函數與導數

作為高中數學主干知識的函數與導數的內容，在今年的高考中仍將占有重要位置，將是全方位、多層次（估計會有以對基本初等函數的概念性質和對導數及其應用的基本內容為主的選擇和填空題）、巧綜合、變角度（一個以函數為載體導數為工具綜合考查數學知識和數學思想的綜合解答題）的考查方式，對理科來說定積分及其應用也是一個值得關注的地方.

1. 函數及其表示、初等函數的基本性質，包括定義域、值域（最值）、圖象、單調性、奇偶性、周期性等.

例1 函數[f(x)=1xln(x2-3x+2+-x2-3x+4)]的定義域為（ ）

A. [(-∞，-4]#8899;[2，+∞)] B. [(-4，0)#8899;(0，1)]

C. [[-4，0)#8899;(0，1]] D. [[-4，0)#8899;(0，1)]

解析 函數的定義域必須滿足條件

[x≠0，x2-3x+2≥0，-x2-3x+4≥0，x2-3x+2+-x2-3x+4>0，#8658;x∈[-4，0)#8899;(0，1).]

故答案為D.

點撥 本題要把四個約束條件列出，在最后解不等式的時候要求思維縝密，否則會出現漏掉4這個根的情況.

例2 設函數[f(x)=x-1x]．對任意[x∈1，+∞]，[f(mx)+mf(x)<0]恒成立，則實數[m]的取值范圍是 .

解析 顯然[m≠0]，由于函數[f(x)=x-1x]對[x∈1，+∞]是增函數，

則當[m>0]時，[f(mx)+mf(x)<0]不恒成立，因此[m<0]．

當[m<0]時，函數[h(x)=f(mx)+mf(x)]在[x∈1，+∞]是減函數，

因此當[x=1]時，[h(x)]取得最大值[h(1)=m-1m]，

于是[h(x)=f(mx)+mf(x)<0]恒成立等價于[h(x)(x∈1，+∞)]的最大值小于[0]，

即[h(1)=m-1m<0]，解[m-1m<0m<0]得[m<-1]．

于是實數[m]的取值范圍是[(-∞，-1)]．

點評 值域或最值問題的考查多以恒成立的形式出現，難度較高．把恒成立問題轉化為最值問題是解決這類問題的核心思想，也是高中數學的重要轉化思想之一，同學們在二輪復習中還需多加練習．

例3 定義在[R]上的函數[y=f(x)]是減函數，且函數[y=f(x-1)]的圖象關于（1，0）成中心對稱，若[s、t]滿足不等式[f(s2-2s)≤-f(2t-t2)]，則當[1≤s≤4]時，[ts]的取值范圍是（ ）[來源:Zxxk. Com]

A. [-14，1] B. [-14，1]

C. [-12，1] D. [-12，1]

解析 因為[y=f(x)]的圖象可由函數[y=f(x-1)]的圖象向左平移一個單位得到，又因函數[y=f(x-1)]的圖象關于（1，0）成中心對稱，所以[y=f(x)]的圖象關于（0，0）成中心對稱，即[y=f(x)]是奇函數.

[∵][y=f(x)]是減函數，[y=f(x)]是奇函數，

[∴][f(s2-2s)≤-f(2t-t2)][#8658;][s2-2s≥t2-2t].

令[g(x)=x2-2x]，則[g(s)≥g(t)]，又[1≤s≤4，]

結合[g(x)=x2-2x]的圖象可知[2-s≤t≤s].

原問題轉化為[1≤s≤4，2-s≤t≤s，]求[ts]的取值范圍. 由線性規劃知識可知，答案為D.

點撥 由條件“函數[y=f(x-1)]的圖象關于（1，0）成中心對稱”推出[y=f(x)]是奇函數是一個難點. 同學們在二輪復習中要多揣摩平移在其中的應用. 另外，利用二次函數的圖象得到[s、t]的關系，轉化為線性規劃問題體現了數形結合思想在解函數題中的重要性.

例4 若實數[a、b、c]滿足[2a+2b=2a+b，][2a+2b+][2c=2a+b+c，]則[c]的最大值是 .

解析 令[x=2a]，[y=2b]，則[x+y=xy]，由均值不等式[xy=x+y≥2xy]知，[xy≥4]（當且僅當[x=y]時等號成立）.

由[2a+2b+2c=2a+b+c，]

得[2c=2a+2b2a+b-1=x+yxy-1=xyxy-1=1+1xy-1]，

又有[xy≥4]，所以[1<2c≤43]，

即可得[c]的最大值為[2-log23.]

點撥 解題的關鍵是對指數式[2a]和[2b]進行換元和用已知變量表示未知變量. 而不能自覺地利用換元和利用函數求最值的思想，不能使用均值不等式等，是本題出錯的主要原因.

2. 函數模型及其應用、函數的零點定理

例5 函數[f(x)=sinx-lgx]的零點的個數是 .

解析 問題轉化為[y=sinx]和[y=lgx]圖象的交點個數.

點撥 若展開直接求解，問題將復雜化. 化零點個數為圖象交點個數，轉化為我們熟悉的函數圖象進行解答. 當然，有關零點的存在性問題及個數問題的研究方案很多，如單調性法、換元法等.

例6 如圖，矩形[ABCD]內接于由函數[y=x、][y=1-x、y=0]圖象圍成的封閉圖形，其中頂點[C、D]在[y=0]上，求矩形[ABCD]面積的最大值.

解 設[A]點坐標為[(x，x)]，[x∈(0，3-52)]，則[B(1-x，x)]，由圖可得[1-x>x].

記矩形[ABCD]的面積為[S]，易得

[S=AB#8901;AD=(1-x-x)x=-(x)3-(x)2+x.]

令[t=x，t∈(0，5-12)]，得[S=-t3-t2+t.]

所以[S′=-3t2-2t+1=-(3t-1)(t+1)]，

令[S′=0]，得[t=13或t=-1].

因為[t∈(0，5-12)]，所以[t=13].

[S′、S]隨[t]的變化情況如下表：

由上表可知，當[t=13]，即[x=19]時， [S]取得最大值為[527]，所以矩形[ABCD]面積的最大值為[527].

點撥 正確建立函數模型并應用模型解決最優化問題是高考中不可忽視的重點. 本題主要是幫助大家經歷根據問題的條件和要求建立函數的解析式及確定定義域再研究函數的變化狀態的思維過程.

3. 導數的幾何意義與導數對函數性質的刻畫，以及以此為主要手段的不等式的證明、參數范圍的討論、實際應用等問題

例7 在平面直角坐標系[xOy]中，已知點[P]是函數[f(x)=ex(x>0)]的圖象上的動點，該圖象在[P]處的切線[l]交[y]軸于點[M]，過點[P]作[l]的垂線交[y]軸于點[N]，設線段[MN]的中點的縱坐標為[t]，則[t]的最大值是 .

解析 設[P(x0，ex0)，]則[l:y-ex0=ex0(x-x0)，]

[∴M(0，(1-x0)ex0).]

過點[P]作[l]的垂線[y-ex0=-e-x0(x-x0)，]

[∴N(0，ex0+x0e-x0).]

[∴t=12[(1-x0)ex0+ex0+x0e-x0]=ex0+12x0(e-x0-ex0)，]

[t=12(ex0+e-x0)(1-x0)，]

所以[t]在[(0，1)]上單調遞增、在[(1，+∞)]單調遞減，

[∴x0=1時，tmax=12(e+1e).]

點撥 導數的考點之一是導數的幾何意義——切線的斜率，相應的，過圖象上點[(x0，y0)]切線公式[y-y0=f(x0)(x-x0)]要能熟練應用. 現在高考題對導數考查的難度越來越大，一題出現多處求導很常見，要求大家真正做到把導數作為解決切線問題、單調性極值問題、最值問題的常用方法.

例8 函數[f(x)=axm#8901;(1-x)n]在區間〔0，1〕上的圖象如圖所示，則[m、n]的值可能是（ ）

A. [m=1，n=1] B. [m=1，n=2]

C. [m=2，n=1] D. [m=3，n=1]

解析 代入驗證.

當[m=1，n=2]，[f(x)=ax(1-x)2=a(x3-2x2+x)]，

則[f(x)=a(3x2-4x+1)]，由[f(x)=a(3x2-4x+1)][=0]可知[x1=13， x2=1]，結合圖象可知，函數應在[(0，13)]上遞增，在[(13，1)]上遞減，即在[x=13]取得最大值，由[f(13)=a×13#8901;(1-13)2=12]，知[a]存在. 故選B.

點撥 極值與單調性是導數的第二個應用，本題考查導數在研究函數單調性中的應用，考查函數圖象. 當然，題干中的“可能是”意味著代入檢驗是此題作為選擇題的解題方案，極值的位置是檢驗的標準. 明確每個題目的考點，做到“小題小做”，是同學們在二輪復習中要不斷加強的考試技巧.

例9 已知函數[f(x)=lnx-12ax2-2x(a<0).]

（Ⅰ）若函數[f(x)]在定義域內單調遞增，求[a]的取值范圍；

（Ⅱ）若[a=-12]且關于[x]的方程[f(x)-12x+b]在[[1，4]]上恰有兩個不相等的實數根，求實數[b]的取值范圍；

（Ⅲ）設各項為正的數列[{an}]滿足：[a1=1，an+1=lnan+an+2，n∈N*.]求證：[an≤2n-1].

解 （Ⅰ）[f(x)=-ax2+2x-1x(x>0).]

依題意[f(x)≥0]在[x>0]時恒成立，即[ax2+2x-1≤0]在[x>0]恒成立.

則[a≤1-2xx2=(1x-1)2-1]在[x>0]恒成立，即[a≤((1x-1)2-1)min][(x>0).]

當[x=1]時，[(1x-1)2-1]取最小值[-1，]

∴[a]的取值范圍是[(-∞，-1].]

（Ⅱ）[a=-12，f(x)-12x+b#8660;14x2-32x+lnx-b=0.]

設[g(x)=14x2-32x+lnx-b(x>0).]

則[g(x)=(x-2)(x-1)2x.]列表：

∴[g(x)]極小值[=g(2)=ln2-b-2]，

[g(x)]極大值[=g(1)=-b-54]，又[g(4)=2ln2-b-2，]

[∵]方程[g(x)]=0在[1，4]上恰有兩個不相等的實數根.

則[g(1)≥0，g(2)<0，g(4)≥0，]得[ln2-2

（Ⅲ）設[h(x)=lnx-x+1，x∈[1，+∞)]，則[h(x)=][1x-1≤0，]

[∴h(x)]在[[1，+∞)]為減函數，且[h(x)max=h(1)=0，]故當[x≥1]時有[lnx≤x-1.]

[∵a1=1.]假設[ak≥1(k∈N*)，]

則[ak+1=lnak+ak+2>1，]故[an≥1(n∈N*)，]

從而[an+1=lnan+an+2≤2an+1.]

[∴1+an+1≤2(1+an)≤#8943;≤2n(1+a1).]

即[1+an≤2n]，∴[an≤2n-1.]

點撥 本題考查冪函數的導數、對數函數的導數、函數的單調性與實根分布等基礎知識，考查化歸轉化等數學思想，考查邏輯推理能力、運算求解能力，考查考生分析問題解決問題的能力．本題第一問，是一個中規中矩的常規試題，只要考生基本功扎實，解決起來困難不大；第二問利用函數的單調性畫出大致的圖像，得到實根分布的充要條件；第三問就需要考生有較高的分析問題解決問題的能力了，利用導數證明不等式的基本思路是通過構造函數轉化為研究這個函數的單調性和區間端點值或最值問題，在證明過程中，還要進行不等式的放縮，如果考生缺乏這樣的思想意識，不能自覺地朝這個方向思考，要順利地完成這一問的解答是不可能的．本題能有效地區分不同思維層次的考生，是一道設計十分優秀的試題．

【專題訓練一】

1. 設直線[x=t]與函數[f(x)=x2、g(x）=lnx]的圖象分別交于點[M、N]，則當[|MN|]達到最小時[t]的值為（ ）

A. 1 B. [12] C. [52] D. [22]

2. 從如圖所示的正方形[OABC]區域內任取一個點[M(x，y)]，則點[M]取自陰影部分的概率為( )

A. [12] B. [13] C. [14] D. [16]

3. 設偶函數[f(x)]對任意[x∈R]，都有[f(x+3)][=-1f(x)]，且當[x∈[-3，-2]]時，[f(x)=4x]，則[f(107.5)]=( )

A. 10 B. [110] C. -10 D. [-110]

4. 函數[y=f(x)]是函數[y=f(x)]的導函數，且函數[y=f(x)]在點[P(x0，f(x0))]處的切線為[l:y=g(x)][=f(x0)(x-x0)+f(x0)，][F(x)=f(x)-g(x)]，如果函數[y=f(x)]在區間[[a，b]]上的圖象如圖所示，且[a

A. [F(x0)=0，x=x0]是[F(x)]的極大值點

B. [F(x0)=0，x=x0]是[F(x)]的極小值點

C. [F(x0)≠0，x=x0]不是[F(x)]極值點

D. [F(x0)≠0，x=x0]是[F(x)]極值點

5. 已知函數[f(x)]的導函數為[f(x)]，且滿足[f(x)=][2xf(1)+lnx]，則[f(1)=]（ ）

A. [-e] B. -1 C. 1 D. [e]

6. 設[0

A. [(-∞，0)]B. [(0，+∞)]

C. [(-∞，loga3)]D. [(loga3，+∞)]

7. 設[a、b、c]為實數，[f(x)＝(x＋a)(x2＋bx＋c)]，[g(x)＝(ax＋1)(cx2＋bx＋1)]. 記集合[S＝{x|f(x)＝0，][x∈R}]，[T＝{x|g(x)＝0，x∈R}]. 若[|S|、|T|]分別為集合[S、T]的元素個數，則下列結論不可能的是（ ）

A. [|S|＝1且|T|＝0] B. [|S|＝1且|T|＝1]

C. [|S|＝2且|T|＝2] D. [|S|＝2且|T|＝3]

8. 已知函數[f(x)=ex+alnx]的定義域是[D]，關于函數[f(x)]給出下列命題：①對于任意[a∈(0，+∞)]，函數[f(x)]是[D]上的減函數；②對于任意[a∈(-∞，0)]，函數[f(x)]存在最小值；③對于任意[a∈(0，+∞)]，使得對于任意的[x∈D]，都有[f(x)>0]成立；④對于任意[a∈(-∞，0)]，函數[f(x)]有兩個零點. 其中正確命題有（ ）

A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個

9. 已知R上可導函數[f(x)]的圖象如圖所示，則不等式[(x2-2x-3)f(x)>0]的解集為（ ）

A. [(-∞，-2)#8899;(1，+∞)]

B. [(-∞，-2)#8899;(1，2)]

C. [(-∞，-1)#8899;(-1，0)#8899;(2，+∞)]

D. [(-∞，-1)#8899;(-1，1)#8899;(3，+∞)]

10. 已知函數[f(x)=2x-1(x≤0)，f(x-1)+1(x>0)，]把函數[g(x)=f(x)-x]的零點按從小到大的順序排列成一個數列，則該數列的通項公式為（ ）

A. [an=n(n-1)2(n∈N*)]

B. [an=n(n-1)(n∈N*)]

C. [an=n-1(n∈N*)]

D. [an=2n-2(n∈N*)]

11. 已知[F(x)=f(x+12)-1]是R上的奇函數，[an=f(0)+f(1n)+f(2n)+#8943;+f(n-1n)+f(1)(n∈N*)，]則數列[{an}]的通項公式為 .

12. 已知點[P]是第一象限內曲線[y=-x3+1]上的一個動點，點[P]處的切線與兩個坐標軸交于[A、B]兩點，則[△AOB]的面積的最小值為 .

13. 已知函數[f(x)=log2x]，正實數[m、n]滿足[m

14. 已知直線[y=x+1]與曲線[y=ln(x+a)]相切，則[a]的值為 .

15. 有下列命題：

①若[f(x)]存在導函數，則[f(2x)=[f(2x)];]

②若函數[h(x)=cos4x-sin4x，則h(π12)=[f(2x)];]

③若函數[g(x)=(x-1)(x-2)#8943;(x-2009)][(x-2010)]，則[g(2010)=2009!;]

④若三次函數[f(x)=ax3+bx2+cx+d，]則“[a+b+c=0]”是“[f(x)]有極值點”的充要條件.

其中真命題的序號是 .

16. 設[f(x)=23x3-2x+m(-43≤m≤43)].

（Ⅰ）求[f(x)]的單調區間與極值；

（Ⅱ）求方程[f(x)=0]的實數解的個數.

17. 兩個二次函數[f(x)=x2+bx+c]與[g(x)=-x2+2x+d]的圖象有唯一的公共點[P(1，-2)].

（Ⅰ）求[b、c、d]的值；

（Ⅱ）設[F(x)=(f(x)+m)#8901;g(x)]，若[F(x)]在R上是單調函數，求[m]的取值范圍，并指出[F(x)]是單調遞增函數，還是單調遞減函數.

18. 某商場銷售某種商品的經驗表明，該商品每日的銷售量[y](單位：千克)與銷售價格[x](單位：元/千克)滿足關系式[y=ax-3＋10(x－6)2]，其中[3

（Ⅰ）求[a]的值；

（Ⅱ）若該商品的成本為3元/千克，試確定銷售價格[x]的值，使商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大.

19. 已知[a∈R]，函數[f(x)=ax+lnx-1]，[g(x)=][lnx-1ex+x]（其中[e]為自然對數的底數）.

（Ⅰ）求函數[f(x)]在區間[0，e]上的最小值；

（Ⅱ）是否存在實數[x0∈0，e]，使曲線[y=g(x)]在點[x=x0]處的切線與[y]軸垂直? 若存在，求出[x0]的值；若不存在，請說明理由.

20. 已知函數[f(x)=lnx-a(x-1)x+1.]

（Ⅰ）若函數[f(x)]在[(0，+∞)]上為單調增函數，求[a]的取值范圍；

（Ⅱ）設[m]、[n∈R+]，且[m≠n]，求證：[m-nlnm-lnn<][m+n2.]

21. 定義：[F(x，y)=xy+lnx，x∈(0，+∞)，][y∈R，][f(x)=F(x，xa)]（其中[a≠0]）.

（Ⅰ）求[f(x)]的單調區間；

（Ⅱ）若[f(x)<-12]恒成立，試求實數[a]的取值范圍；

（Ⅲ）記[f(x)為f(x)]的導數，當[a=1]時，對任意的[n∈N*]，在區間[[1，f(n)]]上總存在[k]個正數[a1，a2，#8943;，ak]，使[i=1kf(ai)≥2010]成立，試求[k]的最小值.