“兩邊夾”在解題中的應用

所謂“兩邊夾”就是若“m≤f（x）≤m，則f（x）=m”型問題，它實現了由不等到等的轉化.若能靈活運用此理論解題，有時將會達到“柳暗花明又一村”的奇效.下面我們通過幾個例題來說明其應用價值.

一、求函數解析式

如果函數f（x）分別滿足x∈[a，b]，f（x）≥g（x）且x∈[c，d]，f（x）≤?漬（x），當x0∈[a，b]且x0∈[c，d]時，有g（x0）=?漬（x0），則f（x）=g（x0）=?漬（x0）.

例1． 設二次函數f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R，a≠0）滿足條件：

⑴ 當x∈R時，f（x－4）＝f（2－x），且f（x）≥x；

⑵ 當x∈（0，2）時，f（x）≤（■）2；

⑶f（x）在R上的最小值為0．

求f（x）的解析式．

解析：由f（x－4）＝f（2－x），知f（x）關于x＝－1對稱．

于是－■=-1，∴b＝2a．此時，f（x）有最小值0，

∴a-b+c=0，∴c=a，∴f（x）=ax2+2ax+a，

由⑴f（1）≥1 ；

由⑵f（1）≤1，∴f（1）=1，又f（1）=4a，∴4a=1，即a=■，

∴a=c=■，b=■，

所以f（x）=■（x+1）2．

【評析】由題意，當x∈R時，f（x）≥x；當x∈（0，2）時，

f（x）≤（■）2，因此在兩個式子中令x＝1，得f（x）≥1和f（x）≤1，即f（x）＝1是解決本題的關鍵.

二、求函數值

求函數時，我們常用迭代思想，通過條件得出f（n）≥a和f（n）≤a，從而求得f（n）＝a.

例2． 已知f（x）是定義在R上的函數，f（1）=1且對任意x∈R都有f（x+5）≥f（x）+5，f（x+1）≤f（x）+1，則f（2011） = .

解析：因為f（x+5）≥f（x）+5，

∴f（2011）≥f（2006）+5≥f（2001）+5+5≥…≥f（1）+2010＝2011……①

又f（x+1）≤f（x）+1，

∴f（2011）≤f（2010）+1≤f（2009）+1+1≤…≤f（1）+2010＝2011……②

由①②知f（2011）＝2011．

【評析】本題由遞推關系利用迭代思想，進而求出函數值.

三、求參數的值

要使滿足條件“a≤m≤b”的m值有且僅有一個，即a=b.

例3． 設函數f（x）=x（x－1）2（x＞0），函數g（x）＝lnx-2x2+4x+t（t為常數），若使g（x）≤x+m≤f（x）在（0，+∞）上恒成立的實數m有且只有一個，求實數m和t的值．

解析：由g（x）≤x+m≤f（x），得g（x）-x≤m≤f（x）-x，記h1（x）=g（x）-x=3x+lnx-2x2+t，∴■（x）=-■，得x∈（0，1）時，■（x）＞0，x∈（1，+∞）時，■（x）＜0，故x=1時，函數h1（x）取到最大值.從而m≥t+1；同樣地，記h2（x）=f（x）-x=x3-2x2，由■（x）=3x（x-■）得x∈（0，■）時，■＜0，x∈（■，+∞）時，■＞0，故x＝■時，函數h2（x）取到最小值.從而m≤－■，∴t+1≤m≤－■，由m的唯一性知t＝－■，m＝－■.

【評析】本題就轉化為m≥g（x）－x，m≤f（x）－x在（0，+∞）上恒成立，進而去求y＝g（x）－x在（0，+∞）上的最大值與y＝

f（x）－x在（0，+∞）上的最小值.

四、比較大小

如果要比較m和n的大小關系，我們可以分別注明m≥n和m≤n.

例4． 已知集合A={a1，a2，…，ak}（k≥2）其中ai∈Z（i＝1，2，…，k），由A中的元素構成兩個相應的集合：S={（a，b）｜a∈A，b∈A，a+b∈A}，T={（a，b）｜a∈A，b∈A，a-b∈A}其中（a，b）是有序數對，集合S和T中的元素個數分別為m和n．若對于任意的a∈A，總有-a?埸A，則稱集合A具有性質P．

（I）對任何具有性質P的集合A，證明：n≤■；

（II）判斷m和n的大小關系，并證明你的結論．

解析：（I）證明：首先，由A中元素構成的有序數對（ai，aj）共有k2個．因為0?埸A，所以（ai，aj）?埸T（i=1，2，…，k）.

又因為當a∈A時，-a?埸A時，-a?埸A，所以當（ai，aj）∈T時，（aj，ai）?埸T（i，j=1，2，…，k）．

從而，集合T中元素的個數最多為■（k2－k）＝■，即n≤■．

（II）解：m＝n，證明如下：

（1）對于（a，b）∈S，根據定義a∈A，b∈A，且a+b∈A，從而（a+b，b）∈T．如果（a，b）與（c，d）是S的不同元素，那么a=c與b=d中至少有一個不成立，從而a+b=c+d與b=d中也至少有一個不成立．故（a+b，b）與（c+d，d）也是T的不同元素．可見，S中元素的個數不多于T中元素的個數，即m≤n，

（2）對于（a，b）∈T，根據定義a∈A，b∈A，且a-b∈A，從而（a-b，b）∈S．如果（a，b）與（c，d）是T的不同元素，那么a=c與b=d中至少有一個不成立，從而a-b=c-d與b=d中也至少有一個不成立，故（a-b，b）與（c-d，d）也是S的不同元素．

可見，T中元素的個數不多于S中元素的個數，即n≤m，

由（1）（2），可知m=n．

【評析】本題中的第二問直接求出m、n的值比較困

難，運用集合相等與“兩邊夾”思想，使問題得到解決.

練習：

⑴已知函數f（x）=x2+bx+c，x≤1，是否存在實數b，c，使f（x）得最大值是■？若存在，求出b，c的值，若不存在，說明理由.

答案：c＝－■，b＝0.

⑵函數f（x）=ax3－3x+1對于x∈[－1，1]總有f（x）≥0 成立，則a= ．

答案：a=4.

（作者單位：江蘇省通州高級中學）

責任編校 徐國堅