＞1時(shí)，y=■=x+1=x+1，當(dāng)x＜1時(shí)，y=■=-x+1=-x-1，-1≤x＜1x+1，x＜-1綜上函數(shù)y=■x+1，x≥1-x-1，-1≤x＜1x+1，x＜-1作出函數(shù)的圖像，要使函數(shù)y與y=kx有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則直線y=kx必須在深色或淺色區(qū)域（陰影部分）內(nèi)（如圖），B（1，2），D（-1，0），則此時(shí)當(dāng)直線經(jīng)過(guò)右上陰影部分（淺色）區(qū)域時(shí)，k滿足1＜k＜2，當(dāng)經(jīng)過(guò)左下陰影部分（深色）區(qū)域時(shí)，k滿足0＜k＜1，綜上實(shí)數(shù)k的取值范圍是0＜k＜1或1＜k＜2.

【說(shuō)明】本題與變式3相似，兩個(gè)函數(shù)一定一動(dòng)，故只需將“定函數(shù)”圖像做出后，再將另一個(gè)含參數(shù)的“動(dòng)函數(shù)”的圖像旋轉(zhuǎn)，便可找到所求參數(shù)的取值范圍.解決由函數(shù)零點(diǎn)(方程根)的存在情況求參數(shù)的值或取值范圍問(wèn)題，關(guān)鍵是利用函數(shù)方程思想或數(shù)形結(jié)合思想，構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的方程或不等式求解．

從以上分析可以看出，判斷函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上是否存在零點(diǎn)，要根據(jù)具體問(wèn)題靈活處理，當(dāng)能直接求出零點(diǎn)時(shí)，就直接求出進(jìn)行判斷；當(dāng)不能直接求出時(shí)，可根據(jù)零點(diǎn)存在性定理進(jìn)行判斷；當(dāng)用零點(diǎn)存在性定理也無(wú)法判斷時(shí)可畫(huà)出圖像判斷．

類(lèi)題練習(xí):

1.“a＜-2”是“函數(shù)f（x）=ax+3在區(qū)間[-1，2]上存在零點(diǎn)”的（ ）

A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件

C. 充分必要條件 D. 既不充分也不必要條件

答案：A；解析：f（x）=ax+3在區(qū)間[-1，2]上存在零點(diǎn)，則f（-1）f（-2）＜0，即（3-a）（2a+3）＜0，∴a＞3或a＜-■，∴“a＜-2”是“a＞3或a＜-■”的充分不必要條件，∴“a＜-2”是“函數(shù)f（x）=ax+3在區(qū)間[1，2]上存在零點(diǎn)”的充分不必要條件.

2. 函數(shù)f（x）=x+2-2x在定義域內(nèi)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（ ）

Ａ. 0 Ｂ. 1 Ｃ. 2 Ｄ. 3

答案：D；解析：在同一坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)y=x+2與y=2x 的圖像，可以看到2個(gè)函數(shù)的圖像在第二象限有2個(gè)交點(diǎn)，在第一象限有1個(gè)交點(diǎn)，所以函數(shù)f（x）=x+2-2x在定義域內(nèi)有3個(gè)零點(diǎn).

3. 已知函數(shù)f（x）=ex，x≥0-2x，x＜0則關(guān)于x的方程f [ f（x）]+k=0，給出下列四個(gè)命題：

①存在實(shí)數(shù)k，使得方程恰有1個(gè)不同實(shí)根；②存在實(shí)數(shù)k，使得方程恰有2個(gè)不同實(shí)根；③存在實(shí)數(shù)k，使得方程恰有3個(gè)不同實(shí)根；④存在實(shí)數(shù)k，使得方程恰有4個(gè)不同實(shí)根；其中假命題的個(gè)數(shù)是（ ）

A． 0 B． 1

C． 2 D． 3

答案：C． 解析： 當(dāng)x≥0， f（f（x））=f（ex）=■，當(dāng)x＜0，f（f（x））=f(-2x)=e-2x，當(dāng)x≥0，y=■是增函數(shù)，x＜0，y=e-2x是減函數(shù)，由f [ f（x）]+k=0得f ( f（x）)=-k方程f ( f（x）)=-k解的個(gè)數(shù)即y=-k與y=f ( f（x）)的圖像交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，由圖像得當(dāng)1≤-k≤e，有1個(gè)解；當(dāng)-k≥e時(shí)有2解.

4. 設(shè)函數(shù)f(x)（x∈R）滿足f(-x)=f(x)，f(x)=f(2-x)，且當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f (x)=x3. 又函數(shù)g(x)=xcos（πx），則函數(shù)h(x)=g(x)-f(x)在[-■，■]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為( )

A.5 B. 6 C. 7 D. 8

答案: B；解析：因?yàn)楫?dāng)x∈[0，1]時(shí)，f(x)=x3. 所以x∈[1，2]時(shí)，（2-x）∈[0，1]，f(x)=f(2-x)=(2-x)3，當(dāng)x∈[0，■]時(shí)，g(x)= xcos（πx）;當(dāng)x∈[■，■]時(shí)，g(x)= -xcos（πx），注意到函數(shù)f(x)、 g(x)都是偶函數(shù)，且f(0)= g(0)， f(1)= g(1)，g（■）=g（■）=0，作出函數(shù)f(x)、g(x)的大致圖像，函數(shù)h(x)除了0、1這兩個(gè)零點(diǎn)之外，分別在區(qū)間[-■，0]、[0，■]、[■，1]、[1，■]上各有一個(gè)零點(diǎn)，共有6個(gè)零點(diǎn)，故選B.

5.已知函數(shù)f(x)＝■，x≥2（x-1）3，x＜2若關(guān)于x的方程f(x)＝k有兩個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________．

答案：(0，1).解析：f(x)=■（x≥2）單調(diào)遞減且值域?yàn)?/p>

(0，1]，f(x)=（x-1）3（x＜2）單調(diào)遞增且值域?yàn)椋?∞，1），函數(shù)f(x)的圖像如圖所示，故f(x)=k有兩個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（0，1）．

（作者單位：江蘇省太倉(cāng)高級(jí)中學(xué)）

責(zé)任編校 徐國(guó)堅(jiān)