解析幾何
2012-04-29 00:00:00張峰
高中生學(xué)習(xí)·高三版 2012年2期
有關(guān)解析幾何的試題重在考查解析幾何的基本知識和基本方法，有時也有一定的綜合性和靈活性. 解答題一般為“壓軸題”，難度較大，一般是以圓錐曲線有關(guān)的知識和方法為主，結(jié)合解析幾何中其它部分的知識、平面幾何及函數(shù)、不等式、數(shù)列、三角等有關(guān)的知識和方法的綜合問題.
一、 直線與直線位置關(guān)系的判定
例1 （Ⅰ）已知直線[l1: (k-3)x+(4-k)y+1=0，]與[l2: 2(k-3)x-2y+3=0]平行，則[k]得值是（ ）
A. 1或3 B. 1或5
C. 3或5 D. 1或2
（Ⅱ）若直線[m]被兩平行線[l1: x-y+1=0]與[l2: x-y+3=0]所截得的線段的長為[22]，則[m]的傾斜角可以是（ ）
①[15°] ②[30°] ③[45°] ④[60°] ⑤[75°]
其中正確答案的序號是 . （寫出所有正確答案的序號）
解析 （Ⅰ）當(dāng)[k＝3]時，兩直線平行；當(dāng)[k≠3]時，由兩直線平行，斜率相等，得[3-k4-k=k-3]，解得[k＝5]. 故選C.
（Ⅱ）兩平行線間的距離為[d=|3-1|1+1=2]，知直線[m]與[l1]的夾角為[30°]，[l1]的傾斜角為[45°]，所以直線[m]的傾斜角等于[30°+45°=75°]或[45°-30°=15°].
答案 ①⑤
二、垂徑定理的應(yīng)用
例2 在平面直角坐標(biāo)系[xOy]中，已知圓[C1: (x+3)2+(y-1)2=4]和圓[C2: (x-4)2+(y-5)2=4].
（Ⅰ）若直線[l]過點[A(4，0)]，且被圓[C1]截得的弦長為[23]，求直線[l]的方程；
（Ⅱ）設(shè)[P]為平面上的點，若存在過點[P]的無窮多對互相垂直的直線[l1]和[l2]，它們分別與圓[C1]和圓[C2]相交，且直線[l1]被圓[C1]截得的弦長與直線[l2]被圓[C2]截得的弦長相等，試求所有滿足條件的點[P]的坐標(biāo).
解析 （Ⅰ）設(shè)直線[l]的方程為[y=k(x-4)，]即[kx-y-4k=0.]
由垂徑定理得圓心[C1]到直線[l]的距離
[d=22-(232)2=1]，
結(jié)合點到直線距離公式，得[|-3k-1-4k|k2+1=1，] 化簡得[24k2+7k=0，得k=0或k=-724，]
所求直線[l]的方程為[y=0]或[y=-724(x-4)]，
即[y=0]或[7x+24y-28=0].
（Ⅱ） 設(shè)點[P]坐標(biāo)為[(m，n)]，直線[l1]、[l2]的方程分別為[y-n=k(x-m)， y-n=-1k(x-m)]，
即[kx-y+n-km=0，-1kx-y+n+1km=0.]
因為直線[l1]被圓[C1]截得的弦長與直線[l2]被圓[C2]截得的弦長相等，兩圓半徑相等.
由垂徑定理得，圓心[C1]到直線[l1]與[C2]直線[l2]的距離相等.
故有[|-3k-1+n-k m|k2+1=|-4k-5+n-1km|1k2+1] ，
化簡得[(2-m-n)k=m-n-3，]
或[(m-n+8)k=m+n-5].
由于關(guān)于[k]的方程有無窮多解，
故[2-m-n=0，m-n-3=0，]或[m-n+8=0，m+n-5=0，]
解之得點[P]坐標(biāo)為[(52，-12)]或[(-32，132)].
三、圓錐曲線的有關(guān)概念與標(biāo)準(zhǔn)方程問題
例3 如圖甲，已知[△P1OP2]的面積為[274]，[P]為線段[P1P2]的一個三等分點，求以直線[OP1]、[OP2]為漸近線且過點[P]的離心率為[132]的雙曲線方程.
圖甲 圖乙
解析 以[O]為原點、[∠P1OP2]的角平分線為[x]軸建立如圖乙所示的直角坐標(biāo)系.
設(shè)雙曲線方程為[x2a2-y2b2]=1[(a＞0，b＞0)，]
由[e2=c2a2=1+(ba)2=(132)2]，得[ba=32].
∴兩漸近線[OP1]、[OP2]方程分別為[y=32x]和[y=-32x.]
設(shè)點[P1][(x1]，[32x1)]，[P2(][x2]，[-32x2])([x1]＞0，[x2]＞0)，
則由點[P]分[P1P2]所成的比λ=[P1PPP2]=2，
得[P]點坐標(biāo)為([x1+2x23，x1-2x22])，
又點[P]在雙曲線[x2a2-4y29a2]=1上，
所以[(x1+2x2)29a2-(x1-2x2)29a2]=1，
即([x1+2x2])2－([x1-2x2])2=[9a2]，
整理得[8x1x2=9a2] ①
[又|OP1|=x12+94x12=132x1，]
[|OP|=x22+94x22=132x2，]
[sin∠P1OP2=2tan∠P1Ox1+tan2∠P1Ox=2×321+94=1213，]
[∴SΔP1OP2=12|OP1|#8901;|OP2|#8901;sin∠P1OP2]
[=12#8901;134x1x2#8901;1213=274，]
即[x1x2=92] ②
由①②得[a2=4，b2=9，]
故雙曲線方程為[x24-y29]=1.
四、圓錐曲線的有關(guān)范圍問題
例4 已知點[A、B]的坐標(biāo)分別是(0，-1)、(0，1)，直線[AM、BM]相交于點[M]，且它們的斜率之積為[-12].
（Ⅰ）求點[M]軌跡[C]的方程；
（Ⅱ）若過點[D(2，0)]的直線[l]與（Ⅰ）中的軌跡[C]交于不同的兩點[E]、[F]（[E]在[D]、[F]之間），試求[△ODE]與[△ODF]面積之比的取值范圍（[O]為坐標(biāo)原點）.
解析 （Ⅰ）設(shè)點[M]的坐標(biāo)為[(x，y)]，
∵[kAM#8901;kBM=-12]，
∴[y+1x#8901;y-1x=-12].
整理，得[x22+y2=1(x≠0)]，
這就是動點[M]的軌跡方程.
（Ⅱ） 由題意知直線[l]的斜率存在，
設(shè)[l]的方程為[y=k(x-2)(k≠±12)]. ①
將①代入[x22+y2=1]，
得[(2k2+1)x2-8k2#8901;x+(8k2-2)=0]，
由[Δ>0]，解得[0 設(shè)[E(x1，y1)]，[F(x2，y2)]，則[x1+x2=8k22k2+1，x1x2=8k2-22k2+1.]② 令[λ=S△ODES△ODF]，則[λ=|DE||DF|]，即[DE=λ#8901;DF]， 即[x1-2=λ(x2-2)]，且[0<λ<1.] 由②得 [(x1-2)+(x2-2)=-42k2+1，(x1-2)#8901;(x2-2)=x1x2-2(x1+x2)+4=22k2+1.] 即[(1+λ)(x2-2)=-42k2+1，λ(x2-2)2=22k2+1.] [∴λ(1+λ)2=2k2+18，]即[k2=4λ(1+λ)2-12]. [∵0 [∴0<4λ(1+λ)2-12<12]且[4λ(1+λ)2-12≠14]. 解得[3-22<λ<3+22]且[λ≠13.] [∵0<λ<1]， [∴3-22<λ<1]且[λ≠13]. ∴[△OBE]與[△OBF]面積之比的取值范圍是[(3-22，13)#8899;(13，1)]. 五、圓錐曲線的定值問題 例5 設(shè)橢圓[C: x2a2+y2b2=1(a>b>0)]過點[M(2，1)，]且左焦點為[F1(-2，0)]. （Ⅰ）求橢圓[C]的方程； （Ⅱ）當(dāng)過點[P(4，1)]的動直線[l]與橢圓[C]相交于兩不同點[A、B]時，在線段[AB]上取點[Q]，滿足[AP#8901;QB=AQ#8901;PB]，證明：點[Q]總在某定直線上. 解析 （Ⅰ）由題意 [c2=2，2a2+1b2=1，c2=a2-b2，] 解得[a2=4，b2=2]， 所求橢圓方程為 [x24+y22=1]. （Ⅱ）設(shè)點[Q、A、B]的坐標(biāo)分別為[(x，y)、(x1，y1)、][(x2，y2)]. 由題設(shè)知[AP、PB、AQ、QB]均不為零， 記[λ=APPB=AQQB]，則[λ>0]且[λ≠1.] 又[A、P、B、Q]四點共線， 從而[AP=-λPB，AQ=λQB]， 于是[4=x1-λx21-λ]， [1=y1-λy21-λ]， [x=x1+λx21+λ]， [y=y1+λy21+λ]， 從而 [x21-λ2x221-λ2=4x，] ① [y21-λ2y221-λ2=y.] ② 又點[A、B]在橢圓[C]上，即 [x21+2y21=4， ③] [x22+2y22=4. ④] ①+②×2并結(jié)合③④得[4x+2y=4]， 即點[Q(x，y)]總在定直線[2x+y-2=0]上. 六、應(yīng)用函數(shù)等相關(guān)知識來解決解析幾何問題 例6 已知定點[A(0，a)(a>0)]，直線[l1]：[y=-a]交[y]軸于點[B]，記過點[A]且與直線[l1]相切的圓的圓心為點[C]. （Ⅰ）求動點[C]的軌跡[E]的方程； （Ⅱ）設(shè)傾斜角為[α]的直線[l2]過點[A]，交軌跡[E]于兩點[P、Q]，交直線[l1]于點[R]. （i）若[tanα=1]，且[△PQB]的面積為[2]，求[a]的值； （ii）若α∈[[π6]，[π4]]，求[|PR|#8901;|QR|]的最小值. 解析 （Ⅰ）連[CA]，過[C]作[CD⊥l1]，垂足為[D]，由已知可得[|CA|=|CD|]， ∴點[C]的軌跡是以[A]為焦點，[l1]為準(zhǔn)線的拋物線，且軌跡E的方程為[x2=4ay]. （Ⅱ）直線[l2]的方程為[y=kx+a]，與拋物線方程聯(lián)立消去[y]得[x2-4akx-4a2=0]. 記[P(x1，y1)，Q(x2，y2)]， 則[x1+x2=4ak]，[x1x2=-4a2<0]. （i）若[tanα=1]，即[k=1]， 此時[x1+x2=4a]， [x1x2=-4a2]. [∴S△BPQ=S△ABP+S△ABQ=a|x1|+a|x2|] =[a|x2-x1|=ax21-2x1x2+x22] =[a(x1+x2)2-4x1x2]=[a16a2+16a2]=[42a2]. ∴4[2a2]=[2]，注意到[a>0]，∴[a=12.] （ii） 因為直線[PA]的斜率[k≠0]，易得點[R]的坐標(biāo)為([-2ak，-a]). [|PR|#8901;|QR|=RP]·[RQ] ＝（[x1+2ak]，[y1+a]）·（[x2+2ak]，[y2+a]） =（[x1+2ak]）（[x2+2ak]）+[(kx1+2a)(kx2+2a)] =[(1+k2)x1x2+(2ak+2ak)][(x1+x2)+4a2k2+4a2] =[-4a2(1+k2)+4ak(2ak][+2ak)+4a2k2+4a2] =[4a2(k2+1k2)+8a2]. ∵[k2+1k2]≥2，當(dāng)且僅當(dāng)[k2=1]時取到等號. 又[α]∈[[π6]，[π4]]，[k∈[33]，1]， ∴上述不等式中等號能取到， 從而[|PR|#8901;|QR|]的最小值為[16a2]. 【專題訓(xùn)練六】 1. 把直線[λx-y+2=0]按向量[a=(2，0)]平移后恰與[x2+y2-4y+2x-2=0]相切，則實數(shù)[λ]的值為（ ） A．[22]或[2] B．[-2]或[2] C．[22]或[-22]D．[-22]或[2] 2. 已知實系數(shù)方程[x2+ax+2b=0]的一個根大于0且小于1，另一根大于1且小于2，則[b-2a-1]的取值范圍是（ ） A．（[14]，1） B．（[12]，１） C．（[-12]，[14]） D．（0，[13]） 3. 拋物線[y=ax2]與直線[y=kx+b(k≠0)]交于[A、B]兩點，且此兩點的橫坐標(biāo)分別為[x1、x2]，直線與[x]軸交點的橫坐標(biāo)是[x3]，則恒有（ ） A.[x3=x1+x2] B.[x1x2=x1x3+x2x3] C.[x1+x2+x3=0]D.[x1x2+x2x3+x3x1=0] 4. 已知橢圓[x2m+y2n=1]滿足條件：[m、n、m+n]成等差數(shù)列，則橢圓離心率為（ ） A．[32] B.[22] C.[12] D.[55] 5. 從雙曲線[x2a2-y2b2=1a>0，b>0]的左焦點[F]引圓[x2+y2=a2]的切線，切點為[T]，延長[FT]交雙曲線右支于[P]點，若[M]為線段[FP]的中點，[O]為坐標(biāo)原點，則[MO-MT]與[b-a]的大小關(guān)系為（ ） A. [MO-MT>b-a] B. [MO-MT=b-a] C. [MO-MT D. 不確定 6. 若點[P]為共焦點的橢圓[C1]和雙曲線[C2]的一個交點， [F1]、[F2]分別是它們的左右焦點. 設(shè)橢圓離心率為[e1]，雙曲線離心率為[e2]，若[PF1#8901;PF2=0]，則[1e21+1e22=]（ ） A．1 B. 2 C．3 D．4 7. 已知[a>0]，過[M(a，0)]任作一條直線交拋物線[y2=2px(p>0)]于[P、Q]兩點，若[1|MP|2+1|MQ|2]為定值，則[a=]（ ） A. [2p]"""" B．[2p]"""" C．[p2]""""" D．[p] 8. 如圖，過拋物線[y2＝2px(p>0)]的焦點[F]的直線[l]交拋物線于點[A、B]，交其準(zhǔn)線于點[C]，若[|BC|＝2|BF|]，且[|AF|＝3]，則此拋物線的方程為（ ） A．[y2＝9x]"""""""B．[y2＝6x] C．[y2＝3x]"""""""D．[y2＝3x] 9. 設(shè)[e1、e2]分別為具有公共焦點[F1]與[F2]的橢圓和雙曲線的離心率，[P]為兩曲線的一個公共點，且滿足[PF1#8901;PF2=0]，則[e12+e22e1e2]的值為（"" ） A．1"" """B．[12]""""" C．2""" " D．不確定 10. 過原點[O]作兩條相互垂直的直線分別與橢圓[P: x22+y2=1]交于[A、C與B、D]，則四邊形[ABCD]面積最小值為（"" ） A.[83] B.[42] C.[22] D.[43] 11. 若關(guān)于[x、y]的方程組[ax+by=1x2+y2=10]有解，且所有的解都是整數(shù)，則有序數(shù)對[a，b]的數(shù)目為 . 12. 直線[l]的方程為[y=x+3]，在[l]上任取一點[p]，若過點[p]且以雙曲線[12x2－4y2=3]的焦點作橢圓的焦點，那么具有最短長軸的橢圓方程為 . 13. 橢圓[x29+y24=1]的焦點為[F1]、[F2]，點[P]為橢圓上的動點，當(dāng)[PF1#8901;PF2<0]時，點[P]的橫坐標(biāo)的取值范圍是 . 14. 在平面直角坐標(biāo)系[xOy]中，已知圓[x2+y2=4]上有且僅有四個點到直線[12x-5y+c=0]的距離為1，則實數(shù)[c]的取值范圍是 . 15．若雙曲線[x2a2-y2b2=1]的漸近線與方程為[(x-2)2+y2=3]的圓相切，則此雙曲線的離心率為 ． 16. 已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點[O]，焦點在坐標(biāo)軸上，直線[y=x+1]與橢圓交于[P]和[Q]，且[OP⊥OQ]，[|PQ|=102]，求橢圓方程. 17. 已知，橢圓[C]過點[A(1， 32)]，兩個焦點為（-1，0），（1，0）. （Ⅰ）求橢圓[C]的方程； （Ⅱ）[E、F]是橢圓[C]上的兩個動點，如果直線[AE]的斜率與[AF]的斜率互為相反數(shù)，證明直線[EF]的斜率為定值，并求出這個定值. 18. 已知以原點[O]為中心的雙曲線的一條準(zhǔn)線方程為[x=55]，離心率[e=5]． （Ⅰ）求該雙曲線的方程； （Ⅱ）如圖，點[A]的坐標(biāo)為[(-5，0)]，[B]是圓[x2+(y-5)2=1]上的點，點[M]在雙曲線右支上，求[|MA|+|MB|]的最小值，并求此時[M]點的坐標(biāo). 19. 已知橢圓[x2a2+y2b2]=1[(a＞b＞0)]，點[P]為其上一點，[F1]、[F2]為橢圓的焦點，[∠F1PF2]的外角平分線為[l]，點[F2]關(guān)于[l]的對稱點為[Q]，[F2Q]交[l]于點[R]. （Ⅰ）當(dāng)[P]點在橢圓上運動時，求[R]形成的軌跡方程； （Ⅱ）設(shè)點[R]形成的曲線為[C]，直線[l：y=k(x+2a])與曲線[C]相交于[A、B]兩點，當(dāng)[△AOB]的面積取得最大值時，求[k]的值. 20. 已知拋物線[y2=2px(p＞0)]，過動點[M(a，0)]且斜率為1的直線[l]與該拋物線交于不同的兩點[A、B]，且[|AB|≤2p]. （Ⅰ）求[a]的取值范圍； （Ⅱ）若線段[AB]的垂直平分線交[x]軸于點[N]，求[△NAB]面積的最大值. 21. 已知直線[x-2y+2=0]經(jīng)過橢圓[C: x2a2+y2b2=1][(a>b>0)] （Ⅰ）求橢圓[C]的方程； （Ⅱ）求線段[MN]的長度的最小值； （Ⅲ）當(dāng)線段[MN]的長度最小時，在橢圓[C]上是否存在這樣的點[T]，使得[△TSB]的面積為[15]？若存在，確定點[T]的個數(shù)，若不存在，說明理由.
