數列

數列是高中數學的重點內容之一 ，也是高考考查的熱點，知識上主要考查等差（等比）數列的概念、性質、通項公式、前[n]項和公式；利用數列的前[n]項和[Sn]與通項[an]的關系解題；數列的求和問題；遞推數列問題；數列應用問題；數列與函數、三角函數、不等式、解析幾何的綜合問題等等. 選擇題、填空題突出“小、巧、活”的特點，解答題多以中、高檔題目呈現，近兩年在數列題中加強了對推理能力的考查.

例1 已知數列[{an}]和[{bn}]滿足[a1=m]，[an+1][=λan+n]，[bn=an-2n3+49].

（Ⅰ）當[m=1]時，求證: 對于任意的實數[λ]，[{an}]一定不是等差數列；

（Ⅱ）當[λ=-12]時，試判斷[{bn}]是否為等比數列.

分析 含有否定詞的問題證明一般可采用反證法，對于等差（等比）數列的判斷應依據定義進行，第（Ⅱ）問中特別要注意說明[b1]是否為零的情況.

解 （Ⅰ）當[m=1]時，[a1=1，a2=λ+1，]

[a3=λλ+1+2=λ2+λ+2]，

假設[{an}]是等差數列，則有[a1+a3=2a2]，

得[λ2+λ+3=2λ+1]，即[λ2-λ+1=0].

由[Δ=-12-4#8901;1#8901;1=-3<0]，矛盾.

故對于任意的實數[λ]，[{an}]一定不是等差數列.

（Ⅱ）當[λ=-12]時，[an+1=-12an+n].

而[bn=an-2n3+49]，

所以[bn+1=an+1-2(n+1)3+49]

[=(-12an+n)-2(n+1)3+49]

[=-12an+n3-29=--12(an-2n3+49)=-12bn.]

又[b1=m-23+49=m-29]，

故當[m=29]時， [{bn}]不是等比數列.

當[m≠29]時， [{bn}]是首項為[m-29]、公比為[-12]的等比數列.

點撥 判斷某個數列是否為等差（比）數列，有兩種常用方法：1定義法，2看任意相鄰三項是否滿足等差（比）中項. 對等比數列需特別說明首項不等于零. 若判斷某個數列不是等差（比）數列，只需說明前三項不滿足即可.

例2 已知數列[an]滿足[a1=13]，[a2=79]，[an+2=43an+1-13an][(n∈N*)].

（Ⅰ）求數列[an]的通項公式；

（Ⅱ）求數列[nan]的前[n]項和[Sn].

分析 本題主要考查遞推數列求通項公式的方法和特殊數列的求和問題，找準遞推數列的類型是關鍵. 錯位相減法求和是高考命題的熱點，要重點關注.

解 （Ⅰ）由[an+2=43an+1-13an]，

得[an+2-13an+1=an+1-13an]，

∴數列[an+1-13an]是常數列，

[an+1-13an=a2-13a1=23]，即[an+1=13an+23]，

得[an+1-1=13(an-1)]，

∴數列[an-1]是首項為[a1-1=-23]、公比為[13]的等比數列，且[an-1=(-23)#8901;(13)n-1]，

故數列[an]的通項公式為[an=1-23n].

（Ⅱ）[nan=n(1-23n)=n-2#8901;n3n].

設[Tn=13+232+333+#8943;+n3n]， ①

[13Tn=][132+233+#8943;+n-13n+n3n+1]. ②

①[-]②得[23Tn=13+132+133+#8943;+13n-n3n+1]，

∴[Tn=34-2n+34#8901;3n].

故[Sn=(1+2+3+#8943;+n)-2Tn]

[=n(n+1)2-32+2n+32#8901;3n=(n2+n-3)#8901;3n+2n+32#8901;3n.]

點撥 已知[Sn]與[an]的關系式[an=fSn]可求[an]，也可求[Sn]，關鍵是用[an=Sn-Sn-1]（[n≥2]）來轉化；數列求和的常見方法有分組求和法、倒序相加法、錯位相減法、裂項相消法、分解轉化法. 若涉及正負相間的數列求和常需分奇偶討論，公比是參數的等比數列求和也需對公比[q=1]和[q≠1]兩種情況進行分類討論. 近年來高中數學中的其他和式結構也經常在數列中滲透，希望同學們引起重視，例如：

在數1和100之間插入[n]個實數，使得這[n+2]個數構成遞增的等比數列，將這[n+2]個數的乘積記作[Tn]，再令[an=lgTn(n≥1)]. （Ⅰ）求數列[an]的通項公式；（Ⅱ）設[bn=tanantanan+1]，求數列[bn]的前[n]項和[Sn].

例3 已知數列[an]滿足[an+1=][2an2+3an+man+1][(n∈N*)，]又[a1=1，]

（Ⅰ）當[m=1]時，求數列[an]的通項公式；

（Ⅱ）當[m]在什么范圍內取值時，能使數列[an]滿足不等式[an+1≥an]恒成立？

（Ⅲ）當[-3≤m<1]時，證明：[1a1+1+1a2+1][+#8943;+1an+1≥1-12n].

分析 本題第（Ⅰ）問考查的是待定系數法求數列通項公式，第（Ⅱ）問要注意[an+1≥an]恒成立是對[n∈N*]而言的，第（Ⅲ）問是難點，如何構造出[1an+1]的形式并適當放縮到新的等比數列是解題的關鍵.

解 （Ⅰ）當[m=1]時，

[an+1=2a2n+3an+1an+1=(2an+1)(an+1)an+1=2an+1，]

得[an+1+1=2(an+1)].

[∵a1+1≠0]， [∴]數列[{an+1}]是等比數列，

[an+1=(a1+1)2n-1]，[∴an=2n-1.]

（Ⅱ）由[an+1≥an]，而[a1=1，][∴an≥1，]

[∴2a2n+3an+man+1≥an]，[∴m≥-a2n-2an.]

[∴m≥-(an+1)2+1]恒成立.

[∵an≥1，∴m≥-22+1]，即[m≥-3].

（Ⅲ）由（Ⅱ）得當[-3≤m<1]時，[an+1≥an.]

[∴an>0]，設[cn=1an+1，]則[cn+1=1an+1+1.]

[cn+1=12a2n+3an+man+1+1=an+12(an+1)2+m-1.]

[∵m<1，∴m-1<0]，

故[cn+1>an+12(an+1)2=12#8901;1an+1=12cn]，

[∵c1=1a1+1=12]，

[∴cn>12cn-1>122cn-2>#8943;>12n-1c1=12n(n≥2)，]

[∴c1+c2+c3#8943;+cn>12+122+123+#8943;+12n]

[=12(1-12n)1-12=1-(12)n，]

即[1a1+1+1a2+1+#8943;+1an+1≥1-12n].

點撥 正確處理遞推數列是解決數列綜合題的關鍵，要熟練掌握. 希望同學們在復習時認真總結不等式的證明方法和數列不等式的幾種放縮技巧.

例4 設二次函數[f(x)=(k-4)x2+kx(k∈R)]，對任意實數[x]，有[f(x)≤6x+2]恒成立，數列[an]滿足[an+1=f(an)].

（Ⅰ）求函數[f(x)]的解析式和值域；

（Ⅱ）試寫出一個區間[(a，b)]，使得當[a1∈(a，b)]時，數列[an]在這個區間上是遞增數列，并說明理由；

分析 本題以函數為載體考查數列的單調性和遞推公式，解題時要注意數列的單調性與函數的單調性的不同之處：數列[an]單調遞增[#8660;][an+1-an>0]對[n∈N*]恒成立.

解 （Ⅰ）[f(x)≤6x+2]恒成立，

即[(k-4)x2+(k-6)x-2≤0]恒成立，

得 [k-4<0，(k-6)2+8(k-4)≤0，]

化簡得[k<4，(k-2)2≤0，]

從而得[k=2]，

所以[f(x)=-2x2+2x]，值域為[(-∞，12]].

（Ⅱ）若數列[an]在某個區間上是遞增數列，

則[an+1-an>0]，

即[an+1-an=f(an)-an=-2a2n+2an-an]

[=-2a2n+an>0]，得[an∈(0，12).]

又當[an∈(0，12)，n≥1]時，

[an+1=f(an)=-2a2n+2an=-2(an-12)2+12∈(0，12)，]

所以對一切[n∈N*]，均有[an∈(0，12)]且[an+1-an>0]，所以數列[an]在區間[(0，12)]上是遞增數列.

點撥 數列是特殊的函數，數列不等式與一般函數不等式一樣，可以從函數的角度來思考，處理的關鍵是揭開數列不等式的面紗，找準對應的函數，利用函數的單調性來證明.

例5 過點[P(1，0)]作曲線 [C: y=xk(x∈(0，+∞)，][k∈N*，k>1)]的切線，切點為[Q1]，設點[Q1]在[x]軸上的投影是點[P1]；又過點[P1]作曲線C的切線，切點為[Q2]，設[Q2]在[x]軸上的投影是[P2]；…；依此下去，得到一系列點[Q1]，[Q2]，…，[Qn]，…，設點[Qn]的橫坐標為[an].

（Ⅰ）試求數列[{an}]的通項公式[an]（用含[k]的代數式表示）；

（Ⅱ）求證：[an≥1+nk-1;]

（Ⅲ）求證：[i=1niai

分析 本題以曲線的切線（即函數的導數）為載體考查數列的遞推關系和數列不等式的證明，求解時要注意點列的順序.

解 （Ⅰ）切點是[Qn(an，ank)]的切線方程為[y-ank=kank-1(x-an)].

當[n=1]時，切線過點(1，0)，

即[0-a1k=ka1k-1(1-a1)]，得[a1=kk-1.]

當[n>1]時，切線過點[Pn-1(an-1，0)]，

即[0-ank=kank-1(an-1-an)]，解得[anan-1=kk-1].

[∴]數列[an]是首項為[kk-1]、公比為[kk-1]的等比數列，故通項[an=(kk-1)n，n∈N*].

（Ⅱ）[an=(kk-1)n=(1+1k-1)n]

[=C0n+C1n1k-1+C2n(1k-1)2+#8943;+Cnn(1k-1)n]

[≥C0n+C1n1k-1=1+nk-1].

（Ⅲ）設[Sn=1a1+2a2+#8943;+n-1an-1+nan]，

則[k-1kSn=1a2+2a3+#8943;+n-1an+nan+1]，

兩式相減得

[(1-k-1k)Sn=1a1+1a2+#8943;+1an-nan+1]

[<1a1+1a2+#8943;+1an]，

[∴][1kSn

故[Sn

點撥 數形結合，建立曲線上點的橫（縱）坐標的遞推關系是處理點列問題的一般方法；形如第（Ⅱ）問中指數型不等式一般采用構造二項式進行適當放縮即可.

例6 對于給定數列[{cn}]，如果存在實常數[p、q]使得[cn+1=pcn+q]對于任意[n∈N*]都成立，我們稱數列[{cn}]是 “[M]類數列”.

（Ⅰ）若[an=2n， bn=3#8901;2n]，[n∈N*]，數列[{an}]、[{bn}]是否為“[M]類數列”？若是，指出它對應的實常數[p、q]，若不是，請說明理由；

（Ⅱ）證明：若數列[{an}]是“[M]類數列”，則數列[{an+an+1}]也是“[M]類數列”.

分析 新課改突出了學生的主體作用，對同學們的自主學習和探究能力要求較高，這就要求我們在復習備考中學會引申、學會變通，讀懂題目、領會題意是解題的關鍵.

解 （Ⅰ）由[an=2n]得[an+1=an+2，]故數列[{an}]是“[M]類數列”，對應實常數分別為1、2.

由[bn=3#8901;2n]，得[bn+1=2bn] 故數列[{bn}]是“[M]類數列”， 對應的實常數分別為2、0.

（Ⅱ）若數列[{an}]是“[M]類數列”， 則存在實常數[p、q]使得[an+1=pan+q]對于任意[n∈N*]都成立，且有[an+2=pan+1+q]對于任意[n∈N*]都成立，因此[an+1+an+2=p(an+an+1)+2q]對于任意[n∈N*]都成立，故數列[{an+an+1}]也是“[M]類數列”，對應的實常數分別為[p、2q].

點撥 求解“新定義”型問題的關鍵是先讀懂題意，理解“新定義”的本質，再將“新”問題轉化到常規問題中處理.

【專題訓練四】

1. 已知數列[an]為等差數列，且[a1+a7+a13=π，則tan(a2+a12)]的值為（ ）

A. [3] B. [-3] C. [±3] D. [-33]

2. 若[a1，a2a1，a3a2，#8943;，anan-1，#8943;]是首項為1、公比為2的等比數列，則[a100]等于（ ）

A. 2100 B. 299 C. 25050 D. 24950

3. 一個等差數列共[n]項，其和為90，這個數列的前10項的和為25，后10項的和為75，則項數[n]為 （ ）

A. 14 B. 16 C. 18 D. 20

4. 已知[{an}]為等差數列，[{bn}]為等比數列，其公比[q≠1]，且[bi>0(i=1，2，3，#8943;，n.)]，若[a1=b1，a11=b11]，則（ ）

A. [a6=b6] B. [a6

C. [a6>b6] D. [a6>b6]或[a6

5. 已知[f (x)＝x＋1，g(x)＝2x＋1]，數列[{an}]滿足：[a1＝1]，[an＋1＝f(an)(n為奇數)，g(an)(n為偶數)，]則數列[{an}]的前2007項的和為（ ）

A. 5×22008-2008 B. 3×22007-5020

C. 6×22006-5020 D. 6×21003-5020

6. 設數列[{an}]的前[n]項和為[Sn]， 已知[a1=5]，且[nSn+1=2#8202;n(n+1)+(n+1)Sn]([n∈N*])， 則過點[P(n，][an]) 和[Q(n+2，an+2])([n∈N*])的直線的一個方向向量的坐標可以是（ ）

A. （2，[12]） B. (-1， -1)

C. ([-12]， -1)D. （[-12，-2]）

7. 數列[{an}]滿足[a1=1，an+11an2+4=1，]記[Sn=a12+a22+#8943;+an2，]若[S2n+1-Sn≤m30]對任意[n∈N*]恒成立，則正整數[m]的最小值（ ）

A. 10 B. 9 C. 8 D. 7

8. 已知等差數列[an]中[an=2n-1]，在[a1與a2之間插入1個2，]在[a2與a3之間插入2個2]，…，在[an與an+1之間插入n個2]，…，構成一個新的數列[bn]，若[a10=bk]，則[k]=（ ）

A. 45 B. 50 C. 55 D. 60

9. 設等差數列[an]的前[n]項和為[Sn]，若[S19>0，S20<0]，則[S1a1，S2a2，#8943;，S19a19]中最大的項是（ ）

A. [S19a19] B. [S11a11] C. [S10a10] D. [S1a1]

10. 已知有窮數列[A]：[a1，a2，#8901;#8901;#8901;，an][(n≥2，][n∈N).] 定義如下操作過程[T]：從[A]中任取兩項[ai，aj]，將[ai+aj1+aiaj]的值添在[A]的最后，然后刪除[ai，aj]，這樣得到一系列[n-1]項的新數列[A1](約定:一個數也視作數列)；對[A1]的所有可能結果重復操作過程[T]又得到一系列[n-2]項的新數列[A2]，如此經過[k]次操作后得到的新數列記作[Ak] . 設[A]：[-57、34、12、13]，則[A3]的可能結果是（ ）

A. 0 B. [34] C. [13] D. [12]

11. 設等比數列[an]的前[n]項和為[Sn]，已知[S10= 0 3(1+2x) dx]，[S20=18]，則[S30]＝ .

12. 已知數列[an]的前[n]項和為[Sn=n2，]某三角形三邊之比為[a2:a3:a4]，則該三角形最大角為 .

13. 已知數列[an]滿足[an+1+an-1an+1-an+1=n]（[n][∈N*]）且[a2=6]，數列[an]的通項公式為[an=] .

14. 若數列[{an}]滿足[1an+1-1an=d(n∈N*，d]為常數)，則數列[{an}]為“調和數列”，已知數列[(1xn)]為“調和數列”，且[x1+x2+#8943;+x20=200]，則[x3x18]的最大值是 .

15. 已知數列[A:#8202;#8202;#8202;#8202;#8202;#8202;#8202;a1，a2，#8943;，an(0≤a1

①數列0，1，3，5，7具有性質[P]；

②數列0，2，4，6，8具有性質[P]；

③若數列[A]具有性質[P]，則[a1=0]；

④若數列[a1，a2，a3，a4，a5][(0≤a1

其中真命題有 .

16. 已知數列[{an}]的前[n]項和[Sn]和通項[an]滿足[Sn=12(1-an).]

（Ⅰ）求數列[{an}]的通項公式；

（Ⅱ）設函數[f(x)=log13x]，[bn=f(a1)+f(a2)+#8943;+][f(an)]，求[Tn=1b1+1b2+1b3+#8943;+1bn].

17. 數列[{an}]中，[an>0]，[an≠1]，且[an+1=3an2an+1]（[n∈N#8727;]）.

（Ⅰ）若[a1=34]，求數列[{an}]的通項公式；

（Ⅱ）若[a1=a]，求實數[p]（[p≠0]），使得數列[p+anan]成等比數列.

18. 數列[{an}]的前[n]項和為[Sn]，已知[Sn=n2+3n2].

（Ⅰ）求數列[{an}]的通項公式；

（Ⅱ）若數列[{bn}]滿足[bn+1=2bn]，[b1=2]，數列[{cn}]滿足[cn=an(n為奇數)2n(n為偶數)]，數列[{cn}]的前[n]項和為[Tn]，當[n]為偶數時，求[Tn]；

（Ⅲ）張三同學利用第（2）題中的[Tn]設計了一個程序如圖，但李四同學認為這個程序如果被執行會是一個“死循環”(即程序會永遠循環下去，而無法結束). 你是否同意李四同學的觀點？請說明理由.

[結束] [打印[n]][是][否]

19. 對于正項數列[{an}]，定義其調和均值為[H(n)][=n1a1+1a2+#8943;+1an][(n∈N*)].

（Ⅰ）若數列[{an}]中，[H(n)=2n+2]，求[{an}]的通項公式；

（Ⅱ）已知[{bn}]為等比數列，且[b1=1]，公比為2，其調和數為[H(n)]，是否存在正整數[m]，使得當[n≥m][(n∈N*)]時，[H(n)<18]恒成立，如果存在，求[m]的最小值；如不存在，說明理由.

20. 將數列[{#8201;an}]中的所有項按第一排三項，以下每一行比上一行多一項的規則排成如下數表：

[a1#8201;#8201;#8201;a2#8201;#8201;#8201;a3a4#8201;#8201;#8201;a5#8201;#8201;#8201;a6#8201;#8201;#8201;a7a8#8201;#8201;#8201;a9#8201;#8201;#8201;a10#8201;#8201;#8202;a11#8201;#8201;#8202;a12#8943;]

記表中的第一列數[a1#8201;，#8201;a4#8201;，#8201;a8#8201;，#8201;#8943;]構成的數列為[{#8201;bn}].

已知：①在數列[{#8201;bn}]中，[b1=1]，對于任何[n∈N*]，都有[(n+1)#8201;bn+1-nbn=0]；

②表中每一行的數按從左到右的順序均構成公比為[q#8201;(q>0)]的等比數列；

③[a66=25].

請解答以下問題：

（Ⅰ）求數列[{#8201;bn}]的通項公式；

（Ⅱ）求上表中第[k#8201;(#8201;k∈N*)]行所有項的和[S(k)]；

（Ⅲ）若關于[x]的不等式[S(k)+1k>1-x2x]在[x∈[11000#8201;，#8201;1100]]上有解，求正整數[k]的取值范圍.

21. 在正項數列[{#8201;an}]中，令[Sn=i=1n1ai+ai+1].

（Ⅰ）若[{#8201;an}]是首項為25，公差為2的等差數列，求[S100]；

（Ⅱ）若[Sn=npa1+an+1]（[p]為正常數）對正整數[n]恒成立，求證[{#8201;an}]為等差數列；

（Ⅲ）給定正整數[k]、正實數[M]，對于滿足[a12+ak+12≤M]的所有等差數列[{#8201;an}]，求[T=ak+1+ak+2+#8943;+a2k+1]的最大值.