構造函數證明不等式的常見思考途徑

證明不等式是近年高考命題的熱點，構造函數法是解決這類問題的重要方法．解題關鍵在于能夠敏銳地觀察不等式的結構特征，聯想并構造合適的函數．由于不等式和函數并不直接相關聯，因此，究竟應該如何尋找解題突破口，如何構造合理可行的函數，也就成為解決問題的關鍵和難點．下面就構造函數法證明不等式的常見思考途徑作一些探討，以供參考．

一、直接作差，構造函數

如果要證明對于?坌x∈D都有f（x）≥g（x）的不等式，可以直接作差構造新函數h（x）≥f（x）－g（x），x∈D．那么，問題就轉化為證明h（x）在D內的最小值大于或等于0．

例1．（2012年高考遼寧理科12）若x∈[0，+∞），則下列不等式恒成立的是（ ）

A． ex≤1+ x+x2 B． ■＜1－■x+■x2

C． cosx≥1－■x2 D． 1n（1+x）≥x－■x2

解析：設f（x）＝cosx－（1－■x2）＝cosx－1+■x2，則g（x）＝f ′（x）＝－sinx+x，所以g ′（x）=-cosx+1≥0，所以當x∈[0，+∞）時，g（x）是增函數，f ′（x）=g（x）≥g（0）＝0，同理f（x）≥f（0）＝0，即cosx－（1－■x2）≥0，因此，cosx≥1－■x2，故選C．

評注：本題采用直接作差構造函數，通過利用導數分析所構造函數的單調性與最值來證明不等式，需要說明的是，為了證明f（x）是增函數，構造函數g（x）＝f ′（x）=－sinx+x，運用導數工具證明函數g（x）≥0來證明f（x）是增函數．

二、合理轉化，構造函數

有些不等式的證明問題，針對待證不等式直接構造函數非常困難，可以對待證不等式合理變形轉化，由待證不等式出發不斷尋找使得結論成立的充分條件，直到找到容易證明的不等式為止，再根據最后找到的不等式構造函數．

例2．（2012年高考湖北文科22）設函數f（x）＝axn（1－x）+b（x＞0），n為正整數，a，b為常數，曲線y＝f（x）在（1，

f(1)）處的切線方程為x+y=1．（1）求a，b的值；（2）求函數f（x）的最大值；（3）證明：f（x）＜■．

分析：由（Ⅱ）可知f（x）的最大值為f（■）=■，因此，要證明f（x）＜■，只需證明■＜■，即證（■）n+1＞e，即證ln（■）＞■，即證ln（1+■）＞■，令t=1+■，則ln（1+■）＞■可化為1nt＞■，從而只需要證明1nt＞■（t＞1）．

解析：（1）a=1，b=0；（2）f（■）＝■（3）構造函數g（t）＝1nt－1+■，t≥1．g′（t）＝■－■，t≥1．當t＞1時，g′（t）＞0，g （t）在[1，+∞）上遞增．因此，當t≥1時，g（t）＞g（1）＝0，即1nt＞■（t＞1）．令t=1+■，則ln（1+■）＞■＝■，即ln（■）n+1＞1ne，所以（■）n+1＞e，即■＜■，所以f（x）＜■．

評注：本題直接證明是非常困難，將待證不等式轉化不斷逆推尋找，最終將問題轉化為證明ln（1+■）＞■，然后通過構造函數g（t）＝1nt－1+■（t＞1）解決問題．

三、適當放縮，構造函數

如果直接構造函數證明不等式比較困難，可以對待證不等式進行適當的放縮，再去構造合適的函數，通過分析函數的性質來解決問題，從而解決比較復雜的問題．當然，放縮要適度，恰到好處．

例3．（2012年高考浙江文科21）已知a∈R，函數f（x）＝4x3-2ax+a．（1）求f（x）的單調區間；（2）證明：當0≤x≤1時，f（x）+2－a＞0．

解析：（1）略；（2）由于0≤x≤1，當a≤2時，f（x）+a－2＝4x3－2ax+2≥4x3－4x+2．當a＞2時，f（x）+a－2＝4x3+2a（1－x）－2≥4x3+4（1－x）－2＝4x3－4x+2．設g（x）＝2x3－2x+1，0≤x≤1，則g′（x）＝6（x－■）（x+■），則有：

所以g（x）min=g（■）=1-■＞0．當0≤x≤1時，2x3－2x+1＞0．故f（x）+a－2≥4x3-4x+2＞0．

評注：本題去掉絕對值符號并進行放縮之后構造函數．首先通過放縮，把含有兩個變量的不等式f（x）+2－a＞0轉化為證明只含一個變量的不等式4x3-4x+2＞0．然后利用導數分析所構造函數的單調性與最值來證明不等式．

四、觀察結構，構造函數

對于有些多變量的不等式，可以從觀察對待證不等式的結構特點入手，對其進行適當變形，并分析變量的結構特點，構造適當的函數，將多變量問題轉化為單變量的函數問題．

例4． （2012年山東省聊城市高三統考題）函數f（x）=x2+b1n（x+1）－2x，b∈R（1）當b＝■時，求函數f（x）的極值；（2）設g（x）＝f（x）+2x，若b≥2，求證：對任意兩個不相等實數x1，x2∈（－1，+∞），都有■≥2.

解析：（1）略；（2）因為f（x）＝x2+b1n（x+1）－2x，所以f ′（x）＝■（x＞－1），因為b≥2，所以f ′（x）≥0（當且僅當b＝2，x＝0時等號成立），所以f（x）在區間（－1，+∞）上是增函數．不妨設x1＞x2，則對任意x1，x2∈（－1，+∞），當x1＞x2時，f（x1）＞f（x2），即g（x1）-2x1＞g（x2）-2x2，所以g（x1）-g（x2）＞2（x1-x2），因此，■≥2.

評注：本題解題關鍵在于將待證不等式適當變形為g（x1）-2x1＞g（x2）-2x2之后，觀察結構發現，構造函數f（x）=g（x）-2x，問題轉化為證明函數f（x）是減函數即可．

五、消元換元，構造函數

有些不等式含有多個變量，可以對多變量的不等式進行轉化變形，通過換元轉化成只含一個變量的不等式，然后構造只含一個變量的函數，通過分析函數的單調性極值或最值來解決問題．

例5． （2012年浙江省名校新高考研究聯盟聯考）已知函數f（x）＝alnx-（x－1）2-ax（常數a∈R）.（1）求f（x）的單調區間；（2）設a＞0，如果對于f（x）的圖像上兩點P1（x1，f（x1）），P2（x2，f（x2））（x1＜x2），存在x0∈（x1，x2）使得f（x）的圖像在x＝x0處的切線m∥P1P2，求證：x0＜■．

解析：（1）略；（2）易知f ′（x0）＝kP■P■=■=■-（x2+x1－2）－a，又f ′（■）＝■－（x1+x2－2）－a．∵f ′（x）＝■－2（x－1）－a（a＞0）在（0，+∞）上為減函數．要證x0＜■，只要證f′（x0）＞f ′（■），即■＞■， 即證ln■＞■ ……①

令t＝■＞1，g（t）=lnt-■，則g′（t）=■－■＝■＞0，g（t）在（1，+∞）為增函數，因此g（t）＞g（1）=0，也就是lnt＞■，即■＞■，即ln■＞■，∴x0＜■得證．

評注：本題利用f ′（x）在（0，+∞）上為減函數，將待證不等式轉化為證明含有兩個變量不等式①，通過用t=x2/x1換元，可以構造函數g（t），分析出函數g（t）是單調增函數，進而求函數的最小值來證明不等式．

六、確定主元，構造函數

有些多變量的不等式可以在多個變量中選擇某個變量為主元，將其他變量視為參數，將問題轉化為以主元變量為自變量的函數，通過分析函數的單調性極值或最值來解決問題．

例5中的待證不等式ln■＞■，（x1＜x2），也可確定主元構造函數．構造函數h（t）＝ln■－■，t＞x1＞0，則h′（t）＝■＞0即h（t）在（x1，+∞）是增函數，因此，h（t）＝ln■－■＞h（x1）＝0，即ln■＞■（x1＜x2）．

評注：本題要證明的不等式①含有兩個變量，將變量x2作為自變量，而將x1作為參數，構造函數h（t），通過分析出函數h（t）是單調減函數，并求函數的最小值來證明不等式．

【鏈接練習】

1． 已知函數f（x）＝ln（1+x）－■，（1）求函數f（x）的最小值；（2）求證：對任意的正數a、b，恒有lna-lnb≥1-■．

2． 設f（x）＝lnx+■-1，證明：(1)當x＞1時，f（x）＜1.5（x-1）；(2)當時1＜x＜3時，f（x）＜■．

【溫馨提示】

1．（1）最小值是0；（2）對f（x）＝ln（1+x）－■≥0，令1+x=■，可得ln■≥1-■．

2． 構造函數g（x）=f（x）-1.5（x-1），x＞1和h（x）=f（x）-■，1＜x＜3分別求最值即可證明不等式．

（作者單位：謝偉，湖北省襄陽市第五中學；王丹，湖北省襄陽市第四中學）

責任編校 徐國堅