平面向量

縱觀近幾年的高考試題，平面向量在高考中主要考查向量的共線、垂直、數(shù)量積的運算，重點是平面向量基本定理、坐標(biāo)運算、幾何意義及應(yīng)用. 由于平面向量融數(shù)、形于一體，具有代數(shù)形式和幾何形式的雙重身份，因而成為聯(lián)系數(shù)與形的重要紐帶，容易與函數(shù)、三角函數(shù)、解析幾何、數(shù)列、不等式等許多重要內(nèi)容交匯綜合，因此在復(fù)習(xí)時要特別注意向量與三角函數(shù)、解析幾何等相關(guān)聯(lián)問題的解決方法.

一、三角形形狀的判斷

例1 已知向量[OP1]、[OP2]、[OP3]滿足條件[OP1]+[OP2]+[OP3=0]，且[|OP1|]=[|OP2|]=[|OP3|]=1，試判斷[△P1P2P3]的形狀.

分析 通過轉(zhuǎn)化為邊或角之間的關(guān)系來判斷三角形的形狀.

解 如圖，以[OP1]與[OP2]為鄰邊作平行四邊形[OP1PP2]，利用向量加法的平行四邊形法則，易知[OP1]+[OP2]=[OP].

∵[OP1]+[OP2]+[OP3=0]，∴[OP]=-[OP3].

又[|OP1|]=[|OP2|]=[|OP3|]=1，

∴[|OP|]=[|OP1|]=[|PP1|]=1，

四邊形[OP1PP2]為菱形.

∴[△POP1]為等邊三角形.

故[∠P1OP=60°]，從而[∠P1OP2=120°].

同理可得[∠P2OP3=∠P1OP3=120°].

∵[|OP1|]=[|OP2|]=[|OP3|]=1，

∴[△P1OP2]≌[△P2OP3]≌[△P1OP3].

∴[|P1P2|]=[|P2P3|]=[|P1P3|].

∴[△P1P2P3]為正三角形.

點撥 判斷三角形的形狀涉及到了平面向量中的平行四邊形法則或三角形法則，通過求出三角形邊長之間的關(guān)系或者邊角關(guān)系或者數(shù)量積為零的結(jié)論來判斷三角形的形狀.

二、四心問題——內(nèi)心、垂心、重心、外心

例2 已知[△ABC]的外心[O]，重心[G].

（Ⅰ）設(shè)[OH=OA+OB+OC]，求證：[H]為垂心；

（Ⅱ）外心[O]、重心[G]、垂心[H]在一條直線(歐拉線)上，且[|GH|=2|OG|].

分析 通過重心分中線的比，外心到三頂點的距離相等、垂心的垂直關(guān)系找到證明思路.

證明 （Ⅰ）[OH=OA+OB+OC]，

[∴AH=OB+OC]，

[AH#8901;#8226;BC=(OB+OC)#8226;(OC-OB)#8195;#8195;#8195;#8195;=OC2-OB2=0.]

[∴AH⊥BC].

同理 [BH⊥AC，CH⊥BC]，即[H]為垂心.

（Ⅱ）[∴GA+GB+GC=0，OH=OA+OB+OC，]

[∴(OA-OG)+(OB-OG)+(OC-OG)=0]，

[∴OG=13(OA+OB+OC)=13OH.]

[∴][△ABC]的外心[O]、重心[G]、垂心[H]在一條直線(歐拉線)上，且[|GH|=2|OG|].

點撥 歐拉線能清晰地體現(xiàn)三心的位置關(guān)系，理解這些對解決相關(guān)的選擇填空題很有幫助.

四心問題與向量的數(shù)量積、向量的平行四邊形和三角形法則關(guān)系甚密，應(yīng)理解并能應(yīng)用以下結(jié)論：

①[λ(ABAB+ACAC)，λ∈[0，+∞)]是[∠BAC]的角平分線上的任意向量，過內(nèi)心；

②[λ(AB|AB|cosB+AC|AC|cosC)][，λ∈[0，+∞)]是[△ABC]邊[BC]的高[AD]上任意向量，過垂心；

③[λ(AB+AC)，λ∈[0，+∞)]是[BC]邊上的中線[AD]上的任意向量，過重心；

④在[△ABC]中，若[OA2=OB2=OC2]，[O]是[△ABC]的外心；

⑤若[OA+OB+OC=0]，則[O]是[△ABC]的重心；

⑥若[OA#8901;OB=OB#8901;OC=OC#8901;OA]，則[O]是[△ABC]的垂心；

⑦若[a#8901;OA+b#8901;OB+c#8901;OC=0]，則[O]是[△ABC]的內(nèi)心.

三、平行與垂直

例3 已知向量[a=(1，2)]，[b=(2，-3)]. 若向量[c]滿足[(c+a)∥b]，[c⊥(a+b)]，則[c=]（ ）

A.[(79，73)] B.[(-73，-79)] C.[(73，79)] D.[(-79，-73)]

分析 向量用坐標(biāo)形式給出，用坐標(biāo)表示向量的平行和重合.

解 不妨設(shè)[c=(m，n)]，

則[a+c=(1+m，2+n)，][a+b=(3，-1)]，

對于[(c+a)∥b]，則有[-3(1+m)=2(2+n)].

又[c⊥(a+b)]，則有[3m-n=0]，

解得[m=-79，n=-73]， 選D.

例4 平面向量[a=(3，-1)，][b=(12，32)]，若存在不同時為0的實數(shù)[k]和[t]，使[x=a+(t2-3)b，][y=-ka+tb，]且[x⊥y]，試求函數(shù)關(guān)系式[k=f(t)].

分析 先將題目條件的向量坐標(biāo)化，再套用公式.

解 由[a=(3，-1)，][b=(12，32)]，

得[a#8901;b=0， |a|=2， |b|=1].

由[[a+(t2-3)b]#8901;(-ka+tb)=0，]

得[-ka2+ta#8901;b-k(t2-3)a#8901;b+t(t2-3)b2=0，]

[-4k+t3-3t=0， k=14(t3-3t)， ]

[故f(t)=14(t3-3t).]

點撥 平行與垂直的問題要注意基向量不垂直的情況，此時要靈活應(yīng)用平面向量基本定理和數(shù)量積得計算公式.

四、角度問題

例5 已知在平面直角坐標(biāo)系[xOy]中，向量[j=(0，1)， △OFP]的面積為[23]，且[OF#8901;FP=t，OM][=33OP+j] .

（Ⅰ）設(shè)[4

（Ⅱ）設(shè)以原點[O]為中心，對稱軸在坐標(biāo)軸上，以[F]為右焦點的橢圓經(jīng)過點[M]，且[|OF|=c，t=(3-1)c2，]當(dāng)[OP]取最小值時，求橢圓的方程.

分析 直接帶入數(shù)量積計算公式，再與三角形的面積公式聯(lián)立，將夾角的某一三角函數(shù)表示出來，再進(jìn)行運算.

解 （Ⅰ）由[23=12OF#8226;FP#8226;sinθ，]

得[OF#8226;FP=43sinθ.]

由[cosθ=OF#8901;FPOF#8226;FP=tsinθ43]，得[tanθ=43t.]

[∵4

[∵θ∈[0，π]， ∴夾角θ的取值范圍是(π4，π3).]

（Ⅱ）[設(shè)P(x0，y0)，則FP=(x0-c，y0)，OF=(c，0)，]

[∴OF#8901;FP=(x0-c，y0)#8901;(c，0)]

[=(x0-c)c=t=3-1c2， ∴x0=3c.]

又[∵SΔOFP=12OF#8226;y0=23， ∴y0=±43c.]

[OP=(3c)2+(43c)2≥26，]

當(dāng)且僅當(dāng)[c=2]時有最小值，

此時[OP]=([23]，[±23])，

[∴OM=(2，3)]或（2，-1），

故所求方程為[x216+y212=1]

或[x29+172+y21+172=1.]

點撥 角度問題多與數(shù)量積聯(lián)系在一起，注意數(shù)量積的定義公式與坐標(biāo)公式的應(yīng)用.

五、共線與共點

例6 已知[OB=λOA+μOC]，其中[λ+μ=1]. 求證：[A]、[B]、[C]三點共線.

分析 通過向量共線(如[AB=kAC])得三點共線.

證明 如圖，由[λ+μ=1]得[λ=1-μ]，

則[OB=λOA+μOC=(1-μ)OA+μOC，]

[∴][OB-OA=μ(OC-OA)，]

[∴][AB=μAC，]

[∴][A]、[B]、[C]三點共線.

六、軌跡方程問題

例7 平面直角坐標(biāo)系中，[O]為坐標(biāo)原點，已知[A(3，1)、B(-1，3)，]若點[C]滿足[OC=αOA+βOB]，其中[α、β∈R]，且[α+β=1]，則點[C]的軌跡方程為（ ）

A. [(x-1)2+(y-2)2=5]B. [3x+2y-1=0]

C. [2x-y=0]D. [x+2y-5=0]

分析 用向量相等的充要條件寫各坐標(biāo)之間關(guān)系，再用代入法求軌跡.

解 設(shè)[C(x，y)]，由題意

[(x，y)=α(3，1)+β(-1，3)][=(3α-β， α+3β)].

于是[x=3α-β， ①y=α+3β， ②]

①＋②×2得[x+2y=5(α+β)=5].

于是點[C]的軌跡方程為[x+2y-5=0].

點撥 涉及到軌跡與方程問題，向量只是各種關(guān)系的呈現(xiàn)手段，直接將條件翻譯成向量的關(guān)系或者運算公式即可.

七、平面向量在平面幾何中的應(yīng)用

例8 已知四邊形[ABCD]是菱形，點[P]在對角線[AC]上（不包括端點[A、C]），則[AP]等于（ ）

A. [λ(AB+AD)，λ∈(0，1)]

B. [λ(AB+BC)，λ∈(0，22)]

C. [λ(AB-AD)，λ∈(0，1)]

D. [λ(AB-BC)，λ∈(0，22)]

分析 利用平行四邊形的性質(zhì)和向量的加法法則即可.

解 由向量的運算法則[AC=AB+AD]. 而點[P]在對角線[AC]上，所以[AP]與[AC]同向，且[AP

點撥 處理平面幾何問題是平面向量最重要的應(yīng)用之一. 以下是向量在平行四邊形[ABCD]中的兩個結(jié)論：

若[AB=AD]，則[(AB+AD)#8901;(AB-AD)=0]，即菱形模型.

若[AB⊥AD]，則[AB+AD=AB-AD]，即矩形模型.

八、向量在物理中的應(yīng)用

例9 已知力[F]與水平方向的夾角為[30°]（斜向上），[F]的大小為[50N]，[F]拉著一個重[80N]的木塊在摩擦因數(shù)[μ=0.02]的水平平面上運動了[20mm]，問[F]、摩擦力[f]所做的功分別為多少？

分析 “功”是作用力與位移的數(shù)量積.

解 設(shè)木塊的位移為[s]，

則[F#8901;s=F#8226;scos30°=50×20×32=5003J，]

[F在豎直方向上的分力的大小為]

[Fsin30°=50×12=25(N)，]

[f=(80-25)×0.02=1.1(N)，]

[所以f#8901;s=f#8226;scos180°=1.1×20×(-1)=-22(J)]

[即F、f 所做的功分別是5003J、-22J].

點評 用向量方法解決物理問題的步驟：一是把物理問題中的相關(guān)量用向量表示；二是轉(zhuǎn)化為向量問題的模型，通過向量運算解決問題；三是將結(jié)果還原成物理問題.

[【專題訓(xùn)練三】]

1. 已知向量[a]=(－2，1)，[b]=(－3，0)，則[a]在[b]方向上的投影為（ ）

A. －2 B. [5] C. 2 D. [-5]

2. 已知向量[a、b]不共線，若向量[a+λb]與[b+λa]的方向相反，則[λ]=（ ）

A. 1 B. 0 C. -1 D. ±1

3. 已知[a]、[b]為非零向量，函數(shù)[f(x)=(xa][+b)#8901;(a-xb)]，則使[f(x)]的圖象為關(guān)于[y]軸對稱的拋物線的一個必要不充分條件是（ ）

A. [a⊥b] B. [a∥b] C. [|a|=|b|] D. [a=b]

4. 若[e1]、[e2]是夾角為[π3]的單位向量，且[a=2e1]+[e2， ][b=-3e1]+[e2， ]則[a#8901;b=]（ ）

A. 1 B. -4 C. [-72] D. [72]

5. 一質(zhì)點受到平面上的三個力[F1、F2、F3]（單位：牛頓）的作用而處于平衡狀態(tài). 已知[F1、F2]成[120°]角，且[F1、F2]的大小分別為1和2，則有（ ）

A. [F1、F3]成[90°]角 B. [F1、F3]成[150°]角

C. [F2、F3]成[90°]角 D. [F2、F3]成[60°]角

6. 已知向量[OA=(4，6)，][OB=(3，5)，]且[OC⊥OA，][AC∥OB]，則向量[OC=]（ ）

A. [(-37，27)]B. [(-27，421)]

C. [(37，-27)] D. [(27，-421)]

7. 若向量[a、b]滿足[|a|=|b|=1，][a]與[b]的夾角為[60°]，則[a#8901;a+a#8901;b=]（ ）

A. [12] B. [32] C. [1+32] D. 2

8. [O]為平面中一定點，動點[P]在[A、B、C]三點確定的平面內(nèi)且滿足（[OP-OA]）·（[AB-AC]）=0，則點[P]的軌跡一定過[△ABC]的（ ）

A. 外心 B. 內(nèi)心 C. 重心 D. 垂心

9. 向量[(b#8901;c)a-(a#8901;c)b]與向量[c]（ ）

A. 一定平行但不相等 B. 一定垂直

C. 一定平行且相等 D. 無法判定

10. 在[△ABC]中，有如下四個命題：

①[AB-AC=BC]；

②[AB+BC+CA=0;]

③若[(AB+AC)#8901;(AB-AC)=0]，則[△ABC]為等腰三角形；

④若[AC#8901;AB>0]，則[△ABC]為銳角三角形.

其中正確的命題序號是（ ）

A. ①② B. ①③④ C. ②③ D. ②④

11. 若[a、b、c]均為單位向量，且[a#8901;b=0，][(a-c)#8901;(b-c)≤0，]則[|a+b-c|]最大值為 .

12. 設(shè)向量[a與b]的夾角為[θ]，[a=(3，3)，][2b-a=(-1，1)，]若直線[2x-y-8=0]沿向量[b]平移，所得直線過雙曲線[x2m2-y222=1]的右焦點，則[cosθ=] ，雙曲線[x2m2-y222=1]的離心率[e]= .

13. 已知[A、B、C]是直線[l]上的三點，向量[OA、OB、OC]滿足[OA=[y+2f(1)]OB-lnx2#8901;OC]，則函數(shù)[y=f(x)]的表達(dá)式為 .

14. 設(shè)兩個向量[a＝(λ＋2，λ2－cos2α)]和[b＝(m，m2＋sinα)]，其中[λ、m、α]為實數(shù). 若[a＝2b]，則[λm]的取值范圍是 .

15. 設(shè)[e1、e2、e3、e4]是平面內(nèi)的四個單位向量，其中[e1⊥e2， e3]與[e4]的夾角為[135°]，對這個平面內(nèi)的任一個向量[a=xe1+ye2]，規(guī)定經(jīng)過一次“斜二測變換”得到向量[a1=xe3+y2e4]，設(shè)向量[v=3e1-4e2]，則經(jīng)過一次“斜二測變換”得到的向量[v1]的模[|v1|]是 .

16. 已知點[A(1，1)、B(1，-1)、C(2cosθ，2sinθ)][(θ∈R)]，[O]為坐標(biāo)原點.

（Ⅰ）若[|BC-BA|=2]，求[sin2θ]的值；

（Ⅱ）若實數(shù)[m、n]滿足[mOA+nOB=OC]，求[(m-3)2+n2]的最大值.

17. 已知[F1]、[F]橢圓[x26+y22=1]的兩個焦點，過點[F]的直線[BC]交橢圓于[B、C]兩點，

（Ⅰ）[OM=12(OC+OB)]，求點[M]的軌跡方程.

（Ⅱ）若相應(yīng)于焦點[F]的準(zhǔn)線[l]與[x]軸相交于點[A]，[|OF|=2|FA|]，過點[A]的直線與橢圓相交于[P、Q]兩點. 設(shè)[AP=λAQ(λ>1)]，過點[P]且平行于準(zhǔn)線[l]的直線與橢圓相交于另一點[M]，證明:[FM=-λFQ].

18. 如圖，點[A1]、[A2]是線段[AB]的三等分點.

（Ⅰ）求證：[OA1+OA2=OA+OB]；

（Ⅱ）一般地，如果點[A1]，[A2]，…[An-1]是[AB]的[n(n≥3)]等分點，請寫出一個結(jié)論，使（Ⅰ）為所寫結(jié)論的一個特例. 并證明你寫的結(jié)論.

19. 設(shè)函數(shù)[f(x)＝a#8901;b]，其中向量[a＝(2cosx，1)]，[b＝(cosx，－3sin2x)，x∈R].

（Ⅰ）求函數(shù)[f(x)]的單調(diào)減區(qū)間；

（Ⅱ）若[x∈[－π4，0]]，求函數(shù)[f(x)]的值域；

（Ⅲ）若函數(shù)[y＝f(x)]的圖象按向量[c＝(m，n)][(|m|＜π2)]平移后得到函數(shù)[y＝2sin2x]的圖象，求實數(shù)[m、n]的值.

20. 設(shè)[{an}]為首項是–10，公差是2的等差數(shù)列，[{bn}]為首項是[-12]、公差是[12]的等差數(shù)列，[O]是原點，向量[OA=(-1，1)，][OB=(1，1)]，點列[{Pn}]滿足[OPn=][an#8901;OA+bn#8901;OB(n∈N*)].

（Ⅰ）證明：[P1，P2，…，Pn]共線；

（Ⅱ）若點[Pk(k∈N*)]表示點列[{Pn}]中處于第一象限的點，求[k]的值.

21. [△AOB]的重心為[G]，過[G]作直線交[DA]、[OB]于[P、Q]，[OP=hOA， OQ=kOB]，[△OAB]和[△OPQ]的面積分別為[S]和[T].

（Ⅰ）求證：[1h+1k=3]；

（Ⅱ）求證：[4S9≤T≤S2].