不等式

不等式這一部分包含不等關(guān)系與不等式的性質(zhì)、不等式的解法、簡單的線性規(guī)劃和幾個重要不等式（均值不等式，絕對值三角不等式，柯西不等式，排序不等式）四部分內(nèi)容. 在二輪復習中我們首先要立足基礎(chǔ)對以上內(nèi)容再度進行梳理，把握住重點內(nèi)容與重點方法；其次由于不等式的知識網(wǎng)絡(luò)具有的極強的輻射作用，在綜合題中常常要用到不等式知識，因此要注重不等式知識的應用.

一、 基礎(chǔ)知識及基本方法

1. 不等式的性質(zhì)

不等關(guān)系與不等式的性質(zhì)是不等式的理論基礎(chǔ)，是證明不等式和求解不等式的主要依據(jù)，在復習與梳理中要注意不等式性質(zhì)的適用條件.

例1 設(shè)[a、b、c]是互不相等的正數(shù)，則下列等式中不恒成立的是（ ）

A. [|a-b|≤|a-c|+|b-c|]

B. [a2+1a2≥a+1a]

C. [|a-b|+1a-b≥2]

D. [a+3-a+1≤a+2-a]

分析 本題主要考查不等式恒成立的條件，由于給出的是不完全提干，必須結(jié)合選擇支，才能得出正確的結(jié)論.

解 運用排除法，選C，[a-b+1a-b≥2]，當[a-b<0]時不成立.

點撥 運用均值不等式一定要注意公式成立的條件：

如果[a、b∈R，那么a2+b2≥2ab(當且僅當a=b]時取“=”號）

如果[a、b]是正數(shù)，那么[a+b2≥ab]（當且僅當[a=b]時取“=”號）.

例2 已知函數(shù)[f(x)=ax2+2ax+4][(a>0)]，若[x1

A. [f(x1)

B. [f(x1)=f(x2)]

C. [f(x1)>f(x2)]

D. [f(x1)]與[f(x2)]的大小不能確定

分析 本題是比較兩個數(shù)的大小關(guān)系. 比較法是比較兩個數(shù)的大小的最常用的方法.

解 [f(x1)-f(x2)=(ax12+2ax1+4)-(ax22+2ax2+4)]

[=a(x12-x22)+2a(x1-x2)=a(x1-x2)(x1+x2+2)]

[=2a(x1-x2)<0]，故[f(x1)

點撥 比較實數(shù)的大小是不等式性質(zhì)的直接應用. 一般地，在數(shù)的大小比較中，常用的有以下方法：（1）作差比較法和作商比較法，前者和零比較，后者和1比較大小；（2）找中間量，往往是1或0.

2. 幾個重要不等式的直接應用

均值不等式、絕對值三角不等式、柯西不等式、排序不等式在比較大小、求最值等方面有著重要應用.

例3 設(shè)[a>0，b>0，]若[3是3a與3b的等比中項，][則1a+1b]的最小值為（ ）

A. 8 B. 4 C. 1 D. [14]

分析 因為[3a#8901;3b=3]，所以[a+b=1]，下面可以用重要不等式或柯西不等式求最值.

解 法一：[1a+1b=(a+b)(1a+1b)=2+ba+ab][≥2+2ba#8901;ab=4]，當且僅當[ba=ab]即[a=b=12]時“=”成立，故選擇B.

法二：[1a+1b=[(a)2+(b)2][(1a)2+(1b)2]≥] [(a#8901;1a+b#8901;1b)2=4].

點撥 法一、法二分別是利用均值不等式和柯西不等式求最值.

例4 不等式[x+3-x-1≤a2-3a]對任意實數(shù)[x]恒成立，則實數(shù)[a]的取值范圍為（ ）

A. [(-∞，-1]#8899;[4，+∞)] B. [(-∞，-2]#8899;[5，+∞)]

C. [[1，2]] D. [(-∞，1]#8899;[2，+∞)]

分析 因為不等式[x+3-x-1≤a2-3a]對任意實數(shù)[x]恒成立，故[(x+3-x-1)max≤a2-3a]，即[a2-3a≥4，a2-3a-4≥0，解得a≥4或a≤-1.]

點撥 （1）[|x+3|-|x-1|]的最大值可以由絕對值三角不等式直接得到.

（2）恒成立問題是高考考試的熱點問題，常將其轉(zhuǎn)化為最值問題去處理. 不等式有解、無解與恒成立的關(guān)系如下([f(x)]有最大值或最小值)：

[a>f(x)]有解[#8660;a>fmin(x)]；

[a

[a>f(x)]無解[#8660;a≤fmax(x)]；

[a

[a>f(x)]恒成立[#8660;a>fmax(x)]；

[a

3. 解不等式

不等式的解法是必須掌握的重點內(nèi)容，在高考中有以選擇題、填空題為主的直接考查，而間接考查則更多，常以工具作用出現(xiàn)在函數(shù)、數(shù)列、三角函數(shù)、導數(shù)、解析幾何、平面向量等問題之中.

例5 [0

A. [-1